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8. 如图5-3-12，我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”。一炒菜锅的锅口直径为6 dm，锅深3 dm，锅盖高1 dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图5-3-13所示，把锅纵断面的抛物线记为$ C_1 $，把锅盖纵断面的抛物线记为$ C_2 $。
(1) 求$ C_1 $和$ C_2 $的表达式。
(2) 如果炒菜时锅里的水位高度是1 dm，求此时水面的直径。（结果保留根号）
(3) 如果将一个底面直径为2 dm、高度为3.6 dm的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由。
(1) 求$ C_1 $和$ C_2 $的表达式。
(2) 如果炒菜时锅里的水位高度是1 dm，求此时水面的直径。（结果保留根号）
(3) 如果将一个底面直径为2 dm、高度为3.6 dm的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由。
答案
8. 解:(1)抛物线过点$A(-3,0),B(3,0)$,
设$C_1,C_2$的表达式分别为$y=a_1(x-3)(x+3)$,$y=a_2(x-3)(x+3)$。
抛物线$C_1$还经过点$D(0,-3)$,
则有$-3=a_1(0-3)×(0+3)$,
所以$a_1=\dfrac{1}{3}$,
所以$C_1:y=\dfrac{1}{3}x^2-3(-3≤ x≤ 3)$。
抛物线$C_2$还经过点$C(0,1)$,
则有$1=a_2(0-3)×(0+3)$,
所以$a_2=-\dfrac{1}{9}$,
所以$C_2:y=-\dfrac{1}{9}x^2+1(-3≤ x≤ 3)$。
(2)当炒菜锅里的水位高度为1 dm时,$y=-2$,
即$\dfrac{1}{3}x^2-3=-2$,
所以$x=\pm\sqrt{3}$,所以此时水面的直径为$2\sqrt{3}\ \mathrm{dm}$。
(3)锅盖不能正常盖上。理由如下:
当$x=1$时,$C_1:y=\dfrac{1}{3}×1^2-3=-\dfrac{8}{3}$,
$C_2:y=-\dfrac{1}{9}×1^2+1=\dfrac{8}{9}$,
而$\dfrac{8}{9}-(-\dfrac{8}{3})=\dfrac{8}{9}+\dfrac{24}{9}=\dfrac{32}{9}=3.\dot{5}＜3.6$,
所以锅盖不能正常盖上。
设$C_1,C_2$的表达式分别为$y=a_1(x-3)(x+3)$,$y=a_2(x-3)(x+3)$。
抛物线$C_1$还经过点$D(0,-3)$,
则有$-3=a_1(0-3)×(0+3)$,
所以$a_1=\dfrac{1}{3}$,
所以$C_1:y=\dfrac{1}{3}x^2-3(-3≤ x≤ 3)$。
抛物线$C_2$还经过点$C(0,1)$,
则有$1=a_2(0-3)×(0+3)$,
所以$a_2=-\dfrac{1}{9}$,
所以$C_2:y=-\dfrac{1}{9}x^2+1(-3≤ x≤ 3)$。
(2)当炒菜锅里的水位高度为1 dm时,$y=-2$,
即$\dfrac{1}{3}x^2-3=-2$,
所以$x=\pm\sqrt{3}$,所以此时水面的直径为$2\sqrt{3}\ \mathrm{dm}$。
(3)锅盖不能正常盖上。理由如下:
当$x=1$时,$C_1:y=\dfrac{1}{3}×1^2-3=-\dfrac{8}{3}$,
$C_2:y=-\dfrac{1}{9}×1^2+1=\dfrac{8}{9}$,
而$\dfrac{8}{9}-(-\dfrac{8}{3})=\dfrac{8}{9}+\dfrac{24}{9}=\dfrac{32}{9}=3.\dot{5}＜3.6$,
所以锅盖不能正常盖上。
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知C₁、C₂都经过x轴上的A(-3,0)、B(3,0)两点，因此优先选择交点式设二次函数表达式，再分别代入两个抛物线经过的另一个已知点（C₁过D(0,-3)，C₂过C(0,1)），即可求出对应系数，得到解析式，注意标注自变量x的取值范围。
(2) 锅里水位高度1dm，是指水面到锅最低点D的竖直距离为1dm，因此水面对应的纵坐标为-3+1=-2，将y=-2代入C₁的解析式求出对应的x值，两个x值的差的绝对值就是水面直径。
(3) 圆柱形器皿底面直径为2dm，竖直放入锅中时，器皿边缘的横坐标为±1，只需计算x=1时C₁和C₂对应的y值，求出两者的竖直距离，和器皿高度3.6dm比较，若距离小于3.6dm，则锅盖不能正常盖上，反之可以。
【解析】
(1) 已知抛物线$C_1$、$C_2$都过点$A(-3,0)$、$B(3,0)$，因此设$C_1$的表达式为$y=a_1(x-3)(x+3)$，$C_2$的表达式为$y=a_2(x-3)(x+3)$。
① 抛物线$C_1$过点$D(0,-3)$，将$x=0,y=-3$代入得：
$-3=a_1(0-3)×(0+3)$，解得$a_1=\dfrac{1}{3}$，
因此$C_1$的表达式为$y=\dfrac{1}{3}x^2-3(-3≤ x≤ 3)$。
② 抛物线$C_2$过点$C(0,1)$，将$x=0,y=1$代入得：
$1=a_2(0-3)×(0+3)$，解得$a_2=-\dfrac{1}{9}$，
因此$C_2$的表达式为$y=-\dfrac{1}{9}x^2+1(-3≤ x≤ 3)$。
(2) 水位高度为1 dm时，水面对应的纵坐标为$y=-3+1=-2$，将$y=-2$代入$C_1$的解析式：
$\dfrac{1}{3}x^2-3=-2$，解得$x=\pm\sqrt{3}$，
因此水面直径为$\sqrt{3}-(-\sqrt{3})=2\sqrt{3}\ \mathrm{dm}$。
(3) 锅盖不能正常盖上，理由如下：
圆柱形器皿底面直径为2 dm，竖直放入锅中时，其边缘对应的横坐标为$x=±1$，
当$x=1$时，代入$C_1$得$y=\dfrac{1}{3}×1^2-3=-\dfrac{8}{3}$，
代入$C_2$得$y=-\dfrac{1}{9}×1^2+1=\dfrac{8}{9}$，
此时该位置锅和锅盖的竖直距离为$\dfrac{8}{9}-(-\dfrac{8}{3})=\dfrac{32}{9}≈3.56＜3.6$，小于器皿高度，因此锅盖不能正常盖上。
【答案】
(1) $C_1:y=\dfrac{1}{3}x^2-3(-3≤ x≤ 3)$；$C_2:y=-\dfrac{1}{9}x^2+1(-3≤ x≤ 3)$
(2) $2\sqrt{3}\ \mathrm{dm}$
(3) 锅盖不能正常盖上，理由见解析
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类问题，解题核心是将实际场景中的数量关系转化为二次函数的代数问题，既考察了二次函数解析式的求解方法，也考察了代入求值、数值比较等基础运算，同时要求学生具备将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线解析式时，已知C₁、C₂都经过x轴上的A(-3,0)、B(3,0)两点，因此优先选择交点式设二次函数表达式，再分别代入两个抛物线经过的另一个已知点（C₁过D(0,-3)，C₂过C(0,1)），即可求出对应系数，得到解析式，注意标注自变量x的取值范围。
(2) 锅里水位高度1dm，是指水面到锅最低点D的竖直距离为1dm，因此水面对应的纵坐标为-3+1=-2，将y=-2代入C₁的解析式求出对应的x值，两个x值的差的绝对值就是水面直径。
(3) 圆柱形器皿底面直径为2dm，竖直放入锅中时，器皿边缘的横坐标为±1，只需计算x=1时C₁和C₂对应的y值，求出两者的竖直距离，和器皿高度3.6dm比较，若距离小于3.6dm，则锅盖不能正常盖上，反之可以。
【解析】
(1) 已知抛物线$C_1$、$C_2$都过点$A(-3,0)$、$B(3,0)$，因此设$C_1$的表达式为$y=a_1(x-3)(x+3)$，$C_2$的表达式为$y=a_2(x-3)(x+3)$。
① 抛物线$C_1$过点$D(0,-3)$，将$x=0,y=-3$代入得：
$-3=a_1(0-3)×(0+3)$，解得$a_1=\dfrac{1}{3}$，
因此$C_1$的表达式为$y=\dfrac{1}{3}x^2-3(-3≤ x≤ 3)$。
② 抛物线$C_2$过点$C(0,1)$，将$x=0,y=1$代入得：
$1=a_2(0-3)×(0+3)$，解得$a_2=-\dfrac{1}{9}$，
因此$C_2$的表达式为$y=-\dfrac{1}{9}x^2+1(-3≤ x≤ 3)$。
(2) 水位高度为1 dm时，水面对应的纵坐标为$y=-3+1=-2$，将$y=-2$代入$C_1$的解析式：
$\dfrac{1}{3}x^2-3=-2$，解得$x=\pm\sqrt{3}$，
因此水面直径为$\sqrt{3}-(-\sqrt{3})=2\sqrt{3}\ \mathrm{dm}$。
(3) 锅盖不能正常盖上，理由如下：
圆柱形器皿底面直径为2 dm，竖直放入锅中时，其边缘对应的横坐标为$x=±1$，
当$x=1$时，代入$C_1$得$y=\dfrac{1}{3}×1^2-3=-\dfrac{8}{3}$，
代入$C_2$得$y=-\dfrac{1}{9}×1^2+1=\dfrac{8}{9}$，
此时该位置锅和锅盖的竖直距离为$\dfrac{8}{9}-(-\dfrac{8}{3})=\dfrac{32}{9}≈3.56＜3.6$，小于器皿高度，因此锅盖不能正常盖上。
【答案】
(1) $C_1:y=\dfrac{1}{3}x^2-3(-3≤ x≤ 3)$；$C_2:y=-\dfrac{1}{9}x^2+1(-3≤ x≤ 3)$
(2) $2\sqrt{3}\ \mathrm{dm}$
(3) 锅盖不能正常盖上，理由见解析
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类问题，解题核心是将实际场景中的数量关系转化为二次函数的代数问题，既考察了二次函数解析式的求解方法，也考察了代入求值、数值比较等基础运算，同时要求学生具备将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
二、拓展性作业
9. 用总长为a m的材料做成如图5-3-14所示的矩形窗框，设窗框的宽为x m，窗框的面积为y m²，y关于x的函数图象如图5-3-15，则a的值是
9. 用总长为a m的材料做成如图5-3-14所示的矩形窗框，设窗框的宽为x m，窗框的面积为y m²，y关于x的函数图象如图5-3-15，则a的值是
6
。答案
9.6
解析
【分析】
本题属于二次函数的实际应用问题，解题思路如下：第一步先结合窗框的结构，用含x和a的式子表示出窗框的长，进而写出面积y关于x的二次函数表达式；第二步明确二次函数开口向下时，面积的最大值对应函数图像的顶点，结合二次函数顶点横坐标的公式，以及图像给出的y取最大值时对应的x值，建立关于a的方程；第三步解方程即可求出a的值。
【解析】
观察窗框结构可知，共有3条长度为x的竖直边，剩余材料总长为$(a-3x)\ \mathrm{m}$，这部分材料用来做2条水平的长边，因此每条长边的长度为$\frac{a-3x}{2}\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得面积表达式：
$\begin{aligned}y&=x·\frac{a-3x}{2}\\&=-\frac{3}{2}x^2+\frac{a}{2}x\end{aligned}$
该二次函数开口向下，面积最大值对应图像的顶点，对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，顶点横坐标为$x=-\frac{B}{2A}$，代入本题系数可得：
$x=\frac{-\frac{a}{2}}{2×(-\frac{3}{2})}=\frac{a}{6}$
结合函数图像可知，当$x=1$时y取得最大值，因此：
$\frac{a}{6}=1$
解得$a=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图像与性质
【点评】
本题结合几何周长、面积计算和二次函数性质考查参数求解，解题的核心是正确列出面积关于宽的函数表达式，同时能从函数图像中提取最值对应的自变量取值，属于几何与代数结合的基础应用题。
【难度系数】
0.65
本题属于二次函数的实际应用问题，解题思路如下：第一步先结合窗框的结构，用含x和a的式子表示出窗框的长，进而写出面积y关于x的二次函数表达式；第二步明确二次函数开口向下时，面积的最大值对应函数图像的顶点，结合二次函数顶点横坐标的公式，以及图像给出的y取最大值时对应的x值，建立关于a的方程；第三步解方程即可求出a的值。
【解析】
观察窗框结构可知，共有3条长度为x的竖直边，剩余材料总长为$(a-3x)\ \mathrm{m}$，这部分材料用来做2条水平的长边，因此每条长边的长度为$\frac{a-3x}{2}\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得面积表达式：
$\begin{aligned}y&=x·\frac{a-3x}{2}\\&=-\frac{3}{2}x^2+\frac{a}{2}x\end{aligned}$
该二次函数开口向下，面积最大值对应图像的顶点，对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，顶点横坐标为$x=-\frac{B}{2A}$，代入本题系数可得：
$x=\frac{-\frac{a}{2}}{2×(-\frac{3}{2})}=\frac{a}{6}$
结合函数图像可知，当$x=1$时y取得最大值，因此：
$\frac{a}{6}=1$
解得$a=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图像与性质
【点评】
本题结合几何周长、面积计算和二次函数性质考查参数求解，解题的核心是正确列出面积关于宽的函数表达式，同时能从函数图像中提取最值对应的自变量取值，属于几何与代数结合的基础应用题。
【难度系数】
0.65
10. 如图5-3-16，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8 m的A处射门，已知球门高OB为2.44 m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分。当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3 m。现以O为原点，建立平面直角坐标系。
(1)求抛物线的表达式；
(2)通过计算判断球能否射进球门；(忽略其他因素)
(3)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处？
图5-3-16
(1)求抛物线的表达式；
(2)通过计算判断球能否射进球门；(忽略其他因素)
(3)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处？
图5-3-16
答案
10. 解:(1)因为$8-6=2$,
所以抛物线的顶点坐标为$(2,3)$。
设抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2+3$,
把$(8,0)$代入,得$36a+3=0$,
解得$a=-\dfrac{1}{12}$,
所以抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$。
(2)当$x=0$时,$y=-\dfrac{1}{12}×4+3=\dfrac{8}{3}＞2.44$,所以球不能射进球门。
(3)设小明带球向正后方移动$n(n＞0)\ \mathrm{m}$,则移动后的抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2-n)^2+3$,
把$(0,2.25)$代入,得$2.25=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$,
解得$n=-5$(舍去)或$n=1$。
所以他应该带球向正后方移动1 m射门,才能让足球经过点O正上方2.25 m处。
所以抛物线的顶点坐标为$(2,3)$。
设抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2+3$,
把$(8,0)$代入,得$36a+3=0$,
解得$a=-\dfrac{1}{12}$,
所以抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$。
(2)当$x=0$时,$y=-\dfrac{1}{12}×4+3=\dfrac{8}{3}＞2.44$,所以球不能射进球门。
(3)设小明带球向正后方移动$n(n＞0)\ \mathrm{m}$,则移动后的抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2-n)^2+3$,
把$(0,2.25)$代入,得$2.25=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$,
解得$n=-5$(舍去)或$n=1$。
所以他应该带球向正后方移动1 m射门,才能让足球经过点O正上方2.25 m处。
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式首先确定顶点坐标：A点横坐标为8，球飞行水平距离6m到最高点，因此顶点横坐标为$8-6=2$，纵坐标为3，选择顶点式设解析式，再代入点A(8,0)即可求出系数a得到解析式。
(2) 判断能否进球门，只需计算球门位置$x=0$时对应的y值，和球门高度2.44m比较，若y≤2.44则能进球，反之不能。
(3) 运动员向后移动n米时，抛物线形状、最大高度不变，仅顶点横坐标向右平移n个单位，设出新的解析式后将(0,2.25)代入求解，舍去不符合实际的负解即可得到移动距离。
【解析】
(1) 由题意得抛物线顶点坐标为$(2,3)$，设抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2+3$。
将点$A(8,0)$代入解析式得：$36a+3=0$，解得$a=-\dfrac{1}{12}$。
因此抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$。
(2) 当$x=0$时，代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{12}×(0-2)^2+3=\dfrac{8}{3}\approx2.67$，
$\because\dfrac{8}{3}＞2.44$，$\therefore$球不能射进球门。
(3) 设运动员带球向正后方移动$n(n＞0)\ \mathrm{m}$，移动后抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2-n)^2+3$。
将$(0,2.25)$代入得：$2.25=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$，
整理得$(2+n)^2=9$，解得$n=1$或$n=-5$。
$\because n＞0$，$\therefore n=-5$舍去，即应向正后方移动1m。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$
(2) 球不能射进球门
(3) 向正后方移动$\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数图像平移
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是准确把握抛物线顶点特征，合理设出解析式，代入已知点求解参数，同时要注意结合实际意义舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线表达式首先确定顶点坐标：A点横坐标为8，球飞行水平距离6m到最高点，因此顶点横坐标为$8-6=2$，纵坐标为3，选择顶点式设解析式，再代入点A(8,0)即可求出系数a得到解析式。
(2) 判断能否进球门，只需计算球门位置$x=0$时对应的y值，和球门高度2.44m比较，若y≤2.44则能进球，反之不能。
(3) 运动员向后移动n米时，抛物线形状、最大高度不变，仅顶点横坐标向右平移n个单位，设出新的解析式后将(0,2.25)代入求解，舍去不符合实际的负解即可得到移动距离。
【解析】
(1) 由题意得抛物线顶点坐标为$(2,3)$，设抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2+3$。
将点$A(8,0)$代入解析式得：$36a+3=0$，解得$a=-\dfrac{1}{12}$。
因此抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$。
(2) 当$x=0$时，代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{12}×(0-2)^2+3=\dfrac{8}{3}\approx2.67$，
$\because\dfrac{8}{3}＞2.44$，$\therefore$球不能射进球门。
(3) 设运动员带球向正后方移动$n(n＞0)\ \mathrm{m}$，移动后抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{12}(x-2-n)^2+3$。
将$(0,2.25)$代入得：$2.25=-\dfrac{1}{12}(0-2-n)^2+3$，
整理得$(2+n)^2=9$，解得$n=1$或$n=-5$。
$\because n＞0$，$\therefore n=-5$舍去，即应向正后方移动1m。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{12}(x-2)^2+3$
(2) 球不能射进球门
(3) 向正后方移动$\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数图像平移
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是准确把握抛物线顶点特征，合理设出解析式，代入已知点求解参数，同时要注意结合实际意义舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
