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7.已知$\odot O$的半径为2，弦$AB=2\sqrt{2}$，弦$AC=2\sqrt{3}$，则$∠ BOC$的度数为
$150°$或$30°$
。答案
$150°$或$30°$
解析
【分析】
解题时首先回忆圆中弦长和圆心角的关系，已知半径和弦长，可通过作弦心距，利用垂径定理将弦长折半，再结合勾股定理判断直角三角形的形状，求出∠AOB和∠AOC的度数；由于题目没有说明弦AB、AC的相对位置，因此要分两条弦在圆心同侧、异侧两种情况计算∠BOC，避免漏解。
【解析】
解：过点O分别作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E。
根据垂径定理可得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$，$AE=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$，
已知$\odot O$的半径$OA=OB=OC=2$。
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2}$，
∴$OD=AD$，即$△ AOD$是等腰直角三角形，
∴$∠AOD=45°$，$∠AOB=2∠AOD=90°$。
在$Rt△ AOE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1$，
∴$OE=\frac{1}{2}OA$，
∴$∠OAE=30°$，$∠AOE=60°$，$∠AOC=2∠AOE=120°$。
分两种情况讨论：
1. 当弦AB、AC在圆心O的同侧时：
$∠BOC=∠AOC-∠AOB=120°-90°=30°$；
2. 当弦AB、AC在圆心O的异侧时：
$∠BOC=360°-∠AOC-∠AOB=360°-120°-90°=150°$。
【答案】
$150°$或$30°$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆心角计算
【点评】
本题的易错点是忽略弦的位置不确定性，只计算一种情况导致漏解，解题时需结合分类讨论思想，熟练运用圆的基本性质和直角三角形相关性质求解即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆圆中弦长和圆心角的关系，已知半径和弦长，可通过作弦心距，利用垂径定理将弦长折半，再结合勾股定理判断直角三角形的形状，求出∠AOB和∠AOC的度数；由于题目没有说明弦AB、AC的相对位置，因此要分两条弦在圆心同侧、异侧两种情况计算∠BOC，避免漏解。
【解析】
解：过点O分别作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E。
根据垂径定理可得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$，$AE=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$，
已知$\odot O$的半径$OA=OB=OC=2$。
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2}$，
∴$OD=AD$，即$△ AOD$是等腰直角三角形，
∴$∠AOD=45°$，$∠AOB=2∠AOD=90°$。
在$Rt△ AOE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1$，
∴$OE=\frac{1}{2}OA$，
∴$∠OAE=30°$，$∠AOE=60°$，$∠AOC=2∠AOE=120°$。
分两种情况讨论：
1. 当弦AB、AC在圆心O的同侧时：
$∠BOC=∠AOC-∠AOB=120°-90°=30°$；
2. 当弦AB、AC在圆心O的异侧时：
$∠BOC=360°-∠AOC-∠AOB=360°-120°-90°=150°$。
【答案】
$150°$或$30°$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆心角计算
【点评】
本题的易错点是忽略弦的位置不确定性，只计算一种情况导致漏解，解题时需结合分类讨论思想，熟练运用圆的基本性质和直角三角形相关性质求解即可。
【难度系数】
0.6
8.如图，AB是$\odot O$的直径，$AB=8$，点M在$\odot O$上，$∠ MOB=60°$，点N是$\overset{\frown}{MB}$的中点，点P为AB上一动点，则$PM+PN$的最小值是
$4\sqrt{2}$
。答案
$4\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题属于将军饮马类最短路径问题，解题思路如下：首先，动点P在直线AB上，要使PM+PN最小，可利用轴对称的性质，作其中一个定点关于AB的对称点，将两条线段的和转化为两点之间的线段长度（两点之间线段最短）；其次，结合圆的轴对称性可知对称点也在圆上，再根据弧中点的性质求出对应圆心角的度数；最后利用勾股定理计算弦长即可得到最小值。
【解析】
1. 作点M关于AB的对称点M'，由轴对称的性质可得PM=PM'，因此PM+PN=PM'+PN，当P、M'、N三点共线时，PM'+PN取得最小值，即为线段M'N的长度。
2. 由于圆是轴对称图形，直径AB所在直线是圆的对称轴，点M在⊙O上，故对称点M'也在⊙O上，且∠M'OB=∠MOB=60°。
3. 已知N是$\overset{\frown}{MB}$的中点，∠MOB=60°，根据等弧对应的圆心角相等，可得$∠ NOB=\frac{1}{2}∠ MOB=30°$。
4. 因此$∠ M'ON=∠ M'OB+∠ NOB=60°+30°=90°$。
5. 由AB=8得⊙O的半径$OM'=ON=\frac{1}{2}AB=4$。
6. 在$Rt△ M'ON$中，根据勾股定理：$M'N=\sqrt{OM'^2+ON^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，即PM+PN的最小值为$4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
将军饮马模型，圆的基本性质，勾股定理
【点评】
本题将最短路径问题与圆的性质相结合，解题核心是通过轴对称完成线段的转化，再结合圆心角的计算和勾股定理求解，是圆相关的典型常考题型。
【难度系数】
0.6
本题属于将军饮马类最短路径问题，解题思路如下：首先，动点P在直线AB上，要使PM+PN最小，可利用轴对称的性质，作其中一个定点关于AB的对称点，将两条线段的和转化为两点之间的线段长度（两点之间线段最短）；其次，结合圆的轴对称性可知对称点也在圆上，再根据弧中点的性质求出对应圆心角的度数；最后利用勾股定理计算弦长即可得到最小值。
【解析】
1. 作点M关于AB的对称点M'，由轴对称的性质可得PM=PM'，因此PM+PN=PM'+PN，当P、M'、N三点共线时，PM'+PN取得最小值，即为线段M'N的长度。
2. 由于圆是轴对称图形，直径AB所在直线是圆的对称轴，点M在⊙O上，故对称点M'也在⊙O上，且∠M'OB=∠MOB=60°。
3. 已知N是$\overset{\frown}{MB}$的中点，∠MOB=60°，根据等弧对应的圆心角相等，可得$∠ NOB=\frac{1}{2}∠ MOB=30°$。
4. 因此$∠ M'ON=∠ M'OB+∠ NOB=60°+30°=90°$。
5. 由AB=8得⊙O的半径$OM'=ON=\frac{1}{2}AB=4$。
6. 在$Rt△ M'ON$中，根据勾股定理：$M'N=\sqrt{OM'^2+ON^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，即PM+PN的最小值为$4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
将军饮马模型，圆的基本性质，勾股定理
【点评】
本题将最短路径问题与圆的性质相结合，解题核心是通过轴对称完成线段的转化，再结合圆心角的计算和勾股定理求解，是圆相关的典型常考题型。
【难度系数】
0.6
9.如图,半径为5的$\odot A$中,弦$BC$,$ED$所对的圆心角分别是$∠ BAC$,$∠ EAD$,若$DE=6$,$∠ BAC+∠ EAD=180°$,则圆心$A$到弦$BC$的距离等于
3
.答案
3
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：两个圆心角∠BAC与∠EAD之和为180°，要求圆心A到弦BC的距离。我们可以通过构造直径得到平角，将互补的两个圆心角转化为相等的圆心角，利用同圆中相等圆心角对应弦相等得到与DE等长的弦，再结合垂径定理得到弦BC的中点，最后利用三角形中位线的性质即可求出距离。
【解析】
过点A作AH⊥BC于点H，延长CA交⊙A于点F，连接BF。
1. 因为CF是⊙A的直径，所以A为CF中点，且∠BAC + ∠BAF = 180°；
2. 已知∠BAC + ∠EAD = 180°，因此∠BAF = ∠EAD；
3. 在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故BF = DE = 6；
4. 由垂径定理可知，AH⊥BC时，H为BC的中点；
5. 在△CBF中，A是CF中点，H是BC中点，因此AH是△CBF的中位线，根据中位线性质可得：
$ AH = \frac{1}{2}BF = \frac{1}{2}×6 = 3 $
【答案】
3
【知识点】
垂径定理，圆心角与弦的关系，三角形中位线定理
【点评】
本题将圆的基本性质和三角形中位线知识结合考查，核心是通过构造辅助线直径，将互补的圆心角转化为相等的圆心角，建立已知条件和所求量之间的联系，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察已知条件：两个圆心角∠BAC与∠EAD之和为180°，要求圆心A到弦BC的距离。我们可以通过构造直径得到平角，将互补的两个圆心角转化为相等的圆心角，利用同圆中相等圆心角对应弦相等得到与DE等长的弦，再结合垂径定理得到弦BC的中点，最后利用三角形中位线的性质即可求出距离。
【解析】
过点A作AH⊥BC于点H，延长CA交⊙A于点F，连接BF。
1. 因为CF是⊙A的直径，所以A为CF中点，且∠BAC + ∠BAF = 180°；
2. 已知∠BAC + ∠EAD = 180°，因此∠BAF = ∠EAD；
3. 在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故BF = DE = 6；
4. 由垂径定理可知，AH⊥BC时，H为BC的中点；
5. 在△CBF中，A是CF中点，H是BC中点，因此AH是△CBF的中位线，根据中位线性质可得：
$ AH = \frac{1}{2}BF = \frac{1}{2}×6 = 3 $
【答案】
3
【知识点】
垂径定理，圆心角与弦的关系，三角形中位线定理
【点评】
本题将圆的基本性质和三角形中位线知识结合考查，核心是通过构造辅助线直径，将互补的圆心角转化为相等的圆心角，建立已知条件和所求量之间的联系，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.6
10.如图，AB，AC是$\odot O$的两条弦，且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。若$AB=4\sqrt{5}$，$BC=8$，则半径OA的长为
5
。答案
5
解析
【分析】
本题可结合圆的性质与勾股定理求解：首先由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$可得$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，根据圆的对称性与等腰三角形三线合一的性质，延长$AO$交$BC$于点$D$，可知$AD$垂直平分$BC$；第一步先在$Rt△ ABD$中用勾股定理求出$AD$的长度，第二步设半径为$r$，用$r$表示出$OD$的长度，再在$Rt△ OBD$中利用勾股定理列方程，即可求出半径$OA$的长。
【解析】
连接$OB$，延长$AO$交$BC$于点$D$。
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$\therefore AB=AC$，
又$\because AO$过圆心$O$，$\therefore AD⊥ BC$，且$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ ABD$中，$AB=4\sqrt{5}$，$BD=4$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{80-16}=\sqrt{64}=8$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OB=r$，$OD=AD-OA=8-r$。
在$Rt△ OBD$中，由勾股定理得$OB^2=OD^2+BD^2$，代入得：
$r^2=(8-r)^2+4^2$
展开得$r^2=64-16r+r^2+16$，
消去$r^2$后化简得$16r=80$，解得$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
弧与弦的关系，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质应用的常规题型，解题的关键是结合弧相等的条件构造垂直于弦的辅助线，将问题转化为直角三角形的计算，通过列方程求解半径，体现了数形结合与方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
本题可结合圆的性质与勾股定理求解：首先由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$可得$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，根据圆的对称性与等腰三角形三线合一的性质，延长$AO$交$BC$于点$D$，可知$AD$垂直平分$BC$；第一步先在$Rt△ ABD$中用勾股定理求出$AD$的长度，第二步设半径为$r$，用$r$表示出$OD$的长度，再在$Rt△ OBD$中利用勾股定理列方程，即可求出半径$OA$的长。
【解析】
连接$OB$，延长$AO$交$BC$于点$D$。
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$\therefore AB=AC$，
又$\because AO$过圆心$O$，$\therefore AD⊥ BC$，且$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ ABD$中，$AB=4\sqrt{5}$，$BD=4$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{80-16}=\sqrt{64}=8$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OB=r$，$OD=AD-OA=8-r$。
在$Rt△ OBD$中，由勾股定理得$OB^2=OD^2+BD^2$，代入得：
$r^2=(8-r)^2+4^2$
展开得$r^2=64-16r+r^2+16$，
消去$r^2$后化简得$16r=80$，解得$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
弧与弦的关系，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质应用的常规题型，解题的关键是结合弧相等的条件构造垂直于弦的辅助线，将问题转化为直角三角形的计算，通过列方程求解半径，体现了数形结合与方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
11.如图,以平行四边形ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作圆,交AD,BC于点E,F,延长BA交⊙A于点G,求证:$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$.
答案
证明:连接 $AF$.
$\because AB=AF,\therefore ∠ ABF=∠ AFB$.
$\because$ 平行四边形 $ABCD$ 中 $AD // BC,\therefore ∠ EAF=∠ AFB,∠ GAE=∠ ABF$,
$\therefore ∠ GAE=∠ EAF,\therefore \overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$.
$\because AB=AF,\therefore ∠ ABF=∠ AFB$.
$\because$ 平行四边形 $ABCD$ 中 $AD // BC,\therefore ∠ EAF=∠ AFB,∠ GAE=∠ ABF$,
$\therefore ∠ GAE=∠ EAF,\therefore \overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$.
解析
【分析】
要证明同圆中两段弧相等，根据圆的基本性质，同圆内相等的圆心角所对的弧相等，因此可将问题转化为证明$\overset{\frown}{GE}$和$\overset{\frown}{EF}$所对的圆心角相等。首先作辅助线连接AF构造圆心角$∠EAF$，再结合等腰三角形等边对等角的性质、平行四边形对边平行的性质，推导得到两个圆心角相等，即可完成证明。
【解析】
证明：连接 $AF$。
∵ $AB$和$AF$都是$\odot A$的半径，$\therefore AB=AF$，由等腰三角形等边对等角可得$∠ABF=∠AFB$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AD // BC$，根据平行线的性质：两直线平行内错角相等，得$∠EAF=∠AFB$；两直线平行同位角相等，得$∠GAE=∠ABF$。
通过等量代换可得$∠GAE=∠EAF$。
∵ 在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，$\therefore \overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$。
【答案】
证明:连接 $AF$.
$\because AB=AF,\therefore ∠ ABF=∠ AFB$.
$\because$ 平行四边形 $ABCD$ 中 $AD // BC,\therefore ∠ EAF=∠ AFB,∠ GAE=∠ ABF$,
$\therefore ∠ GAE=∠ EAF,\therefore \overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$.
【知识点】
圆心角与弧的关系、平行四边形的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质与特殊四边形、等腰三角形性质结合的基础题型，解题的关键是掌握同圆中弧相等的判定方法，通过作辅助线构造圆心角，将弧相等的证明转化为角相等的证明即可，解题逻辑清晰，属于常考的基础证明题。
【难度系数】
0.8
要证明同圆中两段弧相等，根据圆的基本性质，同圆内相等的圆心角所对的弧相等，因此可将问题转化为证明$\overset{\frown}{GE}$和$\overset{\frown}{EF}$所对的圆心角相等。首先作辅助线连接AF构造圆心角$∠EAF$，再结合等腰三角形等边对等角的性质、平行四边形对边平行的性质，推导得到两个圆心角相等，即可完成证明。
【解析】
证明：连接 $AF$。
∵ $AB$和$AF$都是$\odot A$的半径，$\therefore AB=AF$，由等腰三角形等边对等角可得$∠ABF=∠AFB$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AD // BC$，根据平行线的性质：两直线平行内错角相等，得$∠EAF=∠AFB$；两直线平行同位角相等，得$∠GAE=∠ABF$。
通过等量代换可得$∠GAE=∠EAF$。
∵ 在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，$\therefore \overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$。
【答案】
证明:连接 $AF$.
$\because AB=AF,\therefore ∠ ABF=∠ AFB$.
$\because$ 平行四边形 $ABCD$ 中 $AD // BC,\therefore ∠ EAF=∠ AFB,∠ GAE=∠ ABF$,
$\therefore ∠ GAE=∠ EAF,\therefore \overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$.
【知识点】
圆心角与弧的关系、平行四边形的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质与特殊四边形、等腰三角形性质结合的基础题型，解题的关键是掌握同圆中弧相等的判定方法，通过作辅助线构造圆心角，将弧相等的证明转化为角相等的证明即可，解题逻辑清晰，属于常考的基础证明题。
【难度系数】
0.8
12.如图，$∠ AOB=90°$，点$C$，$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，连接$AB$分别交$OC$，$OD$于点$E$，$F$。
(1)求$∠ AEC$的度数。
(2)求证：$AE=BF=CD$。
(1)求$∠ AEC$的度数。
(2)求证：$AE=BF=CD$。
答案
(1)$\because C,D$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的三等分点,$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$,
又 $\because ∠ AOB=90°,\therefore ∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=30°$,
$\because OA=OB,∠ AOB=90°,\therefore ∠ OAB=∠ OBA=45°$,
$\therefore ∠ AEC=∠ AOC+∠ OAB=30°+45°=75°$.
(2)证明:连接 $AC,DB$.
$\because ∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=30°,OA=OC,\therefore ∠ ACO=\dfrac{1}{2}(180°-∠ AOC)=75°$,
$\because ∠ AEC=75°,\therefore ∠ AEC=∠ ACO,\therefore AE=AC$,
同理可得 $BF=DB$.
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB},\therefore AC=CD=DB$,
$\therefore AE=BF=CD$.
又 $\because ∠ AOB=90°,\therefore ∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=30°$,
$\because OA=OB,∠ AOB=90°,\therefore ∠ OAB=∠ OBA=45°$,
$\therefore ∠ AEC=∠ AOC+∠ OAB=30°+45°=75°$.
(2)证明:连接 $AC,DB$.
$\because ∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=30°,OA=OC,\therefore ∠ ACO=\dfrac{1}{2}(180°-∠ AOC)=75°$,
$\because ∠ AEC=75°,\therefore ∠ AEC=∠ ACO,\therefore AE=AC$,
同理可得 $BF=DB$.
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB},\therefore AC=CD=DB$,
$\therefore AE=BF=CD$.
解析
【分析】
(1) 求∠AEC的度数时，首先利用弧的三等分性质推出三个圆心角相等，结合∠AOB=90°算出每个圆心角为30°；再由△AOB是等腰直角三角形得到∠OAB=45°；最后根据三角形外角的性质，∠AEC是△AOE的外角，等于两个不相邻内角∠AOC与∠OAB的和，即可求解。
(2) 证明AE=BF=CD时，先根据同圆中相等的弧对应相等的弦，得到AC=CD=DB；再通过角度计算得到∠AEC=∠ACO，利用等角对等边推出AE=AC，同理可证BF=DB，最后通过等量代换完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
又
∵∠AOB=90°，$\therefore ∠AOC=∠COD=∠DOB=\frac{1}{3}×90°=30°$，
∵OA=OB，∠AOB=90°，$\therefore ∠OAB=∠OBA=\frac{1}{2}×(180°-90°)=45°$，
∵∠AEC是△AOE的外角，$\therefore ∠AEC=∠AOC+∠OAB=30°+45°=75°$。
(2) 证明：连接$AC,DB$，
∵∠AOC=30°，OA=OC，$\therefore ∠ACO=\frac{1}{2}(180°-∠AOC)=75°$，
由(1)知∠AEC=75°，$\therefore ∠AEC=∠ACO$，$\therefore AE=AC$，
同理可得∠BFD=∠BDO=75°，$\therefore BF=DB$，
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，同圆中相等的弧对应相等的弦，$\therefore AC=CD=DB$，
$\therefore AE=BF=CD$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{75°}$
(2) 已证，$AE=BF=CD$
【知识点】
圆心角弧弦的关系，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题是圆的基本性质的典型应用习题，解题关键是利用弧的三等分关系得到相等的圆心角，再结合等腰三角形的性质实现边角关系的转化，能很好地考察学生对圆基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠AEC的度数时，首先利用弧的三等分性质推出三个圆心角相等，结合∠AOB=90°算出每个圆心角为30°；再由△AOB是等腰直角三角形得到∠OAB=45°；最后根据三角形外角的性质，∠AEC是△AOE的外角，等于两个不相邻内角∠AOC与∠OAB的和，即可求解。
(2) 证明AE=BF=CD时，先根据同圆中相等的弧对应相等的弦，得到AC=CD=DB；再通过角度计算得到∠AEC=∠ACO，利用等角对等边推出AE=AC，同理可证BF=DB，最后通过等量代换完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
又
∵∠AOB=90°，$\therefore ∠AOC=∠COD=∠DOB=\frac{1}{3}×90°=30°$，
∵OA=OB，∠AOB=90°，$\therefore ∠OAB=∠OBA=\frac{1}{2}×(180°-90°)=45°$，
∵∠AEC是△AOE的外角，$\therefore ∠AEC=∠AOC+∠OAB=30°+45°=75°$。
(2) 证明：连接$AC,DB$，
∵∠AOC=30°，OA=OC，$\therefore ∠ACO=\frac{1}{2}(180°-∠AOC)=75°$，
由(1)知∠AEC=75°，$\therefore ∠AEC=∠ACO$，$\therefore AE=AC$，
同理可得∠BFD=∠BDO=75°，$\therefore BF=DB$，
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，同圆中相等的弧对应相等的弦，$\therefore AC=CD=DB$，
$\therefore AE=BF=CD$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{75°}$
(2) 已证，$AE=BF=CD$
【知识点】
圆心角弧弦的关系，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题是圆的基本性质的典型应用习题，解题关键是利用弧的三等分关系得到相等的圆心角，再结合等腰三角形的性质实现边角关系的转化，能很好地考察学生对圆基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
