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1.如图，点A，B，C均在$\odot O$上，若$∠ AOB=60°$，则$∠ ACB$的度数是
$30°$
。答案
$30°$
解析
【分析】
首先观察题干和图形，已知圆心角∠AOB的度数，要求圆周角∠ACB的度数，先判断两个角所对的弧：二者都对应弧AB。此时联想到圆周角定理：同圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此直接利用该定理代入数值计算即可。
【解析】
根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
本题中∠AOB是圆心角，∠ACB是圆周角，二者均对应弧AB，因此：
$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB$
已知$∠ AOB=60°$，代入得：
$∠ ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是圆的有关性质的基础题型，核心考查圆周角定理的应用，解题关键是准确识别同弧对应的圆心角和圆周角，属于必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.9
首先观察题干和图形，已知圆心角∠AOB的度数，要求圆周角∠ACB的度数，先判断两个角所对的弧：二者都对应弧AB。此时联想到圆周角定理：同圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此直接利用该定理代入数值计算即可。
【解析】
根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
本题中∠AOB是圆心角，∠ACB是圆周角，二者均对应弧AB，因此：
$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB$
已知$∠ AOB=60°$，代入得：
$∠ ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是圆的有关性质的基础题型，核心考查圆周角定理的应用，解题关键是准确识别同弧对应的圆心角和圆周角，属于必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.9
2.如图,在$\odot O$中,$OA⊥ BC$,$∠ ADC=29°$,则$∠ AOB$的度数是
$58°$
.答案
$58°$
解析
【分析】
首先观察题干条件：OA⊥BC，结合圆的性质首先联想到垂径定理，可推出劣弧AB与劣弧AC相等；再看已知角∠ADC是圆周角，对应劣弧AC，要求的∠AOB是圆心角，对应劣弧AB，根据等弧所对的圆心角是圆周角的2倍这一规律，即可推导∠AOB和∠ADC的数量关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OA是$\odot O$的半径，且$OA⊥BC$，
∴根据垂径定理，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。
∵∠ADC是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$；∠AOB是圆心角，所对的弧为$\overset{\frown}{AB}$，
根据圆周角定理：等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠AOB=2∠ADC$。
又
∵$∠ADC=29°$，
∴$∠AOB=2×29°=58°$。
【答案】
$58°$
【知识点】
垂径定理、圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题，解题关键是熟练运用垂径定理得到等弧，再结合圆周角和圆心角的数量关系求解，需要准确掌握两个定理的应用条件。
【难度系数】
0.8
首先观察题干条件：OA⊥BC，结合圆的性质首先联想到垂径定理，可推出劣弧AB与劣弧AC相等；再看已知角∠ADC是圆周角，对应劣弧AC，要求的∠AOB是圆心角，对应劣弧AB，根据等弧所对的圆心角是圆周角的2倍这一规律，即可推导∠AOB和∠ADC的数量关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OA是$\odot O$的半径，且$OA⊥BC$，
∴根据垂径定理，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。
∵∠ADC是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$；∠AOB是圆心角，所对的弧为$\overset{\frown}{AB}$，
根据圆周角定理：等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠AOB=2∠ADC$。
又
∵$∠ADC=29°$，
∴$∠AOB=2×29°=58°$。
【答案】
$58°$
【知识点】
垂径定理、圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题，解题关键是熟练运用垂径定理得到等弧，再结合圆周角和圆心角的数量关系求解，需要准确掌握两个定理的应用条件。
【难度系数】
0.8
3.如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ CAB=40°$，则$∠ ADC$的度数是
$50°$
.答案
$50°$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“AB是⊙O的直径”入手，联想到圆中直径所对的圆周角是直角，因此可连接BC得到Rt△ACB；再结合已知的∠CAB=40°，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，二者相等，即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ACB中，∠CAB=40°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°，
∵∠ADC和∠ABC都为弧AC所对的圆周角，
∴∠ADC=∠ABC=50°（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
$50°$
【知识点】
直径所对圆周角的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆的相关基本性质，准确找到相等的圆周角即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件“AB是⊙O的直径”入手，联想到圆中直径所对的圆周角是直角，因此可连接BC得到Rt△ACB；再结合已知的∠CAB=40°，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，二者相等，即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ACB中，∠CAB=40°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°，
∵∠ADC和∠ABC都为弧AC所对的圆周角，
∴∠ADC=∠ABC=50°（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
$50°$
【知识点】
直径所对圆周角的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆的相关基本性质，准确找到相等的圆周角即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.如图，AB为$\odot O$的直径，点C，D是$\odot O$上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，则$∠ D$的度数为________.
答案
$45°$
解析
【分析】
解题时首先结合直径的性质确定半圆的度数，再根据等弧的性质求出$\overset{\frown}{AC}$的度数，最后利用圆周角定理计算∠D的度数即可。步骤如下：1. 明确直径对应半圆，度数为$180°$；2. 由两段弧相等，求出$\overset{\frown}{AC}$的度数；3. 圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，代入计算得到∠D的大小。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{ACB}$是半圆，度数为$180°$，
又
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数为$\frac{1}{2}×180°=90°$，
∵∠D是$\odot O$的圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
∴$∠ D=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
直径的性质；等弧的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握弧的度数和圆周角度数的对应关系，难度较低，掌握相关基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合直径的性质确定半圆的度数，再根据等弧的性质求出$\overset{\frown}{AC}$的度数，最后利用圆周角定理计算∠D的度数即可。步骤如下：1. 明确直径对应半圆，度数为$180°$；2. 由两段弧相等，求出$\overset{\frown}{AC}$的度数；3. 圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，代入计算得到∠D的大小。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{ACB}$是半圆，度数为$180°$，
又
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数为$\frac{1}{2}×180°=90°$，
∵∠D是$\odot O$的圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
∴$∠ D=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
直径的性质；等弧的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握弧的度数和圆周角度数的对应关系，难度较低，掌握相关基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
5.如图，AB为$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，$∠ A=53°$，则$∠ B$的度数是
$37°$
。答案
$37°$
解析
【分析】
要求∠B的度数，可结合圆周角定理求解：首先，∠B是弧$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，因此只需先求出$\overset{\frown}{AD}$的度数即可；已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，可先推导$\overset{\frown}{AC}$的度数；AB是直径，对应半圆$\overset{\frown}{ACB}$度数为180°，因此只需算出$\overset{\frown}{BC}$的度数就能得到$\overset{\frown}{AC}$的度数；已知∠BAC=53°，它是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据圆周角定理可直接求出$\overset{\frown}{BC}$的度数，逐步逆推即可得到结果。
【解析】
1. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半。
已知∠BAC=53°，∠BAC所对的弧为$\overset{\frown}{BC}$，因此$\overset{\frown}{BC}$的度数为$2×53°=106°$。
2. 因为AB为$\odot O$的直径，所以半圆$\overset{\frown}{ACB}$的度数为$180°$，因此$\overset{\frown}{AC}$的度数为$180° - 106°=74°$。
3. 由题设$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，可得$\overset{\frown}{AD}$的度数为$74°$。
4. 所求∠B是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，因此$∠ B=\frac{1}{2}×74°=37°$。
【答案】
$37°$
【知识点】
圆周角定理、等弧的性质、直径的性质
【点评】
本题属于圆的基础角度计算题，解题核心是熟练运用圆周角定理，结合等弧、直径的性质完成弧和圆周角的度数转化，计算量小，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要求∠B的度数，可结合圆周角定理求解：首先，∠B是弧$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，因此只需先求出$\overset{\frown}{AD}$的度数即可；已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，可先推导$\overset{\frown}{AC}$的度数；AB是直径，对应半圆$\overset{\frown}{ACB}$度数为180°，因此只需算出$\overset{\frown}{BC}$的度数就能得到$\overset{\frown}{AC}$的度数；已知∠BAC=53°，它是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据圆周角定理可直接求出$\overset{\frown}{BC}$的度数，逐步逆推即可得到结果。
【解析】
1. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半。
已知∠BAC=53°，∠BAC所对的弧为$\overset{\frown}{BC}$，因此$\overset{\frown}{BC}$的度数为$2×53°=106°$。
2. 因为AB为$\odot O$的直径，所以半圆$\overset{\frown}{ACB}$的度数为$180°$，因此$\overset{\frown}{AC}$的度数为$180° - 106°=74°$。
3. 由题设$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，可得$\overset{\frown}{AD}$的度数为$74°$。
4. 所求∠B是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，因此$∠ B=\frac{1}{2}×74°=37°$。
【答案】
$37°$
【知识点】
圆周角定理、等弧的性质、直径的性质
【点评】
本题属于圆的基础角度计算题，解题核心是熟练运用圆周角定理，结合等弧、直径的性质完成弧和圆周角的度数转化，计算量小，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
6.如图，AB是$\odot O$的弦，点C是$\odot O$上的点，且$∠ ACB=60°$，$OD⊥ AB$于点E，交$\odot O$于点D。若$\odot O$的半径为6，则弦AB的长为
$6\sqrt{3}$
。答案
$6\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知的∠ACB求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；②再利用垂径定理，由OD⊥AB可得E是AB中点，且OD平分∠AOB，得到Rt△AOE中∠AOE的度数；③最后结合圆的半径长度，在直角三角形中利用三角函数求出AE的长度，乘以2即可得到弦AB的长。
【解析】
解：连接OB，
∵∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理：$∠ AOB = 2∠ ACB = 2×60° = 120°$，
∵$OD⊥ AB$，OD过圆心O，
∴根据垂径定理：$AE = BE = \frac{1}{2}AB$，$∠ AOE = \frac{1}{2}∠ AOB = 60°$，
在Rt△AOE中，$OA=6$，$∠ AOE=60°$，
∴$AE = OA·\sin∠ AOE = 6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，
∴$AB = 2AE = 2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理；垂径定理；解直角三角形
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，解题核心是结合圆周角定理和垂径定理构造特殊直角三角形，将求弦长的问题转化为解直角三角形的问题，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：①首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知的∠ACB求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；②再利用垂径定理，由OD⊥AB可得E是AB中点，且OD平分∠AOB，得到Rt△AOE中∠AOE的度数；③最后结合圆的半径长度，在直角三角形中利用三角函数求出AE的长度，乘以2即可得到弦AB的长。
【解析】
解：连接OB，
∵∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理：$∠ AOB = 2∠ ACB = 2×60° = 120°$，
∵$OD⊥ AB$，OD过圆心O，
∴根据垂径定理：$AE = BE = \frac{1}{2}AB$，$∠ AOE = \frac{1}{2}∠ AOB = 60°$，
在Rt△AOE中，$OA=6$，$∠ AOE=60°$，
∴$AE = OA·\sin∠ AOE = 6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，
∴$AB = 2AE = 2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理；垂径定理；解直角三角形
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，解题核心是结合圆周角定理和垂径定理构造特殊直角三角形，将求弦长的问题转化为解直角三角形的问题，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
7.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AC为$\odot O$的直径,若DB平分$∠ ADC$,$AB=\sqrt{2}$,$AD=1$,求$∠ ADB$的度数及线段CD的长.
答案
$\because DB$ 平分 $∠ ADC,\therefore ∠ ADB=∠ BDC,\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC},\therefore AB=BC$,
$\because AC$ 为直径,$\therefore ∠ ABC=90°=∠ ADC$,
$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形,得 $AC=\sqrt{2}AB=2,∠ ACB=45°$,
$\therefore ∠ ADB=∠ ACB=45°$.
$\because AD=1,\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{3}$.
$\because AC$ 为直径,$\therefore ∠ ABC=90°=∠ ADC$,
$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形,得 $AC=\sqrt{2}AB=2,∠ ACB=45°$,
$\therefore ∠ ADB=∠ ACB=45°$.
$\because AD=1,\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{3}$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①DB平分∠ADC，可得两个相等的圆周角，根据圆周角定理，相等的圆周角对应的弧相等，进一步得到对应弦相等，即AB=BC；②AC是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ABC=∠ADC=90°，由此可知△ABC是等腰直角三角形，可先求出AC的长度；再利用同弧所对的圆周角相等，即可求出∠ADB的度数；最后在Rt△ADC中，用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
∵ DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB=∠BDC，
根据相等的圆周角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ AB=BC。
∵ AC为$\odot O$的直径，
∴ 直径所对的圆周角为直角，即$∠ABC=90°=∠ADC$，
∴ △ABC是等腰直角三角形，
∴ $AC=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，且$∠ACB=45°$。
∵ ∠ADB和∠ACB都是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
∴ ∠ADB=∠ACB=45°。
在Rt△ADC中，AD=1，AC=2，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
∠ADB=45°，CD=$\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，等弧对等弦
【点评】
本题属于圆性质应用的基础综合题，解题的关键是抓住角平分线、直径这两个特殊条件，结合圆周角定理转化边角关系，再借助直角三角形的性质计算，对基础知识点的运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①DB平分∠ADC，可得两个相等的圆周角，根据圆周角定理，相等的圆周角对应的弧相等，进一步得到对应弦相等，即AB=BC；②AC是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ABC=∠ADC=90°，由此可知△ABC是等腰直角三角形，可先求出AC的长度；再利用同弧所对的圆周角相等，即可求出∠ADB的度数；最后在Rt△ADC中，用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
∵ DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB=∠BDC，
根据相等的圆周角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ AB=BC。
∵ AC为$\odot O$的直径，
∴ 直径所对的圆周角为直角，即$∠ABC=90°=∠ADC$，
∴ △ABC是等腰直角三角形，
∴ $AC=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，且$∠ACB=45°$。
∵ ∠ADB和∠ACB都是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
∴ ∠ADB=∠ACB=45°。
在Rt△ADC中，AD=1，AC=2，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
∠ADB=45°，CD=$\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，等弧对等弦
【点评】
本题属于圆性质应用的基础综合题，解题的关键是抓住角平分线、直径这两个特殊条件，结合圆周角定理转化边角关系，再借助直角三角形的性质计算，对基础知识点的运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
