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8.如图，AB，AC是$\odot O$的两条弦，$OD⊥ AB$于点D，$OE⊥ AC$于点E，连接OB，OC.若$∠ DOE=130°$，则$∠ BOC$的度数为
$100°$
.答案
$100°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察到OD⊥AB、OE⊥AC，可得两个直角，结合四边形内角和为360°，可以先计算出圆周角∠BAC的度数；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出圆心角∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵OD⊥AB，OE⊥AC
∴∠ADO=90°，∠AEO=90°
∵四边形ADOE的内角和为360°，∠DOE=130°
∴∠BAC=360°-∠ADO-∠AEO-∠DOE=360°-90°-90°-130°=50°
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BOC和∠BAC均对应弧BC
∴∠BOC=2∠BAC=2×50°=100°
【答案】
$100°$
【知识点】
四边形内角和、圆周角定理、垂线的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题的关键是先通过四边形内角和求出圆周角的度数，再利用圆周角定理推导得到圆心角的度数，解题过程中要注意对应同一段弧的圆心角和圆周角才满足2倍关系。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先观察到OD⊥AB、OE⊥AC，可得两个直角，结合四边形内角和为360°，可以先计算出圆周角∠BAC的度数；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出圆心角∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵OD⊥AB，OE⊥AC
∴∠ADO=90°，∠AEO=90°
∵四边形ADOE的内角和为360°，∠DOE=130°
∴∠BAC=360°-∠ADO-∠AEO-∠DOE=360°-90°-90°-130°=50°
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BOC和∠BAC均对应弧BC
∴∠BOC=2∠BAC=2×50°=100°
【答案】
$100°$
【知识点】
四边形内角和、圆周角定理、垂线的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题的关键是先通过四边形内角和求出圆周角的度数，再利用圆周角定理推导得到圆心角的度数，解题过程中要注意对应同一段弧的圆心角和圆周角才满足2倍关系。
【难度系数】
0.7
9.如图，AB是$\odot O$的直径，弦CD交AB于点E，$∠ ACD=60°$，$∠ ADC=45°$，则$∠ DEB$的度数是
$75°$
.答案
$75°$
解析
【分析】
要求∠DEB的度数，观察图形可知∠DEB与∠AEC是对顶角，因此只需先求出∠AEC的度数即可。在△ACE中，已知∠ACD=60°，还需得到∠CAB的度数：结合AB是直径的条件，可推出直径所对的圆周角∠ACB=90°；再根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ABC=∠ADC=45°，即可求出∠CAB的度数，最后结合三角形内角和定理完成计算。
【解析】
解：连接BC，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∵$∠ ADC$和$∠ ABC$都是弧$AC$所对的圆周角，
∴$∠ ABC=∠ ADC=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ CAB=90°-∠ ABC=90°-45°=45°$，
在$△ ACE$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ AEC=180°-∠ CAB-∠ ACD=180°-45°-60°=75°$，
又
∵$∠ DEB$与$∠ AEC$是对顶角，
∴$∠ DEB=∠ AEC=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
圆周角定理，对顶角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，解题的核心是利用圆周角定理建立圆中角的等量关系，结合三角形的相关性质求解，解题时要注意观察图形中角的位置关系，选择简便的计算路径。
【难度系数】
0.7
要求∠DEB的度数，观察图形可知∠DEB与∠AEC是对顶角，因此只需先求出∠AEC的度数即可。在△ACE中，已知∠ACD=60°，还需得到∠CAB的度数：结合AB是直径的条件，可推出直径所对的圆周角∠ACB=90°；再根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ABC=∠ADC=45°，即可求出∠CAB的度数，最后结合三角形内角和定理完成计算。
【解析】
解：连接BC，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∵$∠ ADC$和$∠ ABC$都是弧$AC$所对的圆周角，
∴$∠ ABC=∠ ADC=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ CAB=90°-∠ ABC=90°-45°=45°$，
在$△ ACE$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ AEC=180°-∠ CAB-∠ ACD=180°-45°-60°=75°$，
又
∵$∠ DEB$与$∠ AEC$是对顶角，
∴$∠ DEB=∠ AEC=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
圆周角定理，对顶角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，解题的核心是利用圆周角定理建立圆中角的等量关系，结合三角形的相关性质求解，解题时要注意观察图形中角的位置关系，选择简便的计算路径。
【难度系数】
0.7
10.如图，AC，BC为$\odot O$的两条弦，点D，G分别为AC，BC的中点，$\odot O$的半径为2.若$∠ C=45°$，则DG的长为
$\sqrt{2}$
.答案
$\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先观察到D、G分别是AC、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，得出DG是△ABC的中位线，因此DG=½AB，只需先求出弦AB的长度即可。接着结合圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知∠C=45°可求出弧AB对应的圆心角∠AOB=90°，再结合圆的半径为2，用勾股定理求出AB的长度，即可算出DG的长。
【解析】
1. 连接OA、OB。
2.
∵D、G分别为AC、BC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$DG=\frac{1}{2}AB$。
3. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，已知∠C=45°，
∴$∠ AOB=2∠ C=2×45°=90°$。
4.
∵⊙O的半径为2，
∴$OA=OB=2$，在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
5. 代入中位线关系得：$DG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的核心是通过中位线将求DG的长度转化为求弦AB的长度，再结合圆的相关性质和勾股定理求解，思路连贯性较强，能较好地考查知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察到D、G分别是AC、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，得出DG是△ABC的中位线，因此DG=½AB，只需先求出弦AB的长度即可。接着结合圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知∠C=45°可求出弧AB对应的圆心角∠AOB=90°，再结合圆的半径为2，用勾股定理求出AB的长度，即可算出DG的长。
【解析】
1. 连接OA、OB。
2.
∵D、G分别为AC、BC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$DG=\frac{1}{2}AB$。
3. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，已知∠C=45°，
∴$∠ AOB=2∠ C=2×45°=90°$。
4.
∵⊙O的半径为2，
∴$OA=OB=2$，在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
5. 代入中位线关系得：$DG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的核心是通过中位线将求DG的长度转化为求弦AB的长度，再结合圆的相关性质和勾股定理求解，思路连贯性较强，能较好地考查知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
11.圆中一条弦恰好等于圆的半径,则这条弦所对的圆周角的度数为
$30°$或$150°$
.答案
$30°$或$150°$
解析
【分析】
首先连接圆心与弦的两个端点，结合弦长等于半径可判定得到等边三角形，从而求出弦所对的圆心角。需要注意圆中一条弦对应劣弧和优弧两段弧，两段弧分别对应不同的圆周角，要分两种情况结合圆周角相关定理计算，避免漏解。
【解析】
设圆的半径为$r$，该弦为$AB$，圆心为$O$，连接$OA$、$OB$。
$\because OA=OB=AB=r$，
$\therefore △ OAB$是等边三角形，
$\therefore ∠ AOB=60°$。
①当圆周角的顶点在弦$AB$所对的优弧上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得此时圆周角度数为$\frac{1}{2}×60°=30°$；
②当圆周角的顶点在弦$AB$所对的劣弧上时，根据圆内接四边形对角互补，可得此时圆周角度数为$180°-30°=150°$。
综上，这条弦所对的圆周角的度数为$30°$或$150°$。
【答案】
$30°$或$150°$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题易错点是漏算$150°$的情况，解题时要明确弦对应的圆周角有两类，分别位于弦的两侧，需运用分类讨论思想完整求解。
【难度系数】
0.6
首先连接圆心与弦的两个端点，结合弦长等于半径可判定得到等边三角形，从而求出弦所对的圆心角。需要注意圆中一条弦对应劣弧和优弧两段弧，两段弧分别对应不同的圆周角，要分两种情况结合圆周角相关定理计算，避免漏解。
【解析】
设圆的半径为$r$，该弦为$AB$，圆心为$O$，连接$OA$、$OB$。
$\because OA=OB=AB=r$，
$\therefore △ OAB$是等边三角形，
$\therefore ∠ AOB=60°$。
①当圆周角的顶点在弦$AB$所对的优弧上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得此时圆周角度数为$\frac{1}{2}×60°=30°$；
②当圆周角的顶点在弦$AB$所对的劣弧上时，根据圆内接四边形对角互补，可得此时圆周角度数为$180°-30°=150°$。
综上，这条弦所对的圆周角的度数为$30°$或$150°$。
【答案】
$30°$或$150°$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题易错点是漏算$150°$的情况，解题时要明确弦对应的圆周角有两类，分别位于弦的两侧，需运用分类讨论思想完整求解。
【难度系数】
0.6
12.如图，在$\odot O$中，点$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点，连接$AC$并延长至点$D$，使$CD=CA$；连接$DB$并延长$DB$，交$\odot O$于点$E$，连接$AE$.
(1)求证：$AE$是$\odot O$的直径.
(2)求证：$AE=DE$.
(1)求证：$AE$是$\odot O$的直径.
(2)求证：$AE=DE$.
答案
(1)证明:连接 $BC,AB$,
$\because$ 点 $C$ 为 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点,$CD=CA,\therefore AC=BC=CD,\therefore ∠ ABD=90°$,
$\therefore ∠ ABE=90°,\therefore AE$ 为 $\odot O$ 的直径.
(2)证明:连接 $EC$.
$\because AE$ 为 $\odot O$ 的直径,$\therefore EC ⊥ AD$,又 $\because CD=CA,\therefore AE=DE$.
$\because$ 点 $C$ 为 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点,$CD=CA,\therefore AC=BC=CD,\therefore ∠ ABD=90°$,
$\therefore ∠ ABE=90°,\therefore AE$ 为 $\odot O$ 的直径.
(2)证明:连接 $EC$.
$\because AE$ 为 $\odot O$ 的直径,$\therefore EC ⊥ AD$,又 $\because CD=CA,\therefore AE=DE$.
解析
【分析】
(1)要证明AE是$\odot O$的直径，可利用圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，因此只需证$∠ ABE=90°$即可。先连接$BC、AB$，由点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点可得$AC=BC$，结合$CD=CA$可推出$BC=AC=CD$，即$△ ABD$中AD边上的中线等于AD的一半，可判定$△ ABD$是直角三角形，得到$∠ ABD=90°$，进一步得邻补角$∠ ABE=90°$，即可完成证明。
(2)要证明$AE=DE$，可借助垂直平分线的性质推导。连接$EC$，由AE是直径可得直径所对的圆周角$∠ ACE=90°$，即$EC⊥ AD$，结合已知$AC=CD$，可知EC是AD的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，即可证得$AE=DE$。
【解析】
(1)证明：连接$BC,AB$，
$\because$ 点 $C$ 为 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点，$CD=CA$，
$\therefore AC=BC=CD$，
$\therefore ∠ ABD=90°$，
$\therefore ∠ ABE=90°$，
$\therefore AE$ 为 $\odot O$ 的直径。
(2)证明：连接 $EC$，
$\because AE$ 为 $\odot O$ 的直径，
$\therefore EC ⊥ AD$，
又 $\because CD=CA$，
$\therefore AE=DE$。
【答案】
(1)证明：连接 $BC,AB$,
$\because$ 点 $C$ 为 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点,$CD=CA,\therefore AC=BC=CD,\therefore ∠ ABD=90°$,
$\therefore ∠ ABE=90°,\therefore AE$ 为 $\odot O$ 的直径.
(2)证明：连接 $EC$.
$\because AE$ 为 $\odot O$ 的直径,$\therefore EC ⊥ AD$,又 $\because CD=CA,\therefore AE=DE$.
【知识点】
弧与弦的关系，圆周角定理推论，垂直平分线的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线，搭建已知条件和待证结论的关联，能有效考查对圆的基本性质的掌握程度和综合运用几何定理的推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明AE是$\odot O$的直径，可利用圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，因此只需证$∠ ABE=90°$即可。先连接$BC、AB$，由点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点可得$AC=BC$，结合$CD=CA$可推出$BC=AC=CD$，即$△ ABD$中AD边上的中线等于AD的一半，可判定$△ ABD$是直角三角形，得到$∠ ABD=90°$，进一步得邻补角$∠ ABE=90°$，即可完成证明。
(2)要证明$AE=DE$，可借助垂直平分线的性质推导。连接$EC$，由AE是直径可得直径所对的圆周角$∠ ACE=90°$，即$EC⊥ AD$，结合已知$AC=CD$，可知EC是AD的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，即可证得$AE=DE$。
【解析】
(1)证明：连接$BC,AB$，
$\because$ 点 $C$ 为 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点，$CD=CA$，
$\therefore AC=BC=CD$，
$\therefore ∠ ABD=90°$，
$\therefore ∠ ABE=90°$，
$\therefore AE$ 为 $\odot O$ 的直径。
(2)证明：连接 $EC$，
$\because AE$ 为 $\odot O$ 的直径，
$\therefore EC ⊥ AD$，
又 $\because CD=CA$，
$\therefore AE=DE$。
【答案】
(1)证明：连接 $BC,AB$,
$\because$ 点 $C$ 为 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点,$CD=CA,\therefore AC=BC=CD,\therefore ∠ ABD=90°$,
$\therefore ∠ ABE=90°,\therefore AE$ 为 $\odot O$ 的直径.
(2)证明：连接 $EC$.
$\because AE$ 为 $\odot O$ 的直径,$\therefore EC ⊥ AD$,又 $\because CD=CA,\therefore AE=DE$.
【知识点】
弧与弦的关系，圆周角定理推论，垂直平分线的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线，搭建已知条件和待证结论的关联，能有效考查对圆的基本性质的掌握程度和综合运用几何定理的推理能力。
【难度系数】
0.7
13.如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦，$CD⊥ AB$于点E，点F在$\odot O$上且$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA}$。
(1)连接AF，求证：$AF=CD$。
(2)连接BF，BD。若$AE=2$，$BF=6$，求BD的长。
(1)连接AF，求证：$AF=CD$。
(2)连接BF，BD。若$AE=2$，$BF=6$，求BD的长。
答案
(1)证明:$\because CD ⊥ AB$ 于点 $E$,$\therefore \overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{AD}$,
$\because \overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA},\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AF},\therefore AF=CD$.
(2)连接 $OC$,交 $AF$ 于点 $H$.
$\because \overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA},\therefore OC$ 垂直平分 $FA$,$\therefore OH$ 是 $△ ABF$ 的中位线,$\therefore OH=\dfrac{1}{2}BF=3$.
$\because OE ⊥ CD,OH ⊥ AF,\therefore AH=\dfrac{1}{2}AF,CE=\dfrac{1}{2}CD$,
$\because AF=CD,\therefore AH=CE,\therefore \mathrm{Rt}△ OAH ≌ \mathrm{Rt}△ OCE(\mathrm{HL})$,
$\therefore OH=OE=3,\therefore OA=AE+OE=5,\therefore BE=AB-AE=2OA-AE=8$,
$\because CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=4,\therefore DE=CE=4,\therefore BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=4\sqrt{5}$.
$\because \overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA},\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AF},\therefore AF=CD$.
(2)连接 $OC$,交 $AF$ 于点 $H$.
$\because \overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA},\therefore OC$ 垂直平分 $FA$,$\therefore OH$ 是 $△ ABF$ 的中位线,$\therefore OH=\dfrac{1}{2}BF=3$.
$\because OE ⊥ CD,OH ⊥ AF,\therefore AH=\dfrac{1}{2}AF,CE=\dfrac{1}{2}CD$,
$\because AF=CD,\therefore AH=CE,\therefore \mathrm{Rt}△ OAH ≌ \mathrm{Rt}△ OCE(\mathrm{HL})$,
$\therefore OH=OE=3,\therefore OA=AE+OE=5,\therefore BE=AB-AE=2OA-AE=8$,
$\because CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=4,\therefore DE=CE=4,\therefore BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=4\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1)要证明同圆中两条弦相等，可先证明两条弦对应的弧相等。已知CD垂直于直径AB，根据垂径定理可得$\overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{AD}$，结合已知$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA}$，可推导出$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CD}$，即可得到对应弦相等。
(2)要求BD的长，观察到CD⊥AB，△BDE为直角三角形，只需算出BE和DE的长度，即可用勾股定理求解。首先连接OC，由等弧性质可得OC垂直平分AF，结合AB是直径可得∠AFB=90°，进而推出OH是△ABF的中位线，算出OH的长度；再证明Rt△OAH≌Rt△OCE，得到OE=OH，即可求出圆的半径，进而算出BE、CE（即DE）的长度，最后用勾股定理求出BD即可。
【解析】
(1)证明：
∵$CD⊥AB$于点E，AB是$\odot O$的直径，
∴根据垂径定理得$\overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{AD}$，
又
∵$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA}$，
∴$\overset{\frown}{CF}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CD}$，
∴同圆中等弧对等弦，故$AF=CD$。
(2)解：连接$OC$，交$AF$于点$H$。
∵$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA}$，OC是$\odot O$的半径，
∴OC垂直平分FA，即$OH⊥AF$，$AH=HF$。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠AFB=90°$，即$BF⊥AF$，
∴$OH// BF$，
又
∵O是AB的中点，
∴OH是$△ ABF$的中位线，
∴$OH=\dfrac{1}{2}BF=\dfrac{1}{2}×6=3$。
∵$OE⊥CD$，$OH⊥AF$，
∴$CE=\dfrac{1}{2}CD$，$AH=\dfrac{1}{2}AF$，
由(1)知$AF=CD$，
∴$AH=CE$。
在$\mathrm{Rt}△ OAH$和$\mathrm{Rt}△ OCE$中：
$\begin{cases} OA=OC \\ AH=CE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ OAH ≌ \mathrm{Rt}△ OCE(\mathrm{HL})$，
∴$OH=OE=3$，
∴$OA=AE+OE=2+3=5$，即$\odot O$的半径为5，
∴$AB=2OA=10$，
∴$BE=AB-AE=10-2=8$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∵$CD⊥AB$，
∴$DE=CE=4$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$。
【答案】
(1)证明成立，$AF=CD$；
(2)$BD=4\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理，弧弦关系，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的典型综合题，解题关键是灵活运用垂径定理、等弧对等弦的性质，通过作辅助线构造中位线和全等三角形，将已知条件转化为所求直角三角形的边长，对辅助线构造和性质综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1)要证明同圆中两条弦相等，可先证明两条弦对应的弧相等。已知CD垂直于直径AB，根据垂径定理可得$\overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{AD}$，结合已知$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA}$，可推导出$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CD}$，即可得到对应弦相等。
(2)要求BD的长，观察到CD⊥AB，△BDE为直角三角形，只需算出BE和DE的长度，即可用勾股定理求解。首先连接OC，由等弧性质可得OC垂直平分AF，结合AB是直径可得∠AFB=90°，进而推出OH是△ABF的中位线，算出OH的长度；再证明Rt△OAH≌Rt△OCE，得到OE=OH，即可求出圆的半径，进而算出BE、CE（即DE）的长度，最后用勾股定理求出BD即可。
【解析】
(1)证明：
∵$CD⊥AB$于点E，AB是$\odot O$的直径，
∴根据垂径定理得$\overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{AD}$，
又
∵$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA}$，
∴$\overset{\frown}{CF}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CD}$，
∴同圆中等弧对等弦，故$AF=CD$。
(2)解：连接$OC$，交$AF$于点$H$。
∵$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA}$，OC是$\odot O$的半径，
∴OC垂直平分FA，即$OH⊥AF$，$AH=HF$。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠AFB=90°$，即$BF⊥AF$，
∴$OH// BF$，
又
∵O是AB的中点，
∴OH是$△ ABF$的中位线，
∴$OH=\dfrac{1}{2}BF=\dfrac{1}{2}×6=3$。
∵$OE⊥CD$，$OH⊥AF$，
∴$CE=\dfrac{1}{2}CD$，$AH=\dfrac{1}{2}AF$，
由(1)知$AF=CD$，
∴$AH=CE$。
在$\mathrm{Rt}△ OAH$和$\mathrm{Rt}△ OCE$中：
$\begin{cases} OA=OC \\ AH=CE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ OAH ≌ \mathrm{Rt}△ OCE(\mathrm{HL})$，
∴$OH=OE=3$，
∴$OA=AE+OE=2+3=5$，即$\odot O$的半径为5，
∴$AB=2OA=10$，
∴$BE=AB-AE=10-2=8$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∵$CD⊥AB$，
∴$DE=CE=4$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$。
【答案】
(1)证明成立，$AF=CD$；
(2)$BD=4\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理，弧弦关系，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的典型综合题，解题关键是灵活运用垂径定理、等弧对等弦的性质，通过作辅助线构造中位线和全等三角形，将已知条件转化为所求直角三角形的边长，对辅助线构造和性质综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
