登录
1. 一元二次方程$x^2 - 3x = 0$中，$\Delta = b^2 - 4ac$的值为 （）
A.0
B.1
C.9
D.12
A.0
B.1
C.9
D.12
答案
C
解析
【分析】
要计算一元二次方程根的判别式Δ的值，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，解题步骤为：①从给定的方程中准确找出对应系数a、b、c的值，注意方程中没有常数项时，常数项c的取值为0，不要漏写；②将系数代入判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$计算即可得到结果。
【解析】
首先将给定的一元二次方程$x^2 - 3x = 0$与一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=0$，
将a、b、c代入判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1×0 = 9 - 0 = 9$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程各项系数的识别以及判别式公式的应用，解题的关键是注意当方程无常数项时，c的取值为0，避免代错数值导致计算错误。
【难度系数】
0.9
要计算一元二次方程根的判别式Δ的值，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，解题步骤为：①从给定的方程中准确找出对应系数a、b、c的值，注意方程中没有常数项时，常数项c的取值为0，不要漏写；②将系数代入判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$计算即可得到结果。
【解析】
首先将给定的一元二次方程$x^2 - 3x = 0$与一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=0$，
将a、b、c代入判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1×0 = 9 - 0 = 9$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程各项系数的识别以及判别式公式的应用，解题的关键是注意当方程无常数项时，c的取值为0，避免代错数值导致计算错误。
【难度系数】
0.9
2.已知关于$x$的方程$x^2 + 3x - m = 0$的判别式的值是53，则$m=$.
答案
解：对于一元二次方程$x^2 + 3x - m = 0$，可得$a=1$，$b=3$，$c=-m$。
根据判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入得：
$\Delta = 3^2 - 4×1×(-m) = 9 + 4m$
由题意知$\Delta=53$，因此列方程：
$9 + 4m = 53$
解得$m=11$。
根据判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入得：
$\Delta = 3^2 - 4×1×(-m) = 9 + 4m$
由题意知$\Delta=53$，因此列方程：
$9 + 4m = 53$
解得$m=11$。
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程判别式的相关知识，第一步先从给定的一元二次方程中，匹配一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$，确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意常数项要连带符号一起确定；第二步将$a$、$b$、$c$代入判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，得到含$m$的表达式；第三步结合题目给出的判别式值为53，列关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 3x - m = 0$，对应一般形式可得$a=1$，$b=3$，$c=-m$。
根据一元二次方程判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入系数得：
$\Delta = 3^2 - 4×1×(-m) = 9 + 4m$
已知判别式的值是53，因此可列方程：
$9 + 4m = 53$
移项计算得$4m=44$，解得$m=11$。
【答案】
$11$
【知识点】
一元二次方程判别式公式，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程判别式公式的运用，解题的易错点是识别常数项时容易遗漏负号，计算时注意运算准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆一元二次方程判别式的相关知识，第一步先从给定的一元二次方程中，匹配一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$，确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意常数项要连带符号一起确定；第二步将$a$、$b$、$c$代入判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，得到含$m$的表达式；第三步结合题目给出的判别式值为53，列关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 3x - m = 0$，对应一般形式可得$a=1$，$b=3$，$c=-m$。
根据一元二次方程判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入系数得：
$\Delta = 3^2 - 4×1×(-m) = 9 + 4m$
已知判别式的值是53，因此可列方程：
$9 + 4m = 53$
移项计算得$4m=44$，解得$m=11$。
【答案】
$11$
【知识点】
一元二次方程判别式公式，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程判别式公式的运用，解题的易错点是识别常数项时容易遗漏负号，计算时注意运算准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
3.已知关于$x$的方程$x^2 - 2x + k = 0$有两个相等的实数根，则$k$的值为。
答案
解：∵关于$x$的方程$x^2 - 2x + k = 0$有两个相等的实数根，
∴该一元二次方程的根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。
在方程$x^2 - 2x + k = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=k$，
代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1× k = 0$
即$4 - 4k = 0$，
解得$k=1$。
∴该一元二次方程的根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。
在方程$x^2 - 2x + k = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=k$，
代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1× k = 0$
即$4 - 4k = 0$，
解得$k=1$。
解析
【分析】
拿到这道题，首先明确题目给出的条件是一元二次方程有两个相等的实数根，我们需要联想到一元二次方程根的情况和判别式的对应关系：当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根。接下来只需要确定所给方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，代入Δ=b²-4ac=0，得到关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值。
【解析】
∵关于$x$的方程$x^2 - 2x + k = 0$有两个相等的实数根，
∴该一元二次方程的根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。
在方程$x^2 - 2x + k = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=k$，
代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1× k = 0$
即$4 - 4k = 0$，
解得$k=1$。
【答案】
1
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记判别式与方程根的三种对应关系是解题的关键，此类题型是一元二次方程模块的高频基础考点。
【难度系数】
0.9
拿到这道题，首先明确题目给出的条件是一元二次方程有两个相等的实数根，我们需要联想到一元二次方程根的情况和判别式的对应关系：当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根。接下来只需要确定所给方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，代入Δ=b²-4ac=0，得到关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值。
【解析】
∵关于$x$的方程$x^2 - 2x + k = 0$有两个相等的实数根，
∴该一元二次方程的根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。
在方程$x^2 - 2x + k = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=k$，
代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1× k = 0$
即$4 - 4k = 0$，
解得$k=1$。
【答案】
1
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记判别式与方程根的三种对应关系是解题的关键，此类题型是一元二次方程模块的高频基础考点。
【难度系数】
0.9
4.已知关于x的一元二次方程$x^2 +8x + q =0$有两个不相等的实数根，则q的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{q＜16}$
解析
【分析】
已知一元二次方程有两个不相等的实数根，解题时首先联想到一元二次方程根的情况与判别式Δ的对应关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。接下来先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式列出关于q的不等式，最后解不等式即可得到q的取值范围。
【解析】
解：
∵关于x的一元二次方程$x^2 +8x + q =0$有两个不相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
其中$a=1$，$b=8$，$c=q$，代入得：
$8^2 - 4×1× q ＞ 0$，
即$64 - 4q ＞ 0$，
移项得$4q ＜ 64$，
解得$q ＜ 16$。
【答案】
$q＜16$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，重点考查根的判别式的应用，解题的关键是熟记不同根的情况对应的判别式的取值范围，解不等式时注意运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
已知一元二次方程有两个不相等的实数根，解题时首先联想到一元二次方程根的情况与判别式Δ的对应关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。接下来先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式列出关于q的不等式，最后解不等式即可得到q的取值范围。
【解析】
解：
∵关于x的一元二次方程$x^2 +8x + q =0$有两个不相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
其中$a=1$，$b=8$，$c=q$，代入得：
$8^2 - 4×1× q ＞ 0$，
即$64 - 4q ＞ 0$，
移项得$4q ＜ 64$，
解得$q ＜ 16$。
【答案】
$q＜16$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，重点考查根的判别式的应用，解题的关键是熟记不同根的情况对应的判别式的取值范围，解不等式时注意运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
5.若$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，则$a+b-c$的值为。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的求根公式结构，将题目给出的根的表达式与求根公式逐项对应，就能确定系数a、b、c的值，最后代入代数式$a+b-c$计算即可。第一步先明确求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(a\ne0)$，第二步分别对比分母、分子的一次项部分、根号内的判别式部分，依次求出a、b、c，第三步代入求值，注意符号不要出错。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题目给出的根的表达式$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$与求根公式逐项对比：
1. 对比分母：$2a=2×3$，解得$a=3$；
2. 对比分子的一次项部分：$-b=2$，解得$b=-2$；
3. 对比根号内判别式的常数项部分：$-4ac=-4×3×(-1)$，将$a=3$代入得：
$-4×3× c=-4×3×(-1)$，约去同类项后得$c=-1$。
将$a=3$、$b=-2$、$c=-1$代入$a+b-c$：
$a+b-c=3+(-2)-(-1)=3-2+1=2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
一元二次方程求根公式；代数式求值
【点评】
本题核心是考查对一元二次方程求根公式结构的熟悉程度，只要能准确对应公式各部分与已知表达式的项，就能顺利求出系数，计算时注意正负号的处理即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的求根公式结构，将题目给出的根的表达式与求根公式逐项对应，就能确定系数a、b、c的值，最后代入代数式$a+b-c$计算即可。第一步先明确求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(a\ne0)$，第二步分别对比分母、分子的一次项部分、根号内的判别式部分，依次求出a、b、c，第三步代入求值，注意符号不要出错。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题目给出的根的表达式$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$与求根公式逐项对比：
1. 对比分母：$2a=2×3$，解得$a=3$；
2. 对比分子的一次项部分：$-b=2$，解得$b=-2$；
3. 对比根号内判别式的常数项部分：$-4ac=-4×3×(-1)$，将$a=3$代入得：
$-4×3× c=-4×3×(-1)$，约去同类项后得$c=-1$。
将$a=3$、$b=-2$、$c=-1$代入$a+b-c$：
$a+b-c=3+(-2)-(-1)=3-2+1=2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
一元二次方程求根公式；代数式求值
【点评】
本题核心是考查对一元二次方程求根公式结构的熟悉程度，只要能准确对应公式各部分与已知表达式的项，就能顺利求出系数，计算时注意正负号的处理即可。
【难度系数】
0.8
6. 用公式法解下列一元二次方程：
(1)$x^2 - 4x -7=0$；
(2)$x^2=-3x -1$；
(3)$2x^2 -2=3x$；
(4)$x^2 +10=2\sqrt{5}x$；
(5)$(x-5)(x+3)=1$。
(1)$x^2 - 4x -7=0$；
(2)$x^2=-3x -1$；
(3)$2x^2 -2=3x$；
(4)$x^2 +10=2\sqrt{5}x$；
(5)$(x-5)(x+3)=1$。
答案
解：
(1) 对于方程$x^2 - 4x -7=0$，
$a=1$，$b=-4$，$c=-7$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×(-7) = 16 + 28 = 44 ＞ 0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{4\pm\sqrt{44}}{2×1}=2\pm\sqrt{11}$，
$\therefore x_1=2+\sqrt{11}$，$x_2=2-\sqrt{11}$。
(2) 将方程$x^2=-3x -1$整理为一般形式：$x^2 + 3x +1=0$，
$a=1$，$b=3$，$c=1$，
判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2×1}$，
$\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
(3) 将方程$2x^2 -2=3x$整理为一般形式：$2x^2 - 3x - 2=0$，
$a=2$，$b=-3$，$c=-2$，
判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×2×(-2) = 9 + 16 = 25 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2×2}=\frac{3\pm5}{4}$，
$\therefore x_1=2$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
(4) 将方程$x^2 +10=2\sqrt{5}x$整理为一般形式：$x^2 - 2\sqrt{5}x + 10=0$，
$a=1$，$b=-2\sqrt{5}$，$c=10$，
判别式$\Delta = (-2\sqrt{5})^2 - 4×1×10 = 20 - 40 = -20 ＜ 0$，
$\therefore$ 该方程没有实数根。
(5) 将方程$(x-5)(x+3)=1$展开并整理为一般形式：$x^2 - 2x - 16=0$，
$a=1$，$b=-2$，$c=-16$，
判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-16) = 4 + 64 = 68 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{68}}{2×1}=1\pm\sqrt{17}$，
$\therefore x_1=1+\sqrt{17}$，$x_2=1-\sqrt{17}$。
(1) 对于方程$x^2 - 4x -7=0$，
$a=1$，$b=-4$，$c=-7$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×(-7) = 16 + 28 = 44 ＞ 0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{4\pm\sqrt{44}}{2×1}=2\pm\sqrt{11}$，
$\therefore x_1=2+\sqrt{11}$，$x_2=2-\sqrt{11}$。
(2) 将方程$x^2=-3x -1$整理为一般形式：$x^2 + 3x +1=0$，
$a=1$，$b=3$，$c=1$，
判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2×1}$，
$\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
(3) 将方程$2x^2 -2=3x$整理为一般形式：$2x^2 - 3x - 2=0$，
$a=2$，$b=-3$，$c=-2$，
判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×2×(-2) = 9 + 16 = 25 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2×2}=\frac{3\pm5}{4}$，
$\therefore x_1=2$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
(4) 将方程$x^2 +10=2\sqrt{5}x$整理为一般形式：$x^2 - 2\sqrt{5}x + 10=0$，
$a=1$，$b=-2\sqrt{5}$，$c=10$，
判别式$\Delta = (-2\sqrt{5})^2 - 4×1×10 = 20 - 40 = -20 ＜ 0$，
$\therefore$ 该方程没有实数根。
(5) 将方程$(x-5)(x+3)=1$展开并整理为一般形式：$x^2 - 2x - 16=0$，
$a=1$，$b=-2$，$c=-16$，
判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-16) = 4 + 64 = 68 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{68}}{2×1}=1\pm\sqrt{17}$，
$\therefore x_1=1+\sqrt{17}$，$x_2=1-\sqrt{17}$。
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，移项、去括号时注意符号不要出错；②准确确定系数$a、b、c$的值，要带上系数的正负号；③计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根；④若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$化简得到根，若$\Delta＜0$可直接判断无实数根。本题中除第(1)题外，其余方程都不是一般形式，需先整理再计算。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 4x -7=0$，
$a=1$，$b=-4$，$c=-7$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×(-7) = 16 + 28 = 44 ＞ 0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{4\pm\sqrt{44}}{2×1}=2\pm\sqrt{11}$，
$\therefore x_1=2+\sqrt{11}$，$x_2=2-\sqrt{11}$。
(2) 将方程$x^2=-3x -1$整理为一般形式：$x^2 + 3x +1=0$，
$a=1$，$b=3$，$c=1$，
判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2×1}$，
$\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
(3) 将方程$2x^2 -2=3x$整理为一般形式：$2x^2 - 3x - 2=0$，
$a=2$，$b=-3$，$c=-2$，
判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×2×(-2) = 9 + 16 = 25 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2×2}=\frac{3\pm5}{4}$，
$\therefore x_1=2$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
(4) 将方程$x^2 +10=2\sqrt{5}x$整理为一般形式：$x^2 - 2\sqrt{5}x + 10=0$，
$a=1$，$b=-2\sqrt{5}$，$c=10$，
判别式$\Delta = (-2\sqrt{5})^2 - 4×1×10 = 20 - 40 = -20 ＜ 0$，
$\therefore$ 该方程没有实数根。
(5) 将方程$(x-5)(x+3)=1$展开并整理为一般形式：$x^2 - 2x - 16=0$，
$a=1$，$b=-2$，$c=-16$，
判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-16) = 4 + 64 = 68 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{68}}{2×1}=1\pm\sqrt{17}$，
$\therefore x_1=1+\sqrt{17}$，$x_2=1-\sqrt{17}$。
【答案】
(1)$x_1=2+\sqrt{11}$，$x_2=2-\sqrt{11}$；
(2)$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$；
(3)$x_1=2$，$x_2=-\frac{1}{2}$；
(4)无实数根；
(5)$x_1=1+\sqrt{17}$，$x_2=1-\sqrt{17}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程的一般形式；根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，重点考查公式法的标准化解题步骤，解题时需注意整理一般形式时系数符号的准确性，判别式和求根公式的代入计算要细心，熟练掌握本题解法可以为后续解决更复杂的一元二次方程相关问题打下扎实基础。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，移项、去括号时注意符号不要出错；②准确确定系数$a、b、c$的值，要带上系数的正负号；③计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根；④若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$化简得到根，若$\Delta＜0$可直接判断无实数根。本题中除第(1)题外，其余方程都不是一般形式，需先整理再计算。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 4x -7=0$，
$a=1$，$b=-4$，$c=-7$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×(-7) = 16 + 28 = 44 ＞ 0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{4\pm\sqrt{44}}{2×1}=2\pm\sqrt{11}$，
$\therefore x_1=2+\sqrt{11}$，$x_2=2-\sqrt{11}$。
(2) 将方程$x^2=-3x -1$整理为一般形式：$x^2 + 3x +1=0$，
$a=1$，$b=3$，$c=1$，
判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2×1}$，
$\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
(3) 将方程$2x^2 -2=3x$整理为一般形式：$2x^2 - 3x - 2=0$，
$a=2$，$b=-3$，$c=-2$，
判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×2×(-2) = 9 + 16 = 25 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2×2}=\frac{3\pm5}{4}$，
$\therefore x_1=2$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
(4) 将方程$x^2 +10=2\sqrt{5}x$整理为一般形式：$x^2 - 2\sqrt{5}x + 10=0$，
$a=1$，$b=-2\sqrt{5}$，$c=10$，
判别式$\Delta = (-2\sqrt{5})^2 - 4×1×10 = 20 - 40 = -20 ＜ 0$，
$\therefore$ 该方程没有实数根。
(5) 将方程$(x-5)(x+3)=1$展开并整理为一般形式：$x^2 - 2x - 16=0$，
$a=1$，$b=-2$，$c=-16$，
判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-16) = 4 + 64 = 68 ＞ 0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{68}}{2×1}=1\pm\sqrt{17}$，
$\therefore x_1=1+\sqrt{17}$，$x_2=1-\sqrt{17}$。
【答案】
(1)$x_1=2+\sqrt{11}$，$x_2=2-\sqrt{11}$；
(2)$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$；
(3)$x_1=2$，$x_2=-\frac{1}{2}$；
(4)无实数根；
(5)$x_1=1+\sqrt{17}$，$x_2=1-\sqrt{17}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程的一般形式；根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，重点考查公式法的标准化解题步骤，解题时需注意整理一般形式时系数符号的准确性，判别式和求根公式的代入计算要细心，熟练掌握本题解法可以为后续解决更复杂的一元二次方程相关问题打下扎实基础。
【难度系数】
0.8
7.对于任意实数k,关于x的方程$x^2 - 2(k+1)x + 2k - 1 = 0$的根的情况为（）
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值判断：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，没有实数根。本题先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入公式计算$\Delta$，再结合完全平方的非负性判断$\Delta$的符号，即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2(k+1)x + 2k - 1 = 0$，可知：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2(k+1)$，常数项$c=2k-1$。
根据根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta&=[-2(k+1)]^2 - 4×1×(2k-1)\\&=4(k^2+2k+1) - (8k - 4)\\&=4k^2 + 8k + 4 - 8k + 4\\&=4k^2 + 8\end{aligned}$
∵k是任意实数，
∴$k^2≥0$，则$4k^2≥0$，
∴$\Delta=4k^2 + 8≥8＞0$，
∴该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；完全平方的非负性
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题，解题核心是准确代入系数计算判别式，结合非负数的性质判断判别式的正负，熟练掌握判别式的意义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值判断：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，没有实数根。本题先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入公式计算$\Delta$，再结合完全平方的非负性判断$\Delta$的符号，即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2(k+1)x + 2k - 1 = 0$，可知：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2(k+1)$，常数项$c=2k-1$。
根据根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta&=[-2(k+1)]^2 - 4×1×(2k-1)\\&=4(k^2+2k+1) - (8k - 4)\\&=4k^2 + 8k + 4 - 8k + 4\\&=4k^2 + 8\end{aligned}$
∵k是任意实数，
∴$k^2≥0$，则$4k^2≥0$，
∴$\Delta=4k^2 + 8≥8＞0$，
∴该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；完全平方的非负性
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题，解题核心是准确代入系数计算判别式，结合非负数的性质判断判别式的正负，熟练掌握判别式的意义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
