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14.阅读下列材料：
有时我们需要将代数式配成完全平方式，以便应用“$a^2 ≥ 0$”这个结论.
例如:求$x^2 +4x +5$的最小值.
解:$x^2 +4x +5=x^2 +4x +4 +1=(x+2)^2 +1$.
$\because (x+2)^2 ≥ 0,\therefore (x+2)^2 +1≥1,\therefore x^2 +4x +5≥1$.
$\therefore x^2 +4x +5$的最小值为1.
请参考上述材料解决下列问题:
(1)已知$m^2 -2m +n^2 +4n +5=0$,则$m+n=$;
(2)已知$a,b,c$是等腰$△ ABC$的三边长,且$a,b$满足$a^2 +b^2 =6a +14b -58$,求$△ ABC$的周长;
(3)若$W=x^2 +6xy +10y^2 -2x -10y +11$($x,y$为实数),求$W$的最小值.
有时我们需要将代数式配成完全平方式，以便应用“$a^2 ≥ 0$”这个结论.
例如:求$x^2 +4x +5$的最小值.
解:$x^2 +4x +5=x^2 +4x +4 +1=(x+2)^2 +1$.
$\because (x+2)^2 ≥ 0,\therefore (x+2)^2 +1≥1,\therefore x^2 +4x +5≥1$.
$\therefore x^2 +4x +5$的最小值为1.
请参考上述材料解决下列问题:
(1)已知$m^2 -2m +n^2 +4n +5=0$,则$m+n=$;
(2)已知$a,b,c$是等腰$△ ABC$的三边长,且$a,b$满足$a^2 +b^2 =6a +14b -58$,求$△ ABC$的周长;
(3)若$W=x^2 +6xy +10y^2 -2x -10y +11$($x,y$为实数),求$W$的最小值.
答案
(1) $\boldsymbol{-1}$
解析
【分析】
本题组核心考查配方法的应用，结合完全平方的非负性求解，解题思路如下：(1)将等式左边的常数5拆分为1和4，分别对含m、n的项配方，得到两个完全平方式的和为0，根据非负性求出m、n的值即可计算m+n；(2)先移项将等式右边的项移到左侧，拆分常数项配成关于a、b的完全平方式，求出a、b的值，再结合等腰三角形的性质分情况讨论腰长，验证三边关系后计算周长；(3)将W的各项拆分重组，以x为主元配方后再对含y的项配方，转化为几个完全平方式加常数的形式，根据平方非负性求最小值。
【解析】
(1) 对等式$m^2 -2m +n^2 +4n +5=0$配方：
将5拆分为$1+4$，可得$m^2 -2m +1 +n^2 +4n +4=0$，
即$(m-1)^2 + (n+2)^2 = 0$。
$\because (m-1)^2 ≥ 0$，$(n+2)^2 ≥ 0$，
$\therefore m-1=0$，$n+2=0$，
解得$m=1$，$n=-2$，
$\therefore m+n=1+(-2)=-1$。
(2) 整理等式$a^2 +b^2 =6a +14b -58$：
移项得$a^2 -6a +b^2 -14b +58=0$，
将58拆分为$9+49$，可得$a^2 -6a +9 +b^2 -14b +49=0$，
即$(a-3)^2 + (b-7)^2 = 0$。
$\because (a-3)^2 ≥ 0$，$(b-7)^2 ≥ 0$，
$\therefore a-3=0$，$b-7=0$，解得$a=3$，$b=7$。
$\because △ ABC$是等腰三角形，$\therefore$第三边长为3或7：
① 若第三边长为3，三边长为3、3、7，$\because 3+3=6＜7$，不符合三角形三边关系，舍去；
② 若第三边长为7，三边长为3、7、7，$\because 3+7＞7$，符合三边关系，
此时周长为$3+7+7=17$。
(3) 对$W=x^2 +6xy +10y^2 -2x -10y +11$配方：
以$x$为主元整理得$W=x^2 + 2(3y-1)x + 10y^2 -10y +11$，
对含$x$的项配方：
$W=[x^2 + 2(3y-1)x + (3y-1)^2] + 10y^2 -10y +11 - (3y-1)^2$
$=(x+3y-1)^2 + y^2 -4y +10$，
再对含$y$的项配方：
$W=(x+3y-1)^2 + (y-2)^2 +6$。
$\because (x+3y-1)^2 ≥ 0$，$(y-2)^2 ≥ 0$，
$\therefore W ≥ 0+0+6=6$，当$x=-5,y=2$时取等号，
故$W$的最小值为6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{17}$；(3) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题从基础配方求值，到结合几何性质的应用，再到二元代数式最值求解，逐层递进，既考查了对完全平方公式的灵活运用能力，也渗透了分类讨论等数学思想，能有效检验学生对配方法的掌握程度。
【难度系数】
0.6
本题组核心考查配方法的应用，结合完全平方的非负性求解，解题思路如下：(1)将等式左边的常数5拆分为1和4，分别对含m、n的项配方，得到两个完全平方式的和为0，根据非负性求出m、n的值即可计算m+n；(2)先移项将等式右边的项移到左侧，拆分常数项配成关于a、b的完全平方式，求出a、b的值，再结合等腰三角形的性质分情况讨论腰长，验证三边关系后计算周长；(3)将W的各项拆分重组，以x为主元配方后再对含y的项配方，转化为几个完全平方式加常数的形式，根据平方非负性求最小值。
【解析】
(1) 对等式$m^2 -2m +n^2 +4n +5=0$配方：
将5拆分为$1+4$，可得$m^2 -2m +1 +n^2 +4n +4=0$，
即$(m-1)^2 + (n+2)^2 = 0$。
$\because (m-1)^2 ≥ 0$，$(n+2)^2 ≥ 0$，
$\therefore m-1=0$，$n+2=0$，
解得$m=1$，$n=-2$，
$\therefore m+n=1+(-2)=-1$。
(2) 整理等式$a^2 +b^2 =6a +14b -58$：
移项得$a^2 -6a +b^2 -14b +58=0$，
将58拆分为$9+49$，可得$a^2 -6a +9 +b^2 -14b +49=0$，
即$(a-3)^2 + (b-7)^2 = 0$。
$\because (a-3)^2 ≥ 0$，$(b-7)^2 ≥ 0$，
$\therefore a-3=0$，$b-7=0$，解得$a=3$，$b=7$。
$\because △ ABC$是等腰三角形，$\therefore$第三边长为3或7：
① 若第三边长为3，三边长为3、3、7，$\because 3+3=6＜7$，不符合三角形三边关系，舍去；
② 若第三边长为7，三边长为3、7、7，$\because 3+7＞7$，符合三边关系，
此时周长为$3+7+7=17$。
(3) 对$W=x^2 +6xy +10y^2 -2x -10y +11$配方：
以$x$为主元整理得$W=x^2 + 2(3y-1)x + 10y^2 -10y +11$，
对含$x$的项配方：
$W=[x^2 + 2(3y-1)x + (3y-1)^2] + 10y^2 -10y +11 - (3y-1)^2$
$=(x+3y-1)^2 + y^2 -4y +10$，
再对含$y$的项配方：
$W=(x+3y-1)^2 + (y-2)^2 +6$。
$\because (x+3y-1)^2 ≥ 0$，$(y-2)^2 ≥ 0$，
$\therefore W ≥ 0+0+6=6$，当$x=-5,y=2$时取等号，
故$W$的最小值为6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{17}$；(3) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题从基础配方求值，到结合几何性质的应用，再到二元代数式最值求解，逐层递进，既考查了对完全平方公式的灵活运用能力，也渗透了分类讨论等数学思想，能有效检验学生对配方法的掌握程度。
【难度系数】
0.6
