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8.若$x^2 -6xy +9y^2=0$，那么$\frac{x-y}{x+y}$的值为 （）
A.$\frac{1}{2y}$
B.$-\frac{1}{2y}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
A.$\frac{1}{2y}$
B.$-\frac{1}{2y}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
C
解析
【分析】
首先观察已知等式左边的代数式，符合完全平方公式的结构特征，因此先通过因式分解将等式变形，得到x与y的数量关系；再将该关系代入待求的分式中，约分化简即可得到结果，注意要满足分式分母不为0的隐含条件。
【解析】
解：对已知等式左边因式分解，可得：
$x^2 - 6xy + 9y^2=(x-3y)^2=0$
由平方的非负性可知，$x-3y=0$，即$x=3y$。
由分式有意义的条件可知，$x+y≠0$，因此$3y+y=4y≠0$，即$y≠0$。
将$x=3y$代入$\frac{x-y}{x+y}$得：
$\frac{x-y}{x+y}=\frac{3y - y}{3y + y}=\frac{2y}{4y}=\frac{1}{2}$
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式因式分解；分式化简求值
【点评】
本题解题的关键是正确识别完全平方式，通过因式分解快速得到两个变量的关系，代入求值时要注意隐含的分母不为0的条件，避免无意义的情况。
【难度系数】
0.8
首先观察已知等式左边的代数式，符合完全平方公式的结构特征，因此先通过因式分解将等式变形，得到x与y的数量关系；再将该关系代入待求的分式中，约分化简即可得到结果，注意要满足分式分母不为0的隐含条件。
【解析】
解：对已知等式左边因式分解，可得：
$x^2 - 6xy + 9y^2=(x-3y)^2=0$
由平方的非负性可知，$x-3y=0$，即$x=3y$。
由分式有意义的条件可知，$x+y≠0$，因此$3y+y=4y≠0$，即$y≠0$。
将$x=3y$代入$\frac{x-y}{x+y}$得：
$\frac{x-y}{x+y}=\frac{3y - y}{3y + y}=\frac{2y}{4y}=\frac{1}{2}$
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式因式分解；分式化简求值
【点评】
本题解题的关键是正确识别完全平方式，通过因式分解快速得到两个变量的关系，代入求值时要注意隐含的分母不为0的条件，避免无意义的情况。
【难度系数】
0.8
9. 关于$x$的一元二次方程$(x-1)^2 = p^2 +1$的根的情况是 （）
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
答案
B
解析
【分析】
判断一元二次方程根的情况有两种常用思路：一是若方程为“完全平方式=常数”的形式，可直接根据常数的正负判断：当常数＞0时，方程有两个不相等的实数根；常数=0时，有两个相等的实数根；常数＜0时无实根。二是将方程化为一般式，通过计算根的判别式Δ=b²-4ac的符号判断。本题方程左边已经是完全平方式，我们可先判断右边p²+1的正负：因为任意实数的平方都是非负数，所以p²≥0，可得p²+1＞0，即可快速判断根的情况。
【解析】
方法一：利用平方性质直接判断
∵ 对任意实数p，都有p²≥0，
∴ p² + 1 ≥ 1 ＞ 0，
方程左边为(x-1)²（非负的完全平方式），当非负数等于正数时，对应两个不相等的实数解，即x-1=±√(p²+1)，因此原方程有两个不相等的实数根。
方法二：用判别式验证
将原方程展开整理为一般式：
(x-1)² = p² + 1
x² - 2x + 1 = p² + 1
x² - 2x - p² = 0
其中二次项系数a=1，一次项系数b=-2，常数项c=-p²，
根的判别式Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4×1×(-p²) = 4 + 4p² = 4(p² + 1)
∵ p²≥0，
∴ Δ=4(p²+1)≥4＞0，
∴ 方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判定
2. 平方的非负性
【点评】
本题属于一元二次方程根的判断的基础题型，解题时可根据方程形式灵活选择简便方法，熟练掌握平方的非负性和根的判别式的应用是解题关键。
【难度系数】
0.8
判断一元二次方程根的情况有两种常用思路：一是若方程为“完全平方式=常数”的形式，可直接根据常数的正负判断：当常数＞0时，方程有两个不相等的实数根；常数=0时，有两个相等的实数根；常数＜0时无实根。二是将方程化为一般式，通过计算根的判别式Δ=b²-4ac的符号判断。本题方程左边已经是完全平方式，我们可先判断右边p²+1的正负：因为任意实数的平方都是非负数，所以p²≥0，可得p²+1＞0，即可快速判断根的情况。
【解析】
方法一：利用平方性质直接判断
∵ 对任意实数p，都有p²≥0，
∴ p² + 1 ≥ 1 ＞ 0，
方程左边为(x-1)²（非负的完全平方式），当非负数等于正数时，对应两个不相等的实数解，即x-1=±√(p²+1)，因此原方程有两个不相等的实数根。
方法二：用判别式验证
将原方程展开整理为一般式：
(x-1)² = p² + 1
x² - 2x + 1 = p² + 1
x² - 2x - p² = 0
其中二次项系数a=1，一次项系数b=-2，常数项c=-p²，
根的判别式Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4×1×(-p²) = 4 + 4p² = 4(p² + 1)
∵ p²≥0，
∴ Δ=4(p²+1)≥4＞0，
∴ 方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判定
2. 平方的非负性
【点评】
本题属于一元二次方程根的判断的基础题型，解题时可根据方程形式灵活选择简便方法，熟练掌握平方的非负性和根的判别式的应用是解题关键。
【难度系数】
0.8
10.已知方程$x^2 -6x + q=0$可以配方成$(x-p)^2=7$的形式，那么2026p -2026q的值为（）
A.0
B.1
C.-1
D.2026
A.0
B.1
C.-1
D.2026
答案
D
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆配方法解一元二次方程的步骤，先将给定的一元二次方程进行配方变形，再将变形后的式子与题目给出的配方形式$(x-p)^2=7$对比，根据对应项相等求出参数$p$、$q$的值，最后将$p$、$q$代入代数式$2026p-2026q$计算即可得到结果。
【解析】
第一步：对原方程$x^2 -6x + q=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 -6x = -q$
2. 等式两边同时加一次项系数一半的平方：一次项系数为$-6$，一半为$-3$，平方为$9$，因此得：
$x^2 -6x +9 = -q +9$
3. 左边写成完全平方形式：$(x-3)^2 = 9 - q$
第二步：对比题目给出的配方形式$(x-p)^2=7$，可得：
$p=3$，且$9 - q =7$，解得$q=2$
第三步：代入代数式计算：
$2026p -2026q = 2026×3 -2026×2 = 2026×(3-2) = 2026×1 =2026$
【答案】
D
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 代数式求值
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，核心是掌握配方法的操作步骤，通过对比配方后的等式求出未知参数，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆配方法解一元二次方程的步骤，先将给定的一元二次方程进行配方变形，再将变形后的式子与题目给出的配方形式$(x-p)^2=7$对比，根据对应项相等求出参数$p$、$q$的值，最后将$p$、$q$代入代数式$2026p-2026q$计算即可得到结果。
【解析】
第一步：对原方程$x^2 -6x + q=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 -6x = -q$
2. 等式两边同时加一次项系数一半的平方：一次项系数为$-6$，一半为$-3$，平方为$9$，因此得：
$x^2 -6x +9 = -q +9$
3. 左边写成完全平方形式：$(x-3)^2 = 9 - q$
第二步：对比题目给出的配方形式$(x-p)^2=7$，可得：
$p=3$，且$9 - q =7$，解得$q=2$
第三步：代入代数式计算：
$2026p -2026q = 2026×3 -2026×2 = 2026×(3-2) = 2026×1 =2026$
【答案】
D
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 代数式求值
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，核心是掌握配方法的操作步骤，通过对比配方后的等式求出未知参数，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
11.如果$(x-y)^2 - 2(x-y)+1=0$，那么$x$与$y$的关系是。
答案
$\boldsymbol{x-y=1}$（或$x=y+1$）
解析
【分析】
观察方程左边的结构，发现是关于$(x-y)$的二次三项式，且符合完全平方差公式的形式，解题时可以把$(x-y)$看作一个整体，先利用完全平方公式对左边因式分解，再根据平方的非负性求解，最后整理得到$x$与$y$的关系即可。
【解析】
解：将$(x-y)$看作一个整体，原方程可变形为：
$(x-y)^2 - 2·(x-y)·1 + 1^2 = 0$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处$a=x-y$，$b=1$，因式分解得：
$[(x-y)-1]^2 = 0$
即$(x-y-1)^2=0$
因为平方为0的数本身为0，所以：
$x-y-1=0$
整理得$x-y=1$（或$x=y+1$）
【答案】
$x-y=1$（或$x=y+1$）
【知识点】
完全平方公式，整体代换思想，因式分解法解方程
【点评】
本题是代数基础运算题，核心考查对完全平方公式的掌握和整体代换思想的运用，将$x-y$视为整体简化计算，是代数化简中常用的技巧，熟练掌握该思路可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
观察方程左边的结构，发现是关于$(x-y)$的二次三项式，且符合完全平方差公式的形式，解题时可以把$(x-y)$看作一个整体，先利用完全平方公式对左边因式分解，再根据平方的非负性求解，最后整理得到$x$与$y$的关系即可。
【解析】
解：将$(x-y)$看作一个整体，原方程可变形为：
$(x-y)^2 - 2·(x-y)·1 + 1^2 = 0$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处$a=x-y$，$b=1$，因式分解得：
$[(x-y)-1]^2 = 0$
即$(x-y-1)^2=0$
因为平方为0的数本身为0，所以：
$x-y-1=0$
整理得$x-y=1$（或$x=y+1$）
【答案】
$x-y=1$（或$x=y+1$）
【知识点】
完全平方公式，整体代换思想，因式分解法解方程
【点评】
本题是代数基础运算题，核心考查对完全平方公式的掌握和整体代换思想的运用，将$x-y$视为整体简化计算，是代数化简中常用的技巧，熟练掌握该思路可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
12. 用配方法解下列方程：
(1)$3x^2 -4x -2=0$；
(2)$6x^2 -2x -1=0$；
(3)$2x^2 +1=3x$；
(4)$(x-3)(2x+1)=-5$。
(1)$3x^2 -4x -2=0$；
(2)$6x^2 -2x -1=0$；
(3)$2x^2 +1=3x$；
(4)$(x-3)(2x+1)=-5$。
答案
解：
(1) 移项，得 $3x^2 - 4x = 2$
二次项系数化为1，得 $x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{2}{3}$
配方，得 $x^2 - \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3} + (\frac{2}{3})^2$
即 $(x - \frac{2}{3})^2 = \frac{10}{9}$
两边开平方，得 $x - \frac{2}{3} = \pm \frac{\sqrt{10}}{3}$
解得 $x_1 = \frac{2+\sqrt{10}}{3}$，$x_2 = \frac{2-\sqrt{10}}{3}$
(2) 移项，得 $6x^2 - 2x = 1$
二次项系数化为1，得 $x^2 - \frac{1}{3}x = \frac{1}{6}$
配方，得 $x^2 - \frac{1}{3}x + (\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{6} + (\frac{1}{6})^2$
即 $(x - \frac{1}{6})^2 = \frac{7}{36}$
两边开平方，得 $x - \frac{1}{6} = \pm \frac{\sqrt{7}}{6}$
解得 $x_1 = \frac{1+\sqrt{7}}{6}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{7}}{6}$
(3) 移项，得 $2x^2 - 3x = -1$
二次项系数化为1，得 $x^2 - \frac{3}{2}x = -\frac{1}{2}$
配方，得 $x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 = -\frac{1}{2} + (\frac{3}{4})^2$
即 $(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{1}{16}$
两边开平方，得 $x - \frac{3}{4} = \pm \frac{1}{4}$
解得 $x_1 = 1$，$x_2 = \frac{1}{2}$
(4) 展开并整理方程，得 $2x^2 - 5x = -2$
二次项系数化为1，得 $x^2 - \frac{5}{2}x = -1$
配方，得 $x^2 - \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 = -1 + (\frac{5}{4})^2$
即 $(x - \frac{5}{4})^2 = \frac{9}{16}$
两边开平方，得 $x - \frac{5}{4} = \pm \frac{3}{4}$
解得 $x_1 = 2$，$x_2 = \frac{1}{2}$
(1) 移项，得 $3x^2 - 4x = 2$
二次项系数化为1，得 $x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{2}{3}$
配方，得 $x^2 - \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3} + (\frac{2}{3})^2$
即 $(x - \frac{2}{3})^2 = \frac{10}{9}$
两边开平方，得 $x - \frac{2}{3} = \pm \frac{\sqrt{10}}{3}$
解得 $x_1 = \frac{2+\sqrt{10}}{3}$，$x_2 = \frac{2-\sqrt{10}}{3}$
(2) 移项，得 $6x^2 - 2x = 1$
二次项系数化为1，得 $x^2 - \frac{1}{3}x = \frac{1}{6}$
配方，得 $x^2 - \frac{1}{3}x + (\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{6} + (\frac{1}{6})^2$
即 $(x - \frac{1}{6})^2 = \frac{7}{36}$
两边开平方，得 $x - \frac{1}{6} = \pm \frac{\sqrt{7}}{6}$
解得 $x_1 = \frac{1+\sqrt{7}}{6}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{7}}{6}$
(3) 移项，得 $2x^2 - 3x = -1$
二次项系数化为1，得 $x^2 - \frac{3}{2}x = -\frac{1}{2}$
配方，得 $x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 = -\frac{1}{2} + (\frac{3}{4})^2$
即 $(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{1}{16}$
两边开平方，得 $x - \frac{3}{4} = \pm \frac{1}{4}$
解得 $x_1 = 1$，$x_2 = \frac{1}{2}$
(4) 展开并整理方程，得 $2x^2 - 5x = -2$
二次项系数化为1，得 $x^2 - \frac{5}{2}x = -1$
配方，得 $x^2 - \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 = -1 + (\frac{5}{4})^2$
即 $(x - \frac{5}{4})^2 = \frac{9}{16}$
两边开平方，得 $x - \frac{5}{4} = \pm \frac{3}{4}$
解得 $x_1 = 2$，$x_2 = \frac{1}{2}$
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程遵循统一的解题步骤：首先将方程整理为“二次项+一次项=常数项”的形式，若原式为乘积式，需先展开合并同类项，移项时注意符号变化；其次将二次项系数化为1，即方程两边同时除以二次项系数；第三步配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边变形为完全平方式，右边合并为常数；最后若右边常数为非负数，直接开平方转化为两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根，四个小题均按此步骤依次计算即可。
【解析】
(1) 移项，得 $3x^2 - 4x = 2$
二次项系数化为1，得 $x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{2}{3}$
配方，得 $x^2 - \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3} + (\frac{2}{3})^2$
即 $(x - \frac{2}{3})^2 = \frac{10}{9}$
两边开平方，得 $x - \frac{2}{3} = \pm \frac{\sqrt{10}}{3}$
解得 $x_1 = \frac{2+\sqrt{10}}{3}$，$x_2 = \frac{2-\sqrt{10}}{3}$
(2) 移项，得 $6x^2 - 2x = 1$
二次项系数化为1，得 $x^2 - \frac{1}{3}x = \frac{1}{6}$
配方，得 $x^2 - \frac{1}{3}x + (\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{6} + (\frac{1}{6})^2$
即 $(x - \frac{1}{6})^2 = \frac{7}{36}$
两边开平方，得 $x - \frac{1}{6} = \pm \frac{\sqrt{7}}{6}$
解得 $x_1 = \frac{1+\sqrt{7}}{6}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{7}}{6}$
(3) 移项，得 $2x^2 - 3x = -1$
二次项系数化为1，得 $x^2 - \frac{3}{2}x = -\frac{1}{2}$
配方，得 $x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 = -\frac{1}{2} + (\frac{3}{4})^2$
即 $(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{1}{16}$
两边开平方，得 $x - \frac{3}{4} = \pm \frac{1}{4}$
解得 $x_1 = 1$，$x_2 = \frac{1}{2}$
(4) 展开并整理方程，得 $2x^2 - 5x = -2$
二次项系数化为1，得 $x^2 - \frac{5}{2}x = -1$
配方，得 $x^2 - \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 = -1 + (\frac{5}{4})^2$
即 $(x - \frac{5}{4})^2 = \frac{9}{16}$
两边开平方，得 $x - \frac{5}{4} = \pm \frac{3}{4}$
解得 $x_1 = 2$，$x_2 = \frac{1}{2}$
【答案】
(1) $x_1 = \frac{2+\sqrt{10}}{3}$，$x_2 = \frac{2-\sqrt{10}}{3}$
(2) $x_1 = \frac{1+\sqrt{7}}{6}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{7}}{6}$
(3) $x_1 = 1$，$x_2 = \frac{1}{2}$
(4) $x_1 = 2$，$x_2 = \frac{1}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、整式化简
【点评】
本题是配方法解方程的基础训练题，重点考查配方法的标准操作流程，解题时要注意二次项系数不为1时需先化为1，配方时等式两边要同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏加、加错的问题，对于非标准形式的方程要先整理再求解，熟练掌握步骤可有效提高解题正确率。
【难度系数】
0.7
用配方法解一元二次方程遵循统一的解题步骤：首先将方程整理为“二次项+一次项=常数项”的形式，若原式为乘积式，需先展开合并同类项，移项时注意符号变化；其次将二次项系数化为1，即方程两边同时除以二次项系数；第三步配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边变形为完全平方式，右边合并为常数；最后若右边常数为非负数，直接开平方转化为两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根，四个小题均按此步骤依次计算即可。
【解析】
(1) 移项，得 $3x^2 - 4x = 2$
二次项系数化为1，得 $x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{2}{3}$
配方，得 $x^2 - \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3} + (\frac{2}{3})^2$
即 $(x - \frac{2}{3})^2 = \frac{10}{9}$
两边开平方，得 $x - \frac{2}{3} = \pm \frac{\sqrt{10}}{3}$
解得 $x_1 = \frac{2+\sqrt{10}}{3}$，$x_2 = \frac{2-\sqrt{10}}{3}$
(2) 移项，得 $6x^2 - 2x = 1$
二次项系数化为1，得 $x^2 - \frac{1}{3}x = \frac{1}{6}$
配方，得 $x^2 - \frac{1}{3}x + (\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{6} + (\frac{1}{6})^2$
即 $(x - \frac{1}{6})^2 = \frac{7}{36}$
两边开平方，得 $x - \frac{1}{6} = \pm \frac{\sqrt{7}}{6}$
解得 $x_1 = \frac{1+\sqrt{7}}{6}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{7}}{6}$
(3) 移项，得 $2x^2 - 3x = -1$
二次项系数化为1，得 $x^2 - \frac{3}{2}x = -\frac{1}{2}$
配方，得 $x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 = -\frac{1}{2} + (\frac{3}{4})^2$
即 $(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{1}{16}$
两边开平方，得 $x - \frac{3}{4} = \pm \frac{1}{4}$
解得 $x_1 = 1$，$x_2 = \frac{1}{2}$
(4) 展开并整理方程，得 $2x^2 - 5x = -2$
二次项系数化为1，得 $x^2 - \frac{5}{2}x = -1$
配方，得 $x^2 - \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 = -1 + (\frac{5}{4})^2$
即 $(x - \frac{5}{4})^2 = \frac{9}{16}$
两边开平方，得 $x - \frac{5}{4} = \pm \frac{3}{4}$
解得 $x_1 = 2$，$x_2 = \frac{1}{2}$
【答案】
(1) $x_1 = \frac{2+\sqrt{10}}{3}$，$x_2 = \frac{2-\sqrt{10}}{3}$
(2) $x_1 = \frac{1+\sqrt{7}}{6}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{7}}{6}$
(3) $x_1 = 1$，$x_2 = \frac{1}{2}$
(4) $x_1 = 2$，$x_2 = \frac{1}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、整式化简
【点评】
本题是配方法解方程的基础训练题，重点考查配方法的标准操作流程，解题时要注意二次项系数不为1时需先化为1，配方时等式两边要同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏加、加错的问题，对于非标准形式的方程要先整理再求解，熟练掌握步骤可有效提高解题正确率。
【难度系数】
0.7
13.阅读材料：
用配方法因式分解：$a^2 +6a +8$。
解：原式$=a^2 +6a +9 -1=(a+3)^2 -1=(a+3-1)(a+3+1)=(a+2)(a+4)$。
请参考上述材料解决下列问题：
(1)在横线上填上一个常数项使这个多项式成为完全平方式：$a^2 +4a +$。
(2)用配方法因式分解：$a^2 -24a +143$。
用配方法因式分解：$a^2 +6a +8$。
解：原式$=a^2 +6a +9 -1=(a+3)^2 -1=(a+3-1)(a+3+1)=(a+2)(a+4)$。
请参考上述材料解决下列问题：
(1)在横线上填上一个常数项使这个多项式成为完全平方式：$a^2 +4a +$。
(2)用配方法因式分解：$a^2 -24a +143$。
答案
解：
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) 原式$=a^2 -24a +144 -1$
$=(a-12)^2 -1$
$=(a-12-1)(a-12+1)$
$=(a-13)(a-11)$
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) 原式$=a^2 -24a +144 -1$
$=(a-12)^2 -1$
$=(a-12-1)(a-12+1)$
$=(a-13)(a-11)$
解析
【分析】
(1) 首先回忆完全平方公式的结构：形如$a^2+2ab+b^2$的式子是完全平方式，本题中二次项为$a^2$，一次项为$4a$，即$2ab=4a$，可推出$b=2$，因此需要补充的常数项为$b^2=2^2=4$。
(2) 参考材料给出的配方法因式分解思路：第一步先将二次项和一次项组合，补充常数项凑成完全平方式，第二步将式子转化为平方差的形式，第三步利用平方差公式分解因式。本题中一次项系数为-24，凑完全平方需要的常数项为$(\frac{-24}{2})^2=144$，因此将原式的143改写为$144-1$，再逐步分解即可。
【解析】
(1) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，已知$a^2+4a$中$2ab=4a$，解得$b=2$，所以常数项为$b^2=2^2=4$。
(2) 对$a^2 -24a +143$进行配方法分解：
原式$=a^2 -24a +144 -1$
$=(a-12)^2 -1$
$=(a-12-1)(a-12+1)$
$=(a-13)(a-11)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{(a-13)(a-11)}$
【知识点】
完全平方公式，配方法，因式分解
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，既考查了完全平方式的构造，又考查了配方法结合平方差公式进行因式分解的方法，只要熟练掌握配方法的基本步骤就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 首先回忆完全平方公式的结构：形如$a^2+2ab+b^2$的式子是完全平方式，本题中二次项为$a^2$，一次项为$4a$，即$2ab=4a$，可推出$b=2$，因此需要补充的常数项为$b^2=2^2=4$。
(2) 参考材料给出的配方法因式分解思路：第一步先将二次项和一次项组合，补充常数项凑成完全平方式，第二步将式子转化为平方差的形式，第三步利用平方差公式分解因式。本题中一次项系数为-24，凑完全平方需要的常数项为$(\frac{-24}{2})^2=144$，因此将原式的143改写为$144-1$，再逐步分解即可。
【解析】
(1) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，已知$a^2+4a$中$2ab=4a$，解得$b=2$，所以常数项为$b^2=2^2=4$。
(2) 对$a^2 -24a +143$进行配方法分解：
原式$=a^2 -24a +144 -1$
$=(a-12)^2 -1$
$=(a-12-1)(a-12+1)$
$=(a-13)(a-11)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{(a-13)(a-11)}$
【知识点】
完全平方公式，配方法，因式分解
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，既考查了完全平方式的构造，又考查了配方法结合平方差公式进行因式分解的方法，只要熟练掌握配方法的基本步骤就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
