1.已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限，则$k$的取值范围是 （）

A.$k≥0$
B.$k＞0$
C.$k＜0$
D.$k≤0$

B

【分析】
解题时首先回忆反比例函数的核心性质：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$，其中$k$是不等于0的常数，图象所在象限和$k$的正负直接相关：$k＞0$时图象位于第一、三象限，$k＜0$时图象位于第二、四象限。结合题干给出的图象所在象限，即可推导$k$的取值范围，注意$k=0$时函数不再是反比例函数，需排除等于0的情况。
【解析】
根据反比例函数的定义，$y=\frac{k}{x}$中$k≠0$，因此先排除包含$k=0$的A、D选项；
再根据反比例函数图象性质：当$k＞0$时，函数图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，函数图象位于第二、四象限。
题干明确图象位于第一、三象限，因此$k＞0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是基础题，核心考查反比例函数中$k$的符号与图象所在象限的对应关系，熟记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2.关于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，下列结论正确的是 （）

A.图象与坐标轴有公共点
B.图象位于第一、三象限
C.若图象经过点$(a,a+2)$，则$a=1$
D.图象位于第二、四象限

D

【分析】
解答本题需先明确反比例函数的基本性质，先确定给定反比例函数的比例系数k=-3，再依次对每个选项结合反比例函数的定义、图象性质、图象上点的坐标满足函数解析式的特点逐一验证，排除错误选项后得到正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 分析选项A：反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），可知自变量$x≠0$，函数值$y≠0$，因此图象与x轴、y轴均无公共点，A错误。
2. 分析选项B、D：反比例函数的图象象限由$k$的符号决定：当$k＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限。本题中$k=-3＜0$，因此图象位于第二、四象限，故B错误，D正确。
3. 分析选项C：若点$(a,a+2)$在函数图象上，则该点坐标满足函数解析式，代入得$a+2=-\frac{3}{a}$，两边同乘$a$（$a≠0$）整理得$a^2+2a+3=0$，该一元二次方程的判别式$\Delta=2^2-4×1×3=-8＜0$，无实根，不存在这样的实数$a$；若代入$a=1$，可得$y=-\frac{3}{1}=-3$，而$a+2=3≠-3$，故C错误。
综上，正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，重点围绕比例系数$k$的意义设置考点，熟练掌握反比例函数的核心性质就能快速判断各选项正误。
【难度系数】
0.8

3.如图，直线$y=2x$与双曲线$y=\frac{k}{x}$的一个交点坐标为$(2,4)$，则它们的另一个交点坐标是（）

A.$(-2,-4)$
B.$(-2,4)$
C.$(-4,-2)$
D.$(2,-4)$

A

【分析】
解题可通过两种思路推导：思路一利用函数对称性：过原点的正比例函数和反比例函数的图象均关于原点中心对称，因此二者的交点也关于原点对称，只需计算已知点关于原点的对称点即可快速得解；思路二为先求解反比例函数解析式，再联立两个函数解析式解方程组得到交点。其中对称法计算量更小，解题更高效，关于原点对称的点的坐标特征为横、纵坐标均互为相反数。
【解析】
方法一：利用中心对称性质求解
∵ 直线$y=2x$是过原点的正比例函数，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象关于原点中心对称
∴ 两个函数的交点关于原点中心对称
已知一个交点坐标为$(2,4)$，根据关于原点对称的点横、纵坐标均为原数的相反数，可得另一个交点坐标为$(-2,-4)$。
方法二：联立解析式求解
将交点$(2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{2}$，解得$k=8$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{8}{x}$
联立两个函数得方程组$\begin{cases}y=2x \\ y=\frac{8}{x} \end{cases}$
把$y=2x$代入$y=\frac{8}{x}$，得$2x=\frac{8}{x}$，整理得$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$
当$x=-2$时，$y=2×(-2)=-4$，即另一个交点坐标为$(-2,-4)$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数对称性，原点对称点特征，函数交点求解
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过中心对称的性质快速推导答案，也可以通过联立解析式解方程求解，熟练掌握函数图象的性质能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.85

4.某反比例函数图象上四个点的坐标分别为$(-3,y_1),(-2,3),(1,y_2),(2,y_3)$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（）

A.$y_2＜y_1＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_2＜y_3＜y_1$
D.$y_1＜y_3＜y_2$

C

【分析】要比较$y_1,y_2,y_3$的大小，首先需要确定反比例函数的解析式。已知反比例函数图象经过点$(-2,3)$，可先设反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，代入已知点求出$k$的值，得到完整的函数解析式后，再分别将三个点的横坐标代入解析式，计算出对应的$y_1,y_2,y_3$，最后比较三个值的大小即可得到答案。
【解析】设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
∵ 点$(-2,3)$在反比例函数图象上
∴ 将$x=-2,y=3$代入解析式，得$3=\frac{k}{-2}$，解得$k=-6$
∴ 反比例函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$
分别代入三个点的横坐标计算函数值：
当$x=-3$时，$y_1=-\frac{6}{-3}=2$
当$x=1$时，$y_2=-\frac{6}{1}=-6$
当$x=2$时，$y_3=-\frac{6}{2}=-3$
比较大小：$-6 ＜ -3 ＜ 2$，即$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数求值；实数大小比较
【点评】本题是反比例函数的基础应用类题目，解题核心是先利用已知点求出函数的解析式，再代入横坐标计算对应函数值比较大小，解题思路清晰，计算难度较低。
【难度系数】0.8

5.如图，正比例函数$y=-2x$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象相交于A，B两点，过点A作$AC⊥x$轴于点C，连接BC，若$△ ABC$的面积为3，则k的值为（）

A.$-\frac{3}{2}$
B.$-2$
C.$-3$
D.$-6$

C

【分析】
首先回忆正比例函数与反比例函数的交点性质：两者的交点关于原点中心对称，因此A、B两点的横、纵坐标均互为相反数。观察△ABC的构成，AC垂直x轴，可将△ABC拆分为△AOC和△BOC两个三角形，二者同底为OC，高分别为点A、点B到x轴的距离，两者大小相等，因此△ABC的面积是△AOC面积的2倍。再结合反比例函数中k的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，即可求出|k|，最后根据反比例函数图象所在象限确定k的符号。
【解析】
设点A的坐标为$(m, n)$（$m＜0, n＞0$），由正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，可得点B的坐标为$(-m, -n)$。
∵$AC⊥x$轴，
∴点C的坐标为$(m, 0)$，$OC=|m|=-m$，AC的长度为$n$。
$S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$，
其中$S_{△ AOC}=\frac{1}{2} · OC · AC = \frac{1}{2} · (-m) · n$，
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} · OC · |y_B| = \frac{1}{2} · (-m) · n$，
∴$S_{△ ABC}= \frac{1}{2}(-mn) + \frac{1}{2}(-mn) = -mn = 3$，即$mn=-3$。
又
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$n=\frac{k}{m}$，即$k=mn=-3$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，函数交点对称性，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与正比例函数结合的基础综合题，核心是利用交点的对称性简化面积计算，再结合反比例函数k的几何意义求解，解题时需注意根据函数图象所在象限判断k的符号。
【难度系数】
0.7