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10.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是BC边上与点B不重合的任意一点.记AP=m，点D到AP的距离为n（即DE=n），请探究n与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围.
答案
解：连接DP。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，∠B=90°，AD=BC=8。
∴ $S_{△ APD} = \frac{1}{2}S_{矩形ABCD} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
又∵ $S_{△ APD} = \frac{1}{2} · AP · DE = \frac{1}{2}mn$，
∴ $\frac{1}{2}mn = 24$，
整理得 $n = \frac{48}{m}$。
在Rt△ABP中，$AP ＞ AB = 6$，
当点P与点C重合时，$AP = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$，
∴ 自变量m的取值范围是 $6 ＜ m ≤ 10$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，∠B=90°，AD=BC=8。
∴ $S_{△ APD} = \frac{1}{2}S_{矩形ABCD} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
又∵ $S_{△ APD} = \frac{1}{2} · AP · DE = \frac{1}{2}mn$，
∴ $\frac{1}{2}mn = 24$，
整理得 $n = \frac{48}{m}$。
在Rt△ABP中，$AP ＞ AB = 6$，
当点P与点C重合时，$AP = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$，
∴ 自变量m的取值范围是 $6 ＜ m ≤ 10$。
解析
【分析】
要推导n与m的函数关系，可通过面积法建立等量关系：观察图形可知m是△APD的底AP的长度，n是△APD中AP边上的高，而矩形中△APD的面积是固定值，等于矩形面积的一半，用两种方式表示△APD的面积即可得到m与n的关系式。求自变量m的取值范围时，结合动点P的位置分析：P在BC上且不与B重合，当P接近B时AP最短接近AB的长度，当P与C重合时AP最长为矩形对角线AC的长度，用勾股定理计算AC长度后即可确定m的范围。
【解析】
连接DP。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，∠B=90°，AD=BC=8。
∴ $S_{△ APD} = \frac{1}{2}S_{矩形ABCD} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
又
∵ $S_{△ APD} = \frac{1}{2} · AP · DE = \frac{1}{2}mn$，
∴ $\frac{1}{2}mn = 24$，
整理得 $n = \frac{48}{m}$。
在Rt△ABP中，$AP ＞ AB = 6$，
当点P与点C重合时，$AP = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$，
∴ 自变量m的取值范围是 $6 ＜ m ≤ 10$。
【答案】
$n=\frac{48}{m}(6＜m≤10)$
【知识点】
矩形的性质、三角形面积计算、勾股定理
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题型，利用面积法建立变量间的等量关系是解题的关键，推导过程中要注意结合动点的运动区间确定自变量的取值范围，准确判断端点是否可取。
【难度系数】
0.6
要推导n与m的函数关系，可通过面积法建立等量关系：观察图形可知m是△APD的底AP的长度，n是△APD中AP边上的高，而矩形中△APD的面积是固定值，等于矩形面积的一半，用两种方式表示△APD的面积即可得到m与n的关系式。求自变量m的取值范围时，结合动点P的位置分析：P在BC上且不与B重合，当P接近B时AP最短接近AB的长度，当P与C重合时AP最长为矩形对角线AC的长度，用勾股定理计算AC长度后即可确定m的范围。
【解析】
连接DP。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，∠B=90°，AD=BC=8。
∴ $S_{△ APD} = \frac{1}{2}S_{矩形ABCD} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
又
∵ $S_{△ APD} = \frac{1}{2} · AP · DE = \frac{1}{2}mn$，
∴ $\frac{1}{2}mn = 24$，
整理得 $n = \frac{48}{m}$。
在Rt△ABP中，$AP ＞ AB = 6$，
当点P与点C重合时，$AP = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$，
∴ 自变量m的取值范围是 $6 ＜ m ≤ 10$。
【答案】
$n=\frac{48}{m}(6＜m≤10)$
【知识点】
矩形的性质、三角形面积计算、勾股定理
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题型，利用面积法建立变量间的等量关系是解题的关键，推导过程中要注意结合动点的运动区间确定自变量的取值范围，准确判断端点是否可取。
【难度系数】
0.6
11.已知$y=y_1 - y_2$，其中$y_1$与$x-1$成反比例，$y_2=\frac{1}{4}x + b$，下表给出了自变量$x$与函数$y$的一些对应值.
(1)求$y$与$x$之间的函数关系式，并写出自变量$x$的取值范围；
(2)补全表格：$m=$，$n=$；
(3)若$y_1≥ y_2$时，直接写出自变量$x$的取值范围：.
(1)求$y$与$x$之间的函数关系式，并写出自变量$x$的取值范围；
(2)补全表格：$m=$，$n=$；
(3)若$y_1≥ y_2$时，直接写出自变量$x$的取值范围：.
答案
解：
(1) 设$y_1=\frac{k}{x-1}(k≠0)$，由$y=y_1-y_2$，$y_2=\frac{1}{4}x+b$，得：
$y=\frac{k}{x-1}-(\frac{1}{4}x+b)$
将$x=0,y=-1$和$x=-1,y=\frac{1}{4}$代入上式：
$\begin{cases}-k - b = -1 \\-\frac{k}{2} - (-\frac{1}{4}+b) = \frac{1}{4}\end{cases}$
解得$k=2$，$b=-1$。
因此$y$与$x$的函数关系式为$\boldsymbol{y=\frac{2}{x-1}-\frac{1}{4}x+1}$，自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{x≠1}$。
(2) 把$x=-2$代入函数关系式：
$m=\frac{2}{-2-1}-\frac{1}{4}×(-2)+1=\frac{5}{6}$
把$x=3$代入函数关系式：
$n=\frac{2}{3-1}-\frac{1}{4}×3+1=\frac{5}{4}$
$m=\boldsymbol{\frac{5}{6}}$，$n=\boldsymbol{\frac{5}{4}}$。
(3) 由$y_1≥ y_2$得$y≥0$，解不等式$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{4}x+1≥0$，得自变量$x$的取值范围为：
$\boldsymbol{x≤\frac{5-\sqrt{41}}{2}\mathrm{ 或 }1＜x≤\frac{5+\sqrt{41}}{2}}$
(1) 设$y_1=\frac{k}{x-1}(k≠0)$，由$y=y_1-y_2$，$y_2=\frac{1}{4}x+b$，得：
$y=\frac{k}{x-1}-(\frac{1}{4}x+b)$
将$x=0,y=-1$和$x=-1,y=\frac{1}{4}$代入上式：
$\begin{cases}-k - b = -1 \\-\frac{k}{2} - (-\frac{1}{4}+b) = \frac{1}{4}\end{cases}$
解得$k=2$，$b=-1$。
因此$y$与$x$的函数关系式为$\boldsymbol{y=\frac{2}{x-1}-\frac{1}{4}x+1}$，自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{x≠1}$。
(2) 把$x=-2$代入函数关系式：
$m=\frac{2}{-2-1}-\frac{1}{4}×(-2)+1=\frac{5}{6}$
把$x=3$代入函数关系式：
$n=\frac{2}{3-1}-\frac{1}{4}×3+1=\frac{5}{4}$
$m=\boldsymbol{\frac{5}{6}}$，$n=\boldsymbol{\frac{5}{4}}$。
(3) 由$y_1≥ y_2$得$y≥0$，解不等式$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{4}x+1≥0$，得自变量$x$的取值范围为：
$\boldsymbol{x≤\frac{5-\sqrt{41}}{2}\mathrm{ 或 }1＜x≤\frac{5+\sqrt{41}}{2}}$
解析
【分析】
(1) 首先根据反比例函数定义设出$y_1$的表达式，结合$y=y_1-y_2$写出$y$关于$x$的含参数表达式，再选取表格中两组已知的$x、y$值代入，得到关于参数$k、b$的二元一次方程组，解方程组求出参数值即可得到函数关系式，注意反比例函数分母不为0，据此确定自变量取值范围。
(2) 求$m、n$只需将对应$x$值代入已求出的函数关系式，直接计算即可得到结果。
(3) 将$y_1≥ y_2$转化为$y=y_1-y_2≥0$，解该分式不等式，求解过程中注意分母正负对不等号方向的影响，同时排除分母为0的情况，即可得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 设$y_1=\frac{k}{x-1}(k≠0)$，已知$y=y_1-y_2$，$y_2=\frac{1}{4}x + b$，代入得：
$y=\frac{k}{x-1}-(\frac{1}{4}x + b)$
将$x=0,y=-1$和$x=-1,y=\frac{1}{4}$代入上式，可得方程组：
$\begin{cases}-k - b = -1 \\-\frac{k}{2} - (-\frac{1}{4}+b) = \frac{1}{4}\end{cases}$
解方程组得：$k=2$，$b=-1$。
因此$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{2}{x-1}-\frac{1}{4}x+1$，反比例函数分母不为0，故自变量$x$的取值范围是$x≠1$。
(2) 求$m$：将$x=-2$代入函数关系式：
$m=\frac{2}{-2-1}-\frac{1}{4}×(-2)+1=-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+1=\frac{5}{6}$
求$n$：将$x=3$代入函数关系式：
$n=\frac{2}{3-1}-\frac{1}{4}×3+1=1-\frac{3}{4}+1=\frac{5}{4}$
(3) 由$y_1≥ y_2$移项得$y_1-y_2≥0$，即$y≥0$，解不等式：
$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{4}x+1≥0$
通分整理后求解，同时注意$x≠1$，最终得自变量$x$的取值范围为$x≤\frac{5-\sqrt{41}}{2}$或$1＜x≤\frac{5+\sqrt{41}}{2}$。
【答案】
(1) $y=\frac{2}{x-1}-\frac{1}{4}x+1$，$x≠1$；
(2) $\frac{5}{6}$，$\frac{5}{4}$；
(3) $x≤\frac{5-\sqrt{41}}{2}$或$1＜x≤\frac{5+\sqrt{41}}{2}$
【知识点】
反比例函数的概念，待定系数法求解析式，分式不等式求解
【点评】
本题综合考查反比例函数相关知识，解题核心是先利用待定系数法确定函数解析式，后续求值、解不等式都围绕解析式展开，需要注意反比例函数自变量的取值限制，解分式不等式时要结合分母正负分类讨论，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据反比例函数定义设出$y_1$的表达式，结合$y=y_1-y_2$写出$y$关于$x$的含参数表达式，再选取表格中两组已知的$x、y$值代入，得到关于参数$k、b$的二元一次方程组，解方程组求出参数值即可得到函数关系式，注意反比例函数分母不为0，据此确定自变量取值范围。
(2) 求$m、n$只需将对应$x$值代入已求出的函数关系式，直接计算即可得到结果。
(3) 将$y_1≥ y_2$转化为$y=y_1-y_2≥0$，解该分式不等式，求解过程中注意分母正负对不等号方向的影响，同时排除分母为0的情况，即可得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 设$y_1=\frac{k}{x-1}(k≠0)$，已知$y=y_1-y_2$，$y_2=\frac{1}{4}x + b$，代入得：
$y=\frac{k}{x-1}-(\frac{1}{4}x + b)$
将$x=0,y=-1$和$x=-1,y=\frac{1}{4}$代入上式，可得方程组：
$\begin{cases}-k - b = -1 \\-\frac{k}{2} - (-\frac{1}{4}+b) = \frac{1}{4}\end{cases}$
解方程组得：$k=2$，$b=-1$。
因此$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{2}{x-1}-\frac{1}{4}x+1$，反比例函数分母不为0，故自变量$x$的取值范围是$x≠1$。
(2) 求$m$：将$x=-2$代入函数关系式：
$m=\frac{2}{-2-1}-\frac{1}{4}×(-2)+1=-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+1=\frac{5}{6}$
求$n$：将$x=3$代入函数关系式：
$n=\frac{2}{3-1}-\frac{1}{4}×3+1=1-\frac{3}{4}+1=\frac{5}{4}$
(3) 由$y_1≥ y_2$移项得$y_1-y_2≥0$，即$y≥0$，解不等式：
$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{4}x+1≥0$
通分整理后求解，同时注意$x≠1$，最终得自变量$x$的取值范围为$x≤\frac{5-\sqrt{41}}{2}$或$1＜x≤\frac{5+\sqrt{41}}{2}$。
【答案】
(1) $y=\frac{2}{x-1}-\frac{1}{4}x+1$，$x≠1$；
(2) $\frac{5}{6}$，$\frac{5}{4}$；
(3) $x≤\frac{5-\sqrt{41}}{2}$或$1＜x≤\frac{5+\sqrt{41}}{2}$
【知识点】
反比例函数的概念，待定系数法求解析式，分式不等式求解
【点评】
本题综合考查反比例函数相关知识，解题核心是先利用待定系数法确定函数解析式，后续求值、解不等式都围绕解析式展开，需要注意反比例函数自变量的取值限制，解分式不等式时要结合分母正负分类讨论，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
