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6. 如图所示是三个反比例函数$y=\frac{k_1}{x}, y=\frac{k_2}{x}, y=\frac{k_3}{x}$的图象，由此观察$k_1,k_2,k_3$的大小关系是（用“＜”连接）。
答案
解：
由反比例函数的图象性质可知：
$y=\frac{k_1}{x}$的图象位于第二象限，因此$k_1＜0$；
$y=\frac{k_2}{x}$与$y=\frac{k_3}{x}$的图象位于第一象限，因此$k_2＞0$，$k_3＞0$。
在第一象限内取任意相同的正数自变量$x$，可得对应函数值满足$\frac{k_2}{x}＞\frac{k_3}{x}＞0$，不等号两边同乘正数$x$，得$k_2＞k_3＞0$。
综上可得$k_1＜k_3＜k_2$。
由反比例函数的图象性质可知：
$y=\frac{k_1}{x}$的图象位于第二象限，因此$k_1＜0$；
$y=\frac{k_2}{x}$与$y=\frac{k_3}{x}$的图象位于第一象限，因此$k_2＞0$，$k_3＞0$。
在第一象限内取任意相同的正数自变量$x$，可得对应函数值满足$\frac{k_2}{x}＞\frac{k_3}{x}＞0$，不等号两边同乘正数$x$，得$k_2＞k_3＞0$。
综上可得$k_1＜k_3＜k_2$。
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的性质：当$k＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限。第一步先根据三个函数图象所在的象限，判断三个$k$值的正负，确定最小的$k$值；第二步对位于同一象限的两个反比例函数，取相同的正自变量$x$，比较对应函数值的大小，再结合不等式的性质即可推导两个正$k$值的大小，最终得到三个$k$的大小关系。
【解析】
根据反比例函数的图象与系数的关系：
1. $y=\frac{k_1}{x}$的图象位于第二象限，因此$k_1＜0$；
2. $y=\frac{k_2}{x}$与$y=\frac{k_3}{x}$的图象位于第一象限，因此$k_2＞0$，$k_3＞0$；
3. 在第一象限内取任意相同的正数值为自变量$x$，可得对应函数值满足$\frac{k_2}{x}＞\frac{k_3}{x}＞0$，不等号两边同时乘正数$x$，不等号方向不变，因此$k_2＞k_3＞0$。
综上可得$k_1＜k_3＜k_2$。
【答案】
$k_1＜k_3＜k_2$
【知识点】
反比例函数图象性质；不等式基本性质
【点评】
本题考查反比例函数系数与图象的对应关系，解题时先通过象限判断系数正负，再对同象限的函数通过固定自变量比较函数值的方法判断系数大小，是反比例函数性质的常规基础考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的性质：当$k＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限。第一步先根据三个函数图象所在的象限，判断三个$k$值的正负，确定最小的$k$值；第二步对位于同一象限的两个反比例函数，取相同的正自变量$x$，比较对应函数值的大小，再结合不等式的性质即可推导两个正$k$值的大小，最终得到三个$k$的大小关系。
【解析】
根据反比例函数的图象与系数的关系：
1. $y=\frac{k_1}{x}$的图象位于第二象限，因此$k_1＜0$；
2. $y=\frac{k_2}{x}$与$y=\frac{k_3}{x}$的图象位于第一象限，因此$k_2＞0$，$k_3＞0$；
3. 在第一象限内取任意相同的正数值为自变量$x$，可得对应函数值满足$\frac{k_2}{x}＞\frac{k_3}{x}＞0$，不等号两边同时乘正数$x$，不等号方向不变，因此$k_2＞k_3＞0$。
综上可得$k_1＜k_3＜k_2$。
【答案】
$k_1＜k_3＜k_2$
【知识点】
反比例函数图象性质；不等式基本性质
【点评】
本题考查反比例函数系数与图象的对应关系，解题时先通过象限判断系数正负，再对同象限的函数通过固定自变量比较函数值的方法判断系数大小，是反比例函数性质的常规基础考题。
【难度系数】
0.8
7.如图是函数$y_1=\frac{k_1}{x}$与$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象，点A，B分别在$y_1$，$y_2$上，$AB// x$轴，点C在x轴上，$S_{△ ABC}=4$，则$k_2 - k_1=$。
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
解题思路：首先观察到AB平行于x轴，因此点A、B的纵坐标相等，我们可以设两点纵坐标为h，分别表示出A、B的横坐标，再结合反比例函数上点的坐标与k的关系，得到k₁、k₂和A、B坐标的关系。三角形ABC的底为AB的长度，高为A、B的纵坐标h，根据三角形面积公式列出等式，代入k的表达式即可求出k₂ - k₁的值。
【解析】
设点A的坐标为$(a, h)$，点B的坐标为$(b, h)$，其中$a＞0, b＞0, h＞0$。
∵ 点A在$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象上，
∴ $h=\frac{k_1}{a}$，即$k_1 = ah$；
∵ 点B在$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象上，
∴ $h=\frac{k_2}{b}$，即$k_2 = bh$。
∵ $AB// x$轴，
∴ $AB$的长度为$b - a$，$△ ABC$中AB边上的高等于$h$。
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × h$，已知$S_{△ ABC}=4$，代入得：
$\frac{1}{2}(b - a)h = 4$
展开等式左边：$\frac{1}{2}(bh - ah) = 4$
将$bh=k_2$、$ah=k_1$代入上式，得：
$\frac{1}{2}(k_2 - k_1) = 4$
解得：$k_2 - k_1 = 8$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
反比例函数点的坐标特征，三角形面积计算，反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数的常见基础题型，解题核心是利用平行于x轴的直线上点纵坐标相等的特点，结合反比例函数中k与点横纵坐标乘积的关系，通过面积公式建立等式求解，解题过程中注意反比例函数所在象限对应k的符号即可。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先观察到AB平行于x轴，因此点A、B的纵坐标相等，我们可以设两点纵坐标为h，分别表示出A、B的横坐标，再结合反比例函数上点的坐标与k的关系，得到k₁、k₂和A、B坐标的关系。三角形ABC的底为AB的长度，高为A、B的纵坐标h，根据三角形面积公式列出等式，代入k的表达式即可求出k₂ - k₁的值。
【解析】
设点A的坐标为$(a, h)$，点B的坐标为$(b, h)$，其中$a＞0, b＞0, h＞0$。
∵ 点A在$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象上，
∴ $h=\frac{k_1}{a}$，即$k_1 = ah$；
∵ 点B在$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象上，
∴ $h=\frac{k_2}{b}$，即$k_2 = bh$。
∵ $AB// x$轴，
∴ $AB$的长度为$b - a$，$△ ABC$中AB边上的高等于$h$。
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × h$，已知$S_{△ ABC}=4$，代入得：
$\frac{1}{2}(b - a)h = 4$
展开等式左边：$\frac{1}{2}(bh - ah) = 4$
将$bh=k_2$、$ah=k_1$代入上式，得：
$\frac{1}{2}(k_2 - k_1) = 4$
解得：$k_2 - k_1 = 8$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
反比例函数点的坐标特征，三角形面积计算，反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数的常见基础题型，解题核心是利用平行于x轴的直线上点纵坐标相等的特点，结合反比例函数中k与点横纵坐标乘积的关系，通过面积公式建立等式求解，解题过程中注意反比例函数所在象限对应k的符号即可。
【难度系数】
0.7
8.请写出一个同时满足以下三个条件的函数解析式：.
①它的图象经过第四象限；
②当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
③函数的图象关于原点成中心对称.
①它的图象经过第四象限；
②当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
③函数的图象关于原点成中心对称.
答案
解：
由条件③可知该函数为关于原点中心对称的反比例函数，形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，结合条件①②可得比例系数$k＜0$，取$k=-1$，得到符合要求的函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{x}}$（答案不唯一，任意$k＜0$的反比例函数均可）。
由条件③可知该函数为关于原点中心对称的反比例函数，形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，结合条件①②可得比例系数$k＜0$，取$k=-1$，得到符合要求的函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{x}}$（答案不唯一，任意$k＜0$的反比例函数均可）。
解析
【分析】
我们优先从特征最明确的条件③入手分析：图象关于原点成中心对称的函数，现阶段学习的反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$符合该特征。接下来结合剩余条件筛选：条件②要求$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，根据反比例函数性质，当$k＜0$时，函数在每个象限内$y$随$x$增大而增大，满足要求；再验证条件①，$k＜0$的反比例函数图象分布在第二、四象限，必然经过第四象限，符合所有条件。最后取一个小于0的$k$值，即可写出符合要求的解析式。
【解析】
1. 由条件③：函数图象关于原点成中心对称，可选取反比例函数，其一般形式为$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$，该类函数图象天然关于原点中心对称，满足条件③。
2. 结合条件②：当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，根据反比例函数性质，当比例系数$k＜0$时，函数在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，满足条件②。
3. 验证条件①：当$k＜0$时，反比例函数图象分布在第二、第四象限，必然经过第四象限，满足条件①。
4. 取$k=-1$，即可得到符合所有条件的函数解析式$y=-\frac{1}{x}$，任意$k＜0$的反比例函数均满足要求，答案不唯一。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{x}$（答案不唯一，任意$k＜0$的反比例函数均可）
【知识点】
反比例函数的性质；中心对称的特征；函数增减性判断
【点评】
本题为开放性试题，重点考查对函数性质的综合理解与运用能力，解题时优先从辨识度高的条件入手缩小函数范围，再结合剩余条件确定参数取值范围即可快速求解。
【难度系数】
0.7
我们优先从特征最明确的条件③入手分析：图象关于原点成中心对称的函数，现阶段学习的反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$符合该特征。接下来结合剩余条件筛选：条件②要求$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，根据反比例函数性质，当$k＜0$时，函数在每个象限内$y$随$x$增大而增大，满足要求；再验证条件①，$k＜0$的反比例函数图象分布在第二、四象限，必然经过第四象限，符合所有条件。最后取一个小于0的$k$值，即可写出符合要求的解析式。
【解析】
1. 由条件③：函数图象关于原点成中心对称，可选取反比例函数，其一般形式为$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$，该类函数图象天然关于原点中心对称，满足条件③。
2. 结合条件②：当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，根据反比例函数性质，当比例系数$k＜0$时，函数在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，满足条件②。
3. 验证条件①：当$k＜0$时，反比例函数图象分布在第二、第四象限，必然经过第四象限，满足条件①。
4. 取$k=-1$，即可得到符合所有条件的函数解析式$y=-\frac{1}{x}$，任意$k＜0$的反比例函数均满足要求，答案不唯一。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{x}$（答案不唯一，任意$k＜0$的反比例函数均可）
【知识点】
反比例函数的性质；中心对称的特征；函数增减性判断
【点评】
本题为开放性试题，重点考查对函数性质的综合理解与运用能力，解题时优先从辨识度高的条件入手缩小函数范围，再结合剩余条件确定参数取值范围即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9.如图，△ABO是等边三角形，点A的坐标是(2,0)，点B在第一象限.若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点B，求k的值.
答案
解：
过点B作BH⊥x轴，垂足为H。
∵ 点A的坐标是(2,0)，
∴ OA=2。
∵ △ABO是等边三角形，
∴ OB=OA=2，∠BOH=60°，
∴ OH = $\frac{1}{2}$OA = 1，
在Rt△OBH中，由勾股定理得：
$BH = \sqrt{OB^2 - OH^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$，
∴ 点B的坐标为$(1, \sqrt{3})$。
将$B(1,\sqrt{3})$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$\sqrt{3} = \frac{k}{1}$，
解得$k=\sqrt{3}$。
过点B作BH⊥x轴，垂足为H。
∵ 点A的坐标是(2,0)，
∴ OA=2。
∵ △ABO是等边三角形，
∴ OB=OA=2，∠BOH=60°，
∴ OH = $\frac{1}{2}$OA = 1，
在Rt△OBH中，由勾股定理得：
$BH = \sqrt{OB^2 - OH^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$，
∴ 点B的坐标为$(1, \sqrt{3})$。
将$B(1,\sqrt{3})$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$\sqrt{3} = \frac{k}{1}$，
解得$k=\sqrt{3}$。
解析
【分析】
要计算反比例函数中参数k的值，需先求出反比例函数图象上点B的坐标。首先根据点A的坐标可得到OA的长度，结合△ABO是等边三角形的性质，可得到OB的长度与∠BOA的度数；接下来过点B作x轴的垂线，利用等边三角形三线合一的性质得到点B的横坐标，再通过勾股定理求出点B的纵坐标；最后将点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
过点B作BH⊥x轴，垂足为H。
∵ 点A的坐标是(2,0)，
∴ OA=2。
∵ △ABO是等边三角形，
∴ OB=OA=2，∠BOH=60°，
∴ OH = $\frac{1}{2}$OA = 1，
在Rt△OBH中，由勾股定理得：
$BH = \sqrt{OB^2 - OH^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$，
∴ 点B的坐标为$(1, \sqrt{3})$。
将$B(1,\sqrt{3})$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$\sqrt{3} = \frac{k}{1}$，
解得$k=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，反比例函数解析式的确定
【点评】
本题是几何与反比例函数结合的基础综合题，解题核心是利用等边三角形的性质求出点B的坐标，再代入反比例函数求解参数，侧重考查基础知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算反比例函数中参数k的值，需先求出反比例函数图象上点B的坐标。首先根据点A的坐标可得到OA的长度，结合△ABO是等边三角形的性质，可得到OB的长度与∠BOA的度数；接下来过点B作x轴的垂线，利用等边三角形三线合一的性质得到点B的横坐标，再通过勾股定理求出点B的纵坐标；最后将点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
过点B作BH⊥x轴，垂足为H。
∵ 点A的坐标是(2,0)，
∴ OA=2。
∵ △ABO是等边三角形，
∴ OB=OA=2，∠BOH=60°，
∴ OH = $\frac{1}{2}$OA = 1，
在Rt△OBH中，由勾股定理得：
$BH = \sqrt{OB^2 - OH^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$，
∴ 点B的坐标为$(1, \sqrt{3})$。
将$B(1,\sqrt{3})$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$\sqrt{3} = \frac{k}{1}$，
解得$k=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，反比例函数解析式的确定
【点评】
本题是几何与反比例函数结合的基础综合题，解题核心是利用等边三角形的性质求出点B的坐标，再代入反比例函数求解参数，侧重考查基础知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
