10.如图，正比例函数$y=-2x$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象相交于点$A(m,2)$和点$B$。
(1)求反比例函数的解析式及点$B$的坐标；
(2)结合图象，直接写出当$-2x＞\dfrac{k}{x}$时$x$的取值范围。

解：
(1) 把点$A(m,2)$代入正比例函数$y=-2x$，得：
$2 = -2m$，
解得$m=-1$，
∴点A的坐标为$(-1,2)$。
把$A(-1,2)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$2=\dfrac{k}{-1}$，
解得$k=-2$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\dfrac{2}{x}$。
∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，
∴交点A、B关于原点对称，
∴点B的坐标为$(1,-2)$。
(2) $x$的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$。

【分析】
(1) 要确定反比例函数解析式，需先得到其图象上点的坐标：已知点A在正比例函数上且纵坐标为2，将A(m,2)代入正比例函数即可求出m，得到点A的完整坐标；再将点A坐标代入反比例函数就能求出k，得到反比例函数解析式。由于正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两个交点也关于原点对称，根据点A坐标可直接推出点B的坐标。
(2) 不等式$-2x＞\dfrac{k}{x}$的几何意义是正比例函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围，观察图象时分$x＜0$和$x＞0$两个区间查找直线在双曲线上方的部分，对应写出x的范围即可，注意反比例函数中x不能为0。
【解析】
(1) 把点$A(m,2)$代入正比例函数$y=-2x$，得：
$2 = -2m$，
解得$m=-1$，
∴点A的坐标为$(-1,2)$。
把$A(-1,2)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$2=\dfrac{k}{-1}$，
解得$k=-2$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\dfrac{2}{x}$。
∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，
∴交点A、B关于原点对称，
∴点B的坐标为$(1,-2)$。
(2) 观察图象可得，当正比例函数图象在反比例函数图象上方时，对应的$x$的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{2}{x}}$，点B的坐标为$\boldsymbol{(1,-2)}$；
(2) $x$的取值范围是$\boldsymbol{x＜-1}$或$\boldsymbol{0＜x＜1}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；正反比例函数对称性；图像法解函数不等式
【点评】
本题是正反比例函数的综合基础题，既考查了待定系数法求解函数解析式的方法，也考查了数形结合思想在函数不等式求解中的应用，熟练掌握两类函数的图象与性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7

11.已知反比例函数$y=\frac{1-2m}{x}$（$m$为常数）的图象在平面直角坐标系的第一、三象限，若该反比例函数的图象经过平行四边形$ABOD$的顶点$D$，点$A,B$的坐标分别为$(0,3),(-2,0)$。
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)设点$P$是该反比例函数图象上的一点，且$OD=OP$。
①则所有满足条件的点$P$的坐标为________；
②若以$D,O,P$为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点$P$的个数为________。

解：
(1) ∵ 四边形ABOD是平行四边形，
∴ $AD// OB$，$AD=OB$，
由$A(0,3)$，$B(-2,0)$，得$OB=2$，
∴ 点D的坐标为$(2,3)$。
将$D(2,3)$代入$y=\frac{1-2m}{x}$，得：
$3=\frac{1-2m}{2}$，
解得$1-2m=6$，
∴ 该反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) ① 由$OD=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，结合反比例函数图象的对称性，满足$OD=OP$的点P坐标为$\boldsymbol{(3,2),(-2,-3),(-3,-2)}$；
② 分三类讨论等腰三角形：
当$OP=OD$时，点$(-2,-3)$与D、O三点共线，无法构成三角形，剩余2个符合条件的点；
当$DP=OD$时，以D为圆心、OD长为半径作圆，与双曲线$y=\frac{6}{x}$交于2个可构成三角形的点；
当$PO=PD$时，OD的垂直平分线与双曲线无交点，不存在符合条件的点；
因此满足条件的点P的个数为$\boldsymbol{4}$。

【分析】
(1) 要求反比例函数解析式，需先确定图象上点D的坐标。利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合A、B坐标可求出D点坐标，再代入反比例函数表达式即可求出k值，得到解析式。
(2) ① 先计算OD的长度，结合反比例函数图象关于原点对称、关于直线y=x对称的性质，找出所有到原点O距离等于OD的点，排除D点本身即可得到P的坐标。
② 要判断以D、O、P为顶点的等腰三角形的个数，需分三类讨论：OP=OD、DP=OD、PO=PD，分别找出每种情况下反比例函数图象上符合条件的点，注意排除三点共线无法构成三角形的情况，最后汇总个数即可。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABOD是平行四边形，
∴ $AD// OB$，$AD=OB$，
由$A(0,3)$，$B(-2,0)$，得$OB=2$，
∴ 点D的纵坐标与A点相同为3，横坐标为2，即$D(2,3)$。
将$D(2,3)$代入$y=\frac{1-2m}{x}$，得：
$3=\frac{1-2m}{2}$，
解得$1-2m=6$，
∴ 该反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) ① 由勾股定理得$OD=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，根据反比例函数图象的对称性：
点$D(2,3)$关于原点对称的点为$(-2,-3)$，关于直线$y=x$对称的点为$(3,2)$，$(3,2)$关于原点对称的点为$(-3,-2)$，以上三点到原点的距离均为$\sqrt{13}$，满足$OD=OP$。
② 分三类讨论等腰三角形：
当$OP=OD$时，点$(-2,-3)$与D、O三点共线，无法构成三角形，剩余2个符合条件的点；
当$DP=OD$时，以D为圆心、OD长为半径作圆，与双曲线$y=\frac{6}{x}$交于2个可构成三角形的点；
当$PO=PD$时，OD的垂直平分线与双曲线无交点，不存在符合条件的点。
因此满足条件的点P的总个数为$2+2=4$。
【答案】
(1) $y=\frac{6}{x}$；
(2) ① $\boldsymbol{(3,2),(-2,-3),(-3,-2)}$；② $\boldsymbol{4}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，既考查了基本几何图形的性质，也需要熟练运用反比例函数的对称性解决问题，解答时要注意分类讨论思想的应用，同时要排除三点共线的特殊情况，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.6