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1.已知$a$，$b$是一元二次方程$x^2 - x -5=0$的两个实数根，则$a+b-ab$的值是（
A.4
B.5
C.6
D.7
C
）.A.4
B.5
C.6
D.7
答案
1.C
解析
【分析】
已知a、b是一元二次方程的两个实数根，要求a+b-ab的值，无需分别求解a、b的具体数值，可直接利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和a+b与两根之积ab，再整体代入目标代数式计算即可，解题更简便高效。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x -5=0$，其二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-5。
根据一元二次方程根与系数的关系：若$x_1,x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
可得：$a+b=-\frac{-1}{1}=1$，$ab=\frac{-5}{1}=-5$。
将上述结果代入$a+b-ab$得：
原式$=1 - (-5)=1+5=6$。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.代数式整体代入求值
【点评】
本题侧重考查根与系数关系的灵活应用，运用整体代入的思想可避免复杂的求根运算，属于基础常考题型，需牢记根与系数的相关公式。
【难度系数】
0.8
已知a、b是一元二次方程的两个实数根，要求a+b-ab的值，无需分别求解a、b的具体数值，可直接利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和a+b与两根之积ab，再整体代入目标代数式计算即可，解题更简便高效。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x -5=0$，其二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-5。
根据一元二次方程根与系数的关系：若$x_1,x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
可得：$a+b=-\frac{-1}{1}=1$，$ab=\frac{-5}{1}=-5$。
将上述结果代入$a+b-ab$得：
原式$=1 - (-5)=1+5=6$。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.代数式整体代入求值
【点评】
本题侧重考查根与系数关系的灵活应用，运用整体代入的思想可避免复杂的求根运算，属于基础常考题型，需牢记根与系数的相关公式。
【难度系数】
0.8
2.若关于$x$的方程$x^2 - mx -6=0$有一个根为2，则$m$的值是（
A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
B
）.A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
答案
2.B
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解。方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知根$x=2$代入原方程，即可得到只含未知数$m$的一元一次方程，解这个方程就能求出$m$的值。
【解析】
∵$x=2$是方程$x^2 - mx -6=0$的一个根，
∴将$x=2$代入方程，等式成立，即：
$2^2 - 2m -6 = 0$
化简得：$4 - 2m -6 = 0$
合并常数项得：$-2m -2 = 0$
移项得：$-2m = 2$
系数化为1得：$m = -1$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义、解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程根的概念，只要熟练掌握“方程的根代入原方程可使等式成立”这一性质，代入计算即可快速得到结果，解题过程中注意计算不要出错。
【难度系数】
0.9
本题可根据一元二次方程根的定义求解。方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知根$x=2$代入原方程，即可得到只含未知数$m$的一元一次方程，解这个方程就能求出$m$的值。
【解析】
∵$x=2$是方程$x^2 - mx -6=0$的一个根，
∴将$x=2$代入方程，等式成立，即：
$2^2 - 2m -6 = 0$
化简得：$4 - 2m -6 = 0$
合并常数项得：$-2m -2 = 0$
移项得：$-2m = 2$
系数化为1得：$m = -1$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义、解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程根的概念，只要熟练掌握“方程的根代入原方程可使等式成立”这一性质，代入计算即可快速得到结果，解题过程中注意计算不要出错。
【难度系数】
0.9
3.若$x_1+x_2=3,x_1x_2=2$,则下列一元二次方程以$x_1,x_2$为根的是(
A.$x^2-3x+2=0$
B.$x^2+3x-2=0$
C.$x^2+3x+2=0$
D.$x^2-3x-2=0$
A
).A.$x^2-3x+2=0$
B.$x^2+3x-2=0$
C.$x^2+3x+2=0$
D.$x^2-3x-2=0$
答案
3.A
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程两根的和与积，求对应方程的题型，首先回忆一元二次方程根与系数的关系：对于二次项系数为1的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$，其中一次项系数是两根之和的相反数，常数项是两根之积。我们只需将题目给出的两根和、两根积代入该公式，即可得到对应方程，再匹配选项就能得出答案。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，当二次项系数为1时，以$x_1$、$x_2$为根的一元二次方程形式为：
$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$
将$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2$代入上式，可得：
$x^2 - 3x + 2 = 0$
与选项对比，A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的构造
【点评】
本题属于基础应用题，主要考查对一元二次方程根与系数关系的掌握，熟练掌握已知两根和与积构造方程的方法即可快速得分。
【难度系数】
0.9
遇到已知一元二次方程两根的和与积，求对应方程的题型，首先回忆一元二次方程根与系数的关系：对于二次项系数为1的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$，其中一次项系数是两根之和的相反数，常数项是两根之积。我们只需将题目给出的两根和、两根积代入该公式，即可得到对应方程，再匹配选项就能得出答案。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，当二次项系数为1时，以$x_1$、$x_2$为根的一元二次方程形式为：
$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$
将$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2$代入上式，可得：
$x^2 - 3x + 2 = 0$
与选项对比，A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的构造
【点评】
本题属于基础应用题，主要考查对一元二次方程根与系数关系的掌握，熟练掌握已知两根和与积构造方程的方法即可快速得分。
【难度系数】
0.9
4.已知方程$x^2 + mx + 2 = 0$的两个根为$x_1, x_2$，且$\frac{x_1x_2}{x_1 + x_2} = \frac{2}{3}$，则$m$的值是（
A.－2
B.－3
C.2
D.3
B
）。A.－2
B.－3
C.2
D.3
答案
4.B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：第一步，回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的两根$x_1、x_2$满足：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；第二步，结合题干给出的方程，确定$a、b、c$的取值，用含$m$的代数式表示出$x_1+x_2$和$x_1x_2$；第三步，将两个代数式代入题干给出的分式等式，求解得到$m$后验证判别式，确认方程有实根即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + mx + 2 = 0$，其中$a=1$，$b=m$，$c=2$，
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -m$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 2$，
将上述结果代入$\frac{x_1x_2}{x_1 + x_2} = \frac{2}{3}$，得：
$\frac{2}{-m} = \frac{2}{3}$，
交叉相乘化简得：$6=-2m$，
解得$m=-3$。
验证：当$m=-3$时，判别式$\Delta=m^2-4ac=(-3)^2-4×1×2=1＞0$，方程有两个实数根，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题关键是准确记忆两根之和、两根之积与方程系数的对应关系，计算后可通过判别式验证结果的合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：第一步，回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的两根$x_1、x_2$满足：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；第二步，结合题干给出的方程，确定$a、b、c$的取值，用含$m$的代数式表示出$x_1+x_2$和$x_1x_2$；第三步，将两个代数式代入题干给出的分式等式，求解得到$m$后验证判别式，确认方程有实根即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + mx + 2 = 0$，其中$a=1$，$b=m$，$c=2$，
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -m$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 2$，
将上述结果代入$\frac{x_1x_2}{x_1 + x_2} = \frac{2}{3}$，得：
$\frac{2}{-m} = \frac{2}{3}$，
交叉相乘化简得：$6=-2m$，
解得$m=-3$。
验证：当$m=-3$时，判别式$\Delta=m^2-4ac=(-3)^2-4×1×2=1＞0$，方程有两个实数根，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题关键是准确记忆两根之和、两根之积与方程系数的对应关系，计算后可通过判别式验证结果的合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
5.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(m+2)x+2m=0$有两个实数根$x_1,x_2$，并且满足$(x_1-1)(x_2-1)=14$，求$m$的值.
答案
5.$\because \Delta=[-(m+2)]^2-4×2m=(m-2)^2\ge0$,
$\therefore$方程总有两个实数根.根据根与系数的关系得$x_1+x_2=m+2$,$x_1x_2=2m$.
$\because (x_1-1)(x_2-1)=14$,$\therefore x_1x_2-(x_1+x_2)=13$,
$\therefore 2m-m-2=13$,解得$m=15$.
$\therefore$方程总有两个实数根.根据根与系数的关系得$x_1+x_2=m+2$,$x_1x_2=2m$.
$\because (x_1-1)(x_2-1)=14$,$\therefore x_1x_2-(x_1+x_2)=13$,
$\therefore 2m-m-2=13$,解得$m=15$.
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出一元二次方程有两个实数根，因此第一步需先计算判别式Δ，验证Δ≥0，保证所求的m满足方程有实根的前提；其次，题中给出关于两根$x_1$、$x_2$的对称式等式，可利用根与系数的关系（韦达定理）先写出两根之和、两根之积的表达式，再将给定的对称式展开变形，代入两根和、两根积的表达式，即可得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
首先计算方程的判别式：
$\Delta=[-(m+2)]^2-4×1×2m=(m-2)^2\ge0$，
因此无论m取何值，方程总有两个实数根，符合题设条件。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=m+2$，$x_1x_2=2m$。
将已知等式$(x_1-1)(x_2-1)=14$展开得：
$x_1x_2 - x_1 - x_2 +1=14$，
整理得$x_1x_2-(x_1+x_2)=13$。
将$x_1+x_2=m+2$、$x_1x_2=2m$代入上式得：
$2m-(m+2)=13$，
化简得$m-2=13$，
解得$m=15$。
【答案】
$m=15$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 整式化简求值
【点评】
本题属于一元二次方程根的性质的基础应用题，解题时需先确认方程有实根的前提条件，再通过韦达定理将两根的对称式转化为关于参数m的方程求解，整体解题思路清晰，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目给出一元二次方程有两个实数根，因此第一步需先计算判别式Δ，验证Δ≥0，保证所求的m满足方程有实根的前提；其次，题中给出关于两根$x_1$、$x_2$的对称式等式，可利用根与系数的关系（韦达定理）先写出两根之和、两根之积的表达式，再将给定的对称式展开变形，代入两根和、两根积的表达式，即可得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
首先计算方程的判别式：
$\Delta=[-(m+2)]^2-4×1×2m=(m-2)^2\ge0$，
因此无论m取何值，方程总有两个实数根，符合题设条件。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=m+2$，$x_1x_2=2m$。
将已知等式$(x_1-1)(x_2-1)=14$展开得：
$x_1x_2 - x_1 - x_2 +1=14$，
整理得$x_1x_2-(x_1+x_2)=13$。
将$x_1+x_2=m+2$、$x_1x_2=2m$代入上式得：
$2m-(m+2)=13$，
化简得$m-2=13$，
解得$m=15$。
【答案】
$m=15$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 整式化简求值
【点评】
本题属于一元二次方程根的性质的基础应用题，解题时需先确认方程有实根的前提条件，再通过韦达定理将两根的对称式转化为关于参数m的方程求解，整体解题思路清晰，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
6.若关于$ x $的一元二次方程$ a(x - m)^2 + n = 0(a ≠ 0) $的两个根分别为$-3,1$，则关于$ x $的方程$ a(x - m - 2)^2 + n = 0 $的两个根分别为(
A.1,5
B.−1,−5
C.−3,1
D.−1,3
D
).A.1,5
B.−1,−5
C.−3,1
D.−1,3
答案
6.D
解析
【分析】
观察两个方程的结构可知二者形式高度相似，可利用整体换元思想求解：我们可以把第二个方程中的$(x-2)$看作整体，对应第一个方程里的未知数$x$，直接借用第一个方程的已知根计算第二个方程的根；也可以通过直接开平方法分别写出两个方程根的表达式，结合第一个方程的根推导第二个方程的根，两种方法均符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一：换元法
设$y=x-2$，则方程$a(x - m - 2)^2 + n = 0$可变形为$a(y - m)^2 + n = 0$。
已知$a(x - m)^2 + n = 0$的两根为$-3$、$1$，因此$a(y - m)^2 + n = 0$的两根为$y=-3$、$y=1$。
将$y=x-2$代回，可得：
当$y=-3$时，$x-2=-3$，解得$x=-1$；
当$y=1$时，$x-2=1$，解得$x=3$。
因此方程$a(x - m - 2)^2 + n = 0$的两根为$-1$和$3$。
方法二：直接开平方法
解$a(x - m)^2 + n = 0$：移项得$(x-m)^2=-\frac{n}{a}$，开方得$x=m\pm\sqrt{-\frac{n}{a}}$。
结合已知两根可得：$m+\sqrt{-\frac{n}{a}}=1$，$m-\sqrt{-\frac{n}{a}}=-3$。
解$a(x - m - 2)^2 + n = 0$：移项得$(x-m-2)^2=-\frac{n}{a}$，开方得$x=m+2\pm\sqrt{-\frac{n}{a}}$。
代入上述关系计算得：
$x_1=(m+\sqrt{-\frac{n}{a}})+2=1+2=3$，$x_2=(m-\sqrt{-\frac{n}{a}})+2=-3+2=-1$。
因此方程的两根为$-1$和$3$。
【答案】
D
【知识点】
换元法解方程，直接开平方法，一元二次方程的根
【点评】
本题侧重考查对一元二次方程结构的观察能力，整体换元思想是解这类同结构方程的核心技巧，无需计算未知参数即可快速得到结果，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
观察两个方程的结构可知二者形式高度相似，可利用整体换元思想求解：我们可以把第二个方程中的$(x-2)$看作整体，对应第一个方程里的未知数$x$，直接借用第一个方程的已知根计算第二个方程的根；也可以通过直接开平方法分别写出两个方程根的表达式，结合第一个方程的根推导第二个方程的根，两种方法均符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一：换元法
设$y=x-2$，则方程$a(x - m - 2)^2 + n = 0$可变形为$a(y - m)^2 + n = 0$。
已知$a(x - m)^2 + n = 0$的两根为$-3$、$1$，因此$a(y - m)^2 + n = 0$的两根为$y=-3$、$y=1$。
将$y=x-2$代回，可得：
当$y=-3$时，$x-2=-3$，解得$x=-1$；
当$y=1$时，$x-2=1$，解得$x=3$。
因此方程$a(x - m - 2)^2 + n = 0$的两根为$-1$和$3$。
方法二：直接开平方法
解$a(x - m)^2 + n = 0$：移项得$(x-m)^2=-\frac{n}{a}$，开方得$x=m\pm\sqrt{-\frac{n}{a}}$。
结合已知两根可得：$m+\sqrt{-\frac{n}{a}}=1$，$m-\sqrt{-\frac{n}{a}}=-3$。
解$a(x - m - 2)^2 + n = 0$：移项得$(x-m-2)^2=-\frac{n}{a}$，开方得$x=m+2\pm\sqrt{-\frac{n}{a}}$。
代入上述关系计算得：
$x_1=(m+\sqrt{-\frac{n}{a}})+2=1+2=3$，$x_2=(m-\sqrt{-\frac{n}{a}})+2=-3+2=-1$。
因此方程的两根为$-1$和$3$。
【答案】
D
【知识点】
换元法解方程，直接开平方法，一元二次方程的根
【点评】
本题侧重考查对一元二次方程结构的观察能力，整体换元思想是解这类同结构方程的核心技巧，无需计算未知参数即可快速得到结果，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
7.已知a和b是方程$x^2 + 2026x - 2 = 0$的两个根，则$a^2 + 2025a - b$的值是
2028
。答案
7.2028
解析
【分析】
本题是已知一元二次方程的两根，求含两根的代数式值的问题。解题思路如下：第一步，利用一元二次方程根的定义，将根a代入原方程，得到关于a²的等式，用于将所求式中的二次项降为一次项；第二步，对所求代数式进行化简，转化为含有两根之和的形式；第三步，利用根与系数的关系求出两根之和，整体代入化简后的式子即可算出结果，无需单独求解a、b的具体值，可简化计算。
【解析】
∵ a是方程$x^2 + 2026x - 2 = 0$的根
∴ 把x=a代入方程得：$a^2 + 2026a - 2 = 0$，整理得$a^2 = 2 - 2026a$
将$a^2 = 2 - 2026a$代入$a^2 + 2025a - b$得：
$\begin{aligned}a^2 + 2025a - b&= (2 - 2026a) + 2025a - b\\&=2 - a - b\\&=2 - (a + b)\end{aligned}$
又
∵ a、b是方程$x^2 + 2026x - 2 = 0$的两个根，根据根与系数的关系，两根之和$a + b = -\frac{2026}{1} = -2026$
∴ 代入得：$2 - (a + b) = 2 - (-2026) = 2 + 2026 = 2028$
【答案】
2028
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题属于一元二次方程根的应用的典型题型，解题关键是灵活运用根的定义实现降次，结合根与系数的关系整体代入计算，避免了求解方程根的繁琐过程，能够很好地考察学生对相关知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是已知一元二次方程的两根，求含两根的代数式值的问题。解题思路如下：第一步，利用一元二次方程根的定义，将根a代入原方程，得到关于a²的等式，用于将所求式中的二次项降为一次项；第二步，对所求代数式进行化简，转化为含有两根之和的形式；第三步，利用根与系数的关系求出两根之和，整体代入化简后的式子即可算出结果，无需单独求解a、b的具体值，可简化计算。
【解析】
∵ a是方程$x^2 + 2026x - 2 = 0$的根
∴ 把x=a代入方程得：$a^2 + 2026a - 2 = 0$，整理得$a^2 = 2 - 2026a$
将$a^2 = 2 - 2026a$代入$a^2 + 2025a - b$得：
$\begin{aligned}a^2 + 2025a - b&= (2 - 2026a) + 2025a - b\\&=2 - a - b\\&=2 - (a + b)\end{aligned}$
又
∵ a、b是方程$x^2 + 2026x - 2 = 0$的两个根，根据根与系数的关系，两根之和$a + b = -\frac{2026}{1} = -2026$
∴ 代入得：$2 - (a + b) = 2 - (-2026) = 2 + 2026 = 2028$
【答案】
2028
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题属于一元二次方程根的应用的典型题型，解题关键是灵活运用根的定义实现降次，结合根与系数的关系整体代入计算，避免了求解方程根的繁琐过程，能够很好地考察学生对相关知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
8.已知$m$，$n$是关于$x$的方程$x^2+3x+c=0$的两个实数根，若$2m+2n - mn = c$，则$c$的值是________.
答案
8.$-3$
解析
【分析】
看到题目中出现一元二次方程的两个实数根，首先联想到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和、两根之积关于参数c的表达式；再将所求的表达式代入题干给出的等量关系，即可得到只含c的一元一次方程，求解后验证判别式确保方程确实有两个实根，就能得到最终结果。
【解析】
∵$m$，$n$是关于$x$的方程$x^2+3x+c=0$的两个实数根
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$m+n=-\frac{3}{1}=-3$，$mn=\frac{c}{1}=c$
将$2m+2n$整理为$2(m+n)$，代入等式$2m+2n - mn = c$得：
$2×(-3) - c = c$
计算得：$-6 - c = c$
移项合并同类项得：$2c=-6$
解得：$c=-3$
验证：当$c=-3$时，方程的判别式$\Delta=3^2-4×1× c=9+12=21＞0$，符合方程有两个实数根的前提，故$c=-3$有效。
【答案】
$-3$
【知识点】
根与系数的关系，解一元一次方程，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题，解题核心是熟练掌握韦达定理的公式，代入求解后记得验证判别式，避免出现不符合实根条件的增根。
【难度系数】
0.7
看到题目中出现一元二次方程的两个实数根，首先联想到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和、两根之积关于参数c的表达式；再将所求的表达式代入题干给出的等量关系，即可得到只含c的一元一次方程，求解后验证判别式确保方程确实有两个实根，就能得到最终结果。
【解析】
∵$m$，$n$是关于$x$的方程$x^2+3x+c=0$的两个实数根
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$m+n=-\frac{3}{1}=-3$，$mn=\frac{c}{1}=c$
将$2m+2n$整理为$2(m+n)$，代入等式$2m+2n - mn = c$得：
$2×(-3) - c = c$
计算得：$-6 - c = c$
移项合并同类项得：$2c=-6$
解得：$c=-3$
验证：当$c=-3$时，方程的判别式$\Delta=3^2-4×1× c=9+12=21＞0$，符合方程有两个实数根的前提，故$c=-3$有效。
【答案】
$-3$
【知识点】
根与系数的关系，解一元一次方程，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题，解题核心是熟练掌握韦达定理的公式，代入求解后记得验证判别式，避免出现不符合实根条件的增根。
【难度系数】
0.7
