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9.若 $ x_1, x_2 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + bx - 2b = 0 $ 的两个根，且 $ x_1^2 + x_2^2 = 12 $，求 $ b $ 的值.
答案
9.$\because x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2+bx-2b=0$的两个根,$\therefore \Delta=b^2-4×(-2b)=b^2+8b\ge0$.
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-b)^2-2(-2b)=12$,解得$b=2$或$-6$.
当$b=2$时,$\Delta=b^2+8b=2^2+8×2=20＞0$,满足题意；
当$b=-6$时,$\Delta=b^2+8b=(-6)^2+8×(-6)=-12＜0$,不满足题意.
$\therefore b=2$.
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-b)^2-2(-2b)=12$,解得$b=2$或$-6$.
当$b=2$时,$\Delta=b^2+8b=2^2+8×2=20＞0$,满足题意；
当$b=-6$时,$\Delta=b^2+8b=(-6)^2+8×(-6)=-12＜0$,不满足题意.
$\therefore b=2$.
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）和根的判别式的相关知识：第一步，利用韦达定理写出两根之和、两根之积与方程系数的关系；第二步，将已知的$x_1^2+x_2^2$用完全平方公式变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入系数关系列出关于$b$的方程，求解得到$b$的候选值；第三步，因为方程有两个根的前提是判别式$\Delta≥0$，所以需要将候选的$b$代入判别式检验，舍去不符合条件的值，最终得到正确的$b$。
【解析】
解：
∵$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 + bx - 2b = 0$的两个根，
∴方程有实根需满足判别式$\Delta = b^2 - 4×1×(-2b) = b^2 + 8b ≥ 0$，
由韦达定理可得：$x_1 + x_2 = -b$，$x_1x_2 = -2b$，
对$x_1^2 + x_2^2$变形得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入已知条件$x_1^2 + x_2^2 =12$可得：
$(-b)^2 - 2×(-2b) = 12$，
整理得：$b^2 + 4b -12 = 0$，
因式分解得：$(b + 6)(b - 2) = 0$，
解得：$b = 2$或$b = -6$。
接下来检验判别式：
当$b=2$时，$\Delta = 2^2 + 8×2 = 4 + 16 = 20 ＞ 0$，符合题意；
当$b=-6$时，$\Delta = (-6)^2 + 8×(-6) = 36 - 48 = -12 ＜ 0$，此时方程无实根，不符合题意，舍去。
综上，$b$的值为2。
【答案】
$b=2$
【知识点】
韦达定理，完全平方公式变形，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根的相关计算的常考题型，解题的关键是熟练掌握韦达定理的应用，同时要注意韦达定理的适用前提是方程存在实数根，因此求出参数的候选值后必须代入判别式验证，避免出现增根的错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）和根的判别式的相关知识：第一步，利用韦达定理写出两根之和、两根之积与方程系数的关系；第二步，将已知的$x_1^2+x_2^2$用完全平方公式变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入系数关系列出关于$b$的方程，求解得到$b$的候选值；第三步，因为方程有两个根的前提是判别式$\Delta≥0$，所以需要将候选的$b$代入判别式检验，舍去不符合条件的值，最终得到正确的$b$。
【解析】
解：
∵$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 + bx - 2b = 0$的两个根，
∴方程有实根需满足判别式$\Delta = b^2 - 4×1×(-2b) = b^2 + 8b ≥ 0$，
由韦达定理可得：$x_1 + x_2 = -b$，$x_1x_2 = -2b$，
对$x_1^2 + x_2^2$变形得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入已知条件$x_1^2 + x_2^2 =12$可得：
$(-b)^2 - 2×(-2b) = 12$，
整理得：$b^2 + 4b -12 = 0$，
因式分解得：$(b + 6)(b - 2) = 0$，
解得：$b = 2$或$b = -6$。
接下来检验判别式：
当$b=2$时，$\Delta = 2^2 + 8×2 = 4 + 16 = 20 ＞ 0$，符合题意；
当$b=-6$时，$\Delta = (-6)^2 + 8×(-6) = 36 - 48 = -12 ＜ 0$，此时方程无实根，不符合题意，舍去。
综上，$b$的值为2。
【答案】
$b=2$
【知识点】
韦达定理，完全平方公式变形，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根的相关计算的常考题型，解题的关键是熟练掌握韦达定理的应用，同时要注意韦达定理的适用前提是方程存在实数根，因此求出参数的候选值后必须代入判别式验证，避免出现增根的错误。
【难度系数】
0.6
10.若实数 $ m,n(m≠n) $ 满足 $ m^2 - m -1=0,n^2 -n -1=0 $，则 $ m,n $ 是方程 $ x^2 -x -1=0 $ 的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知 $ m+n=1,mn=-1 $。
根据上述材料，解决以下问题。
(1)已知实数 $ a,b $ 满足 $ a^2 -5a +1=0,b^2 -5b +1=0 $，且 $ a≠b $，则 $ a+b $ 的值为 ______，$ ab $ 的值为 ______。
(2)已知实数 $ m,n $ 满足 $ 2m^2 -7m +1=0,n^2 -7n +2=0 $，且 $ mn≠1 $，求 $ \frac{2mn +2}{mn +3n +1} $ 的值。
根据上述材料，解决以下问题。
(1)已知实数 $ a,b $ 满足 $ a^2 -5a +1=0,b^2 -5b +1=0 $，且 $ a≠b $，则 $ a+b $ 的值为 ______，$ ab $ 的值为 ______。
(2)已知实数 $ m,n $ 满足 $ 2m^2 -7m +1=0,n^2 -7n +2=0 $，且 $ mn≠1 $，求 $ \frac{2mn +2}{mn +3n +1} $ 的值。
答案
10.(1)$5$ $1$
(2)$n^2-7n+2=0$,两边同除以$n^2$,得$\frac{2}{n^2}-\frac{7}{n}+1=0$,即$2(\frac{1}{n})^2-7(\frac{1}{n})+1=0$,
$\because 2m^2-7m+1=0$且$mn\ne1$,$\therefore m$与$\frac{1}{n}$为方程$2x^2-7x+1=0$的两个不相等的实数根,
$\therefore m+\frac{1}{n}=\frac{7}{2}$,$\therefore mn=\frac{7}{2}n-1$,$\therefore \frac{2mn+2}{mn+3n+1}=\frac{7n-2+2}{\frac{7}{2}n-1+3n+1}=\frac{14}{13}$.
(2)$n^2-7n+2=0$,两边同除以$n^2$,得$\frac{2}{n^2}-\frac{7}{n}+1=0$,即$2(\frac{1}{n})^2-7(\frac{1}{n})+1=0$,
$\because 2m^2-7m+1=0$且$mn\ne1$,$\therefore m$与$\frac{1}{n}$为方程$2x^2-7x+1=0$的两个不相等的实数根,
$\therefore m+\frac{1}{n}=\frac{7}{2}$,$\therefore mn=\frac{7}{2}n-1$,$\therefore \frac{2mn+2}{mn+3n+1}=\frac{7n-2+2}{\frac{7}{2}n-1+3n+1}=\frac{14}{13}$.
解析
【分析】
(1) 观察已知条件，a和b满足的方程形式完全相同，且a≠b，类比题目给出的材料，可知a、b是一元二次方程$x^2-5x+1=0$的两个不相等的实数根，直接利用根与系数的关系即可求出$a+b$和$ab$的值。
(2) 已知的两个方程系数不一致，无法直接判断m和n是同一个方程的根，结合条件$mn≠1$即$m≠\frac{1}{n}$，对关于n的方程变形：给$n^2-7n+2=0$两边同时除以$n^2$（n显然不为0，否则代入方程得2=0矛盾），整理后可得到和关于m的方程形式完全相同的式子，即可判定m和$\frac{1}{n}$是方程$2x^2-7x+1=0$的两个不等实根，再用根与系数的关系求出m与$\frac{1}{n}$的和，变形得到mn的表达式，代入所求分式化简即可得到结果。
【解析】
(1)
∵实数a,b满足$a^2-5a+1=0,b^2-5b+1=0$，且$a≠b$，
∴a、b是一元二次方程$x^2-5x+1=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系得：$a+b=-\frac{-5}{1}=5$，$ab=\frac{1}{1}=1$。
(2) 由题意可知$n≠0$，将$n^2-7n+2=0$两边同时除以$n^2$，得：
$2·(\frac{1}{n})^2 - 7·(\frac{1}{n}) + 1 = 0$，
又
∵$2m^2 -7m +1=0$，且$mn≠1$即$m≠\frac{1}{n}$，
∴m和$\frac{1}{n}$是一元二次方程$2x^2 -7x +1=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系得：$m + \frac{1}{n} = \frac{7}{2}$，
等式两边同乘n得：$mn + 1 = \frac{7n}{2}$，即$mn = \frac{7n}{2} -1$，
将$mn = \frac{7n}{2} -1$代入所求分式：
$\frac{2mn + 2}{mn + 3n + 1} = \frac{2·(\frac{7n}{2} -1) + 2}{(\frac{7n}{2} -1) + 3n + 1}$
$=\frac{7n - 2 + 2}{\frac{7n}{2} + 3n}$
$=\frac{7n}{\frac{13n}{2}}=\frac{14}{13}$。
【答案】
(1) $5$；$1$
(2) $\frac{14}{13}$
【知识点】
根与系数的关系，一元二次方程的根的定义，分式化简求值
【点评】
本题以材料阅读的形式考查代数知识的迁移应用能力，解题关键是灵活运用一元二次方程根的定义构造同系数方程，结合根与系数的关系得到变量间的关系，再代入化简求解，能很好地考查学生的逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 观察已知条件，a和b满足的方程形式完全相同，且a≠b，类比题目给出的材料，可知a、b是一元二次方程$x^2-5x+1=0$的两个不相等的实数根，直接利用根与系数的关系即可求出$a+b$和$ab$的值。
(2) 已知的两个方程系数不一致，无法直接判断m和n是同一个方程的根，结合条件$mn≠1$即$m≠\frac{1}{n}$，对关于n的方程变形：给$n^2-7n+2=0$两边同时除以$n^2$（n显然不为0，否则代入方程得2=0矛盾），整理后可得到和关于m的方程形式完全相同的式子，即可判定m和$\frac{1}{n}$是方程$2x^2-7x+1=0$的两个不等实根，再用根与系数的关系求出m与$\frac{1}{n}$的和，变形得到mn的表达式，代入所求分式化简即可得到结果。
【解析】
(1)
∵实数a,b满足$a^2-5a+1=0,b^2-5b+1=0$，且$a≠b$，
∴a、b是一元二次方程$x^2-5x+1=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系得：$a+b=-\frac{-5}{1}=5$，$ab=\frac{1}{1}=1$。
(2) 由题意可知$n≠0$，将$n^2-7n+2=0$两边同时除以$n^2$，得：
$2·(\frac{1}{n})^2 - 7·(\frac{1}{n}) + 1 = 0$，
又
∵$2m^2 -7m +1=0$，且$mn≠1$即$m≠\frac{1}{n}$，
∴m和$\frac{1}{n}$是一元二次方程$2x^2 -7x +1=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系得：$m + \frac{1}{n} = \frac{7}{2}$，
等式两边同乘n得：$mn + 1 = \frac{7n}{2}$，即$mn = \frac{7n}{2} -1$，
将$mn = \frac{7n}{2} -1$代入所求分式：
$\frac{2mn + 2}{mn + 3n + 1} = \frac{2·(\frac{7n}{2} -1) + 2}{(\frac{7n}{2} -1) + 3n + 1}$
$=\frac{7n - 2 + 2}{\frac{7n}{2} + 3n}$
$=\frac{7n}{\frac{13n}{2}}=\frac{14}{13}$。
【答案】
(1) $5$；$1$
(2) $\frac{14}{13}$
【知识点】
根与系数的关系，一元二次方程的根的定义，分式化简求值
【点评】
本题以材料阅读的形式考查代数知识的迁移应用能力，解题关键是灵活运用一元二次方程根的定义构造同系数方程，结合根与系数的关系得到变量间的关系，再代入化简求解，能很好地考查学生的逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
