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9.若 $ x_1, x_2 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + bx - 2b = 0 $ 的两个根，且 $ x_1^2 + x_2^2 = 12 $，求 $ b $ 的值.
答案
9.$\because x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2+bx-2b=0$的两个根,$\therefore \Delta=b^2-4×(-2b)=b^2+8b\ge0$.
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-b)^2-2(-2b)=12$,解得$b=2$或$-6$.
当$b=2$时,$\Delta=b^2+8b=2^2+8×2=20＞0$,满足题意；
当$b=-6$时,$\Delta=b^2+8b=(-6)^2+8×(-6)=-12＜0$,不满足题意.
$\therefore b=2$.
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-b)^2-2(-2b)=12$,解得$b=2$或$-6$.
当$b=2$时,$\Delta=b^2+8b=2^2+8×2=20＞0$,满足题意；
当$b=-6$时,$\Delta=b^2+8b=(-6)^2+8×(-6)=-12＜0$,不满足题意.
$\therefore b=2$.
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路思考：首先，题目明确方程有两个实根，因此首先要满足一元二次方程有实根的前提，即根的判别式Δ≥0；其次，已知两根的平方和，我们可以利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$转化为含有两根之和、两根之积的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），代入对应系数列出关于$b$的方程，求解出$b$的可能值；最后，把求出的$b$值代入判别式验证，舍去不符合$\Delta≥0$的解，即可得到最终的$b$值。
【解析】
$\because x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 + bx - 2b = 0$的两个根，
$\therefore$方程有实根需满足判别式$\Delta=b^2-4×1×(-2b)=b^2+8b\ge0$。
由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=-2b$。
对$x_1^2+x_2^2$变形得：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
代入已知条件$x_1^2+x_2^2=12$，得：
$(-b)^2-2×(-2b)=12$，
整理得$b^2+4b-12=0$，
因式分解得$(b+6)(b-2)=0$，
解得$b=2$或$b=-6$。
验证判别式：
当$b=2$时，$\Delta=2^2+8×2=20＞0$，符合题意；
当$b=-6$时，$\Delta=(-6)^2+8×(-6)=-12＜0$，此时方程无实根，不符合题意，舍去。
$\therefore b=2$。
【答案】
$b=2$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.根与系数的关系
3.完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根的相关性质的基础综合题，主要易错点是求解出$b$的取值后，容易忽略验证根的判别式的符号，导致出现增根，解题时要养成求出参数后回代验证前提条件的习惯。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，可按以下思路思考：首先，题目明确方程有两个实根，因此首先要满足一元二次方程有实根的前提，即根的判别式Δ≥0；其次，已知两根的平方和，我们可以利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$转化为含有两根之和、两根之积的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），代入对应系数列出关于$b$的方程，求解出$b$的可能值；最后，把求出的$b$值代入判别式验证，舍去不符合$\Delta≥0$的解，即可得到最终的$b$值。
【解析】
$\because x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 + bx - 2b = 0$的两个根，
$\therefore$方程有实根需满足判别式$\Delta=b^2-4×1×(-2b)=b^2+8b\ge0$。
由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=-2b$。
对$x_1^2+x_2^2$变形得：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
代入已知条件$x_1^2+x_2^2=12$，得：
$(-b)^2-2×(-2b)=12$，
整理得$b^2+4b-12=0$，
因式分解得$(b+6)(b-2)=0$，
解得$b=2$或$b=-6$。
验证判别式：
当$b=2$时，$\Delta=2^2+8×2=20＞0$，符合题意；
当$b=-6$时，$\Delta=(-6)^2+8×(-6)=-12＜0$，此时方程无实根，不符合题意，舍去。
$\therefore b=2$。
【答案】
$b=2$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.根与系数的关系
3.完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根的相关性质的基础综合题，主要易错点是求解出$b$的取值后，容易忽略验证根的判别式的符号，导致出现增根，解题时要养成求出参数后回代验证前提条件的习惯。
【难度系数】
0.6
10.若实数 $ m,n(m≠n) $ 满足 $ m^2 - m -1=0,n^2 -n -1=0 $，则 $ m,n $ 是方程 $ x^2 -x -1=0 $ 的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知 $ m+n=1,mn=-1 $。
根据上述材料，解决以下问题。
(1)已知实数 $ a,b $ 满足 $ a^2 -5a +1=0,b^2 -5b +1=0 $，且 $ a≠b $，则 $ a+b $ 的值为 ______，$ ab $ 的值为 ______。
(2)已知实数 $ m,n $ 满足 $ 2m^2 -7m +1=0,n^2 -7n +2=0 $，且 $ mn≠1 $，求 $ \frac{2mn +2}{mn +3n +1} $ 的值。
根据上述材料，解决以下问题。
(1)已知实数 $ a,b $ 满足 $ a^2 -5a +1=0,b^2 -5b +1=0 $，且 $ a≠b $，则 $ a+b $ 的值为 ______，$ ab $ 的值为 ______。
(2)已知实数 $ m,n $ 满足 $ 2m^2 -7m +1=0,n^2 -7n +2=0 $，且 $ mn≠1 $，求 $ \frac{2mn +2}{mn +3n +1} $ 的值。
答案
10.(1)$5$ $1$
(2)$n^2-7n+2=0$,两边同除以$n^2$,得$\frac{2}{n^2}-\frac{7}{n}+1=0$,即$2(\frac{1}{n})^2-7(\frac{1}{n})+1=0$,
$\because 2m^2-7m+1=0$且$mn\ne1$,$\therefore m$与$\frac{1}{n}$为方程$2x^2-7x+1=0$的两个不相等的实数根,
$\therefore m+\frac{1}{n}=\frac{7}{2}$,$\therefore mn=\frac{7}{2}n-1$,$\therefore \frac{2mn+2}{mn+3n+1}=\frac{7n-2+2}{\frac{7}{2}n-1+3n+1}=\frac{14}{13}$.
(2)$n^2-7n+2=0$,两边同除以$n^2$,得$\frac{2}{n^2}-\frac{7}{n}+1=0$,即$2(\frac{1}{n})^2-7(\frac{1}{n})+1=0$,
$\because 2m^2-7m+1=0$且$mn\ne1$,$\therefore m$与$\frac{1}{n}$为方程$2x^2-7x+1=0$的两个不相等的实数根,
$\therefore m+\frac{1}{n}=\frac{7}{2}$,$\therefore mn=\frac{7}{2}n-1$,$\therefore \frac{2mn+2}{mn+3n+1}=\frac{7n-2+2}{\frac{7}{2}n-1+3n+1}=\frac{14}{13}$.
解析
【分析】
(1) 已知实数a、b满足的方程形式完全相同，且a≠b，类比题中给出的材料，可判断a、b是一元二次方程$x^2-5x+1=0$的两个不相等的实数根，直接利用根与系数的关系即可求出$a+b$和$ab$的值。
(2) 观察两个已知方程的系数特征，结合$mn≠1$即$m≠\frac{1}{n}$的条件，首先验证$n≠0$，将关于$n$的方程两边同时除以$n^2$，变形为关于$\frac{1}{n}$的一元二次方程，可发现其与关于$m$的方程形式完全一致，因此$m$和$\frac{1}{n}$是方程$2x^2-7x+1=0$的两个不等实根，利用根与系数的关系得到$m+\frac{1}{n}=\frac{7}{2}$，推导得到$mn$与$n$的关系后代入所求分式，化简约分即可得到结果。
【解析】
(1) $\because a≠b$，且$a^2-5a+1=0$，$b^2-5b+1=0$，
$\therefore a$、$b$是一元二次方程$x^2-5x+1=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：$a+b=-\frac{-5}{1}=5$，$ab=\frac{1}{1}=1$。
(2) 首先判断$n≠0$：若$n=0$，代入$n^2-7n+2=0$得$2=0$，显然不成立，故$n≠0$。
将$n^2-7n+2=0$两边同时除以$n^2$，得：
$1 - \frac{7}{n} + \frac{2}{n^2}=0$，整理得$2(\frac{1}{n})^2 - 7(\frac{1}{n}) + 1=0$，
$\because 2m^2-7m+1=0$，且$mn≠1$即$m≠\frac{1}{n}$，
$\therefore m$、$\frac{1}{n}$是一元二次方程$2x^2-7x+1=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：$m + \frac{1}{n} = \frac{7}{2}$，
等式两边同乘$n$得：$mn + 1 = \frac{7}{2}n$，即$mn = \frac{7}{2}n - 1$。
将$mn = \frac{7}{2}n - 1$代入$\frac{2mn + 2}{mn + 3n + 1}$得：
分子：$2×(\frac{7}{2}n - 1) + 2 = 7n - 2 + 2 = 7n$，
分母：$(\frac{7}{2}n - 1) + 3n + 1 = \frac{7}{2}n + 3n = \frac{13}{2}n$，
$\therefore$原式$=\frac{7n}{\frac{13}{2}n} = 7n × \frac{2}{13n} = \frac{14}{13}$（$n≠0$，可约分）。
【答案】
(1) $5$，$1$；(2) $\frac{14}{13}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 分式化简求值
【点评】
本题属于材料阅读类题型，第一问直接考查材料的基础应用，难度较低；第二问需要观察方程特征，通过变形构造同构方程，再结合根与系数的关系代换化简，对知识的迁移应用能力有一定要求，解题的关键是对第二个方程进行合理变形。
【难度系数】
0.6
(1) 已知实数a、b满足的方程形式完全相同，且a≠b，类比题中给出的材料，可判断a、b是一元二次方程$x^2-5x+1=0$的两个不相等的实数根，直接利用根与系数的关系即可求出$a+b$和$ab$的值。
(2) 观察两个已知方程的系数特征，结合$mn≠1$即$m≠\frac{1}{n}$的条件，首先验证$n≠0$，将关于$n$的方程两边同时除以$n^2$，变形为关于$\frac{1}{n}$的一元二次方程，可发现其与关于$m$的方程形式完全一致，因此$m$和$\frac{1}{n}$是方程$2x^2-7x+1=0$的两个不等实根，利用根与系数的关系得到$m+\frac{1}{n}=\frac{7}{2}$，推导得到$mn$与$n$的关系后代入所求分式，化简约分即可得到结果。
【解析】
(1) $\because a≠b$，且$a^2-5a+1=0$，$b^2-5b+1=0$，
$\therefore a$、$b$是一元二次方程$x^2-5x+1=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：$a+b=-\frac{-5}{1}=5$，$ab=\frac{1}{1}=1$。
(2) 首先判断$n≠0$：若$n=0$，代入$n^2-7n+2=0$得$2=0$，显然不成立，故$n≠0$。
将$n^2-7n+2=0$两边同时除以$n^2$，得：
$1 - \frac{7}{n} + \frac{2}{n^2}=0$，整理得$2(\frac{1}{n})^2 - 7(\frac{1}{n}) + 1=0$，
$\because 2m^2-7m+1=0$，且$mn≠1$即$m≠\frac{1}{n}$，
$\therefore m$、$\frac{1}{n}$是一元二次方程$2x^2-7x+1=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：$m + \frac{1}{n} = \frac{7}{2}$，
等式两边同乘$n$得：$mn + 1 = \frac{7}{2}n$，即$mn = \frac{7}{2}n - 1$。
将$mn = \frac{7}{2}n - 1$代入$\frac{2mn + 2}{mn + 3n + 1}$得：
分子：$2×(\frac{7}{2}n - 1) + 2 = 7n - 2 + 2 = 7n$，
分母：$(\frac{7}{2}n - 1) + 3n + 1 = \frac{7}{2}n + 3n = \frac{13}{2}n$，
$\therefore$原式$=\frac{7n}{\frac{13}{2}n} = 7n × \frac{2}{13n} = \frac{14}{13}$（$n≠0$，可约分）。
【答案】
(1) $5$，$1$；(2) $\frac{14}{13}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 分式化简求值
【点评】
本题属于材料阅读类题型，第一问直接考查材料的基础应用，难度较低；第二问需要观察方程特征，通过变形构造同构方程，再结合根与系数的关系代换化简，对知识的迁移应用能力有一定要求，解题的关键是对第二个方程进行合理变形。
【难度系数】
0.6
