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1.已知$a$，$b$是一元二次方程$x^2 - x -5=0$的两个实数根，则$a+b-ab$的值是（
A.4
B.5
C.6
D.7
C
）.A.4
B.5
C.6
D.7
答案
1.C
解析
【分析】
本题已知a、b是给定一元二次方程的两个实数根，求代数式$a+b-ab$的值，无需分别求解a、b的具体数值，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和与两根之积，再整体代入所求代数式计算即可，这种方法能避免解方程的复杂运算，简化计算过程。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x -5=0$，其中二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-5。
根据根与系数的关系，若$a$、$b$是方程的两个实数根，则：
两根之和 $a+b=-\frac{-1}{1}=1$
两根之积 $ab=\frac{-5}{1}=-5$
将上述结果代入$a+b-ab$得：
$a+b-ab=1 - (-5)=1+5=6$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查韦达定理的应用，通过整体代入的思想计算代数式的值，不需要求出方程根的具体数值，能有效简化计算，是对根与系数关系基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题已知a、b是给定一元二次方程的两个实数根，求代数式$a+b-ab$的值，无需分别求解a、b的具体数值，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和与两根之积，再整体代入所求代数式计算即可，这种方法能避免解方程的复杂运算，简化计算过程。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x -5=0$，其中二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-5。
根据根与系数的关系，若$a$、$b$是方程的两个实数根，则：
两根之和 $a+b=-\frac{-1}{1}=1$
两根之积 $ab=\frac{-5}{1}=-5$
将上述结果代入$a+b-ab$得：
$a+b-ab=1 - (-5)=1+5=6$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查韦达定理的应用，通过整体代入的思想计算代数式的值，不需要求出方程根的具体数值，能有效简化计算，是对根与系数关系基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
2.若关于$x$的方程$x^2 - mx -6=0$有一个根为2，则$m$的值是（
A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
B
）.A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
答案
2.B
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解，方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知的根x=2代入原方程，即可得到一个只含参数m的一元一次方程，解这个方程就能求出m的值。
【解析】
已知x=2是方程$x^2 - mx -6=0$的根，将x=2代入原方程，得：
$2^2 - 2m -6 = 0$
计算化简：
$4 - 2m -6 = 0$
$-2m -2 = 0$
移项得：
$-2m = 2$
两边同时除以-2，解得：
$m = -1$
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练运用方程根的性质，将未知参数的求解转化为普通一元一次方程的求解问题，计算量小，易掌握。
【难度系数】
0.8
本题可根据一元二次方程根的定义求解，方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知的根x=2代入原方程，即可得到一个只含参数m的一元一次方程，解这个方程就能求出m的值。
【解析】
已知x=2是方程$x^2 - mx -6=0$的根，将x=2代入原方程，得：
$2^2 - 2m -6 = 0$
计算化简：
$4 - 2m -6 = 0$
$-2m -2 = 0$
移项得：
$-2m = 2$
两边同时除以-2，解得：
$m = -1$
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练运用方程根的性质，将未知参数的求解转化为普通一元一次方程的求解问题，计算量小，易掌握。
【难度系数】
0.8
3.若$x_1+x_2=3,x_1x_2=2$,则下列一元二次方程以$x_1,x_2$为根的是(
A.$x^2-3x+2=0$
B.$x^2+3x-2=0$
C.$x^2+3x+2=0$
D.$x^2-3x-2=0$
A
).A.$x^2-3x+2=0$
B.$x^2+3x-2=0$
C.$x^2+3x+2=0$
D.$x^2-3x-2=0$
答案
3.A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的逆用，解题思路如下：首先明确，若两个数是一元二次方程的两根，当二次项系数为1时，方程可直接表示为“x² - 两根之和·x + 两根之积 = 0”，我们只需将题干给出的两根之和、两根之积代入该公式，即可得到符合要求的方程，再对照选项选出答案即可。
【解析】
对于以$x_1,x_2$为根、二次项系数为1的一元二次方程，其通用形式为：
$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$
已知$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2$，将其代入上式可得：
$x^2 - 3x + 2 = 0$
与选项对比，A选项符合条件。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程的构造
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对根与系数关系的理解和应用，只要熟练掌握已知两根构造一元二次方程的公式，就能快速准确得到答案。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数关系的逆用，解题思路如下：首先明确，若两个数是一元二次方程的两根，当二次项系数为1时，方程可直接表示为“x² - 两根之和·x + 两根之积 = 0”，我们只需将题干给出的两根之和、两根之积代入该公式，即可得到符合要求的方程，再对照选项选出答案即可。
【解析】
对于以$x_1,x_2$为根、二次项系数为1的一元二次方程，其通用形式为：
$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$
已知$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2$，将其代入上式可得：
$x^2 - 3x + 2 = 0$
与选项对比，A选项符合条件。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程的构造
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对根与系数关系的理解和应用，只要熟练掌握已知两根构造一元二次方程的公式，就能快速准确得到答案。
【难度系数】
0.9
4.已知方程$x^2 + mx + 2 = 0$的两个根为$x_1, x_2$，且$\frac{x_1x_2}{x_1 + x_2} = \frac{2}{3}$，则$m$的值是（
A.－2
B.－3
C.2
D.3
B
）。A.－2
B.－3
C.2
D.3
答案
4.B
解析
【分析】
已知一元二次方程的两个根，且给出了两根之积与两根之和的比值，解题时首先运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先分别求出该方程的两根之和、两根之积的含参表达式，再将其代入已知的比值等式，解出参数m后，可通过判别式验证方程有实根，确保结果正确。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + mx + 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=2$。
根据韦达定理，两根之和与两根之积分别为：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -m$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 2$。
将上述结果代入已知条件$\frac{x_1x_2}{x_1 + x_2} = \frac{2}{3}$，可得：
$\frac{2}{-m} = \frac{2}{3}$
交叉相乘得：$2× 3 = 2× (-m)$
化简得：$6 = -2m$，解得$m=-3$。
验证：当$m=-3$时，方程的判别式$\Delta = m^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×2 = 1 ＞ 0$，方程有两个实数根，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
根与系数的关系，分式方程求解，一元二次方程判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的应用，解题时容易出错的地方是记错两根之和的符号，得出结果后可通过判别式验证，避免因忽略根的存在性而出错。
【难度系数】
0.7
已知一元二次方程的两个根，且给出了两根之积与两根之和的比值，解题时首先运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先分别求出该方程的两根之和、两根之积的含参表达式，再将其代入已知的比值等式，解出参数m后，可通过判别式验证方程有实根，确保结果正确。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + mx + 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=2$。
根据韦达定理，两根之和与两根之积分别为：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -m$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 2$。
将上述结果代入已知条件$\frac{x_1x_2}{x_1 + x_2} = \frac{2}{3}$，可得：
$\frac{2}{-m} = \frac{2}{3}$
交叉相乘得：$2× 3 = 2× (-m)$
化简得：$6 = -2m$，解得$m=-3$。
验证：当$m=-3$时，方程的判别式$\Delta = m^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×2 = 1 ＞ 0$，方程有两个实数根，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
根与系数的关系，分式方程求解，一元二次方程判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的应用，解题时容易出错的地方是记错两根之和的符号，得出结果后可通过判别式验证，避免因忽略根的存在性而出错。
【难度系数】
0.7
5.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(m+2)x+2m=0$有两个实数根$x_1,x_2$，并且满足$(x_1-1)(x_2-1)=14$，求$m$的值.
答案
5.$\because \Delta=[-(m+2)]^2-4×2m=(m-2)^2\ge0$,
$\therefore$方程总有两个实数根.根据根与系数的关系得$x_1+x_2=m+2$,$x_1x_2=2m$.
$\because (x_1-1)(x_2-1)=14$,$\therefore x_1x_2-(x_1+x_2)=13$,
$\therefore 2m-m-2=13$,解得$m=15$.
$\therefore$方程总有两个实数根.根据根与系数的关系得$x_1+x_2=m+2$,$x_1x_2=2m$.
$\because (x_1-1)(x_2-1)=14$,$\therefore x_1x_2-(x_1+x_2)=13$,
$\therefore 2m-m-2=13$,解得$m=15$.
解析
【分析】
拿到本题首先明确已知条件：含参数m的一元二次方程有两个实数根，且给出两根的对称关系式，要求m的值。解题思路可分为三步：第一，一元二次方程有实根的前提是判别式Δ≥0，先计算判别式确定m的取值范围；第二，给出的两根关系式是对称式，可用根与系数的关系（韦达定理）表示出两根之和、两根之积；第三，将已知的对称式展开变形，代入两根和、两根积的表达式，得到关于m的方程，求解后再验证是否满足判别式要求即可。
【解析】
首先计算方程的判别式：
$\Delta=[-(m+2)]^2-4×1×2m=m^2+4m+4-8m=(m-2)^2\ge0$，因此该方程总有两个实数根。
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=m+2$，$x_1x_2=2m$。
将已知条件$(x_1-1)(x_2-1)=14$展开整理：
$x_1x_2-x_1-x_2+1=14$，即$x_1x_2-(x_1+x_2)=13$。
把$x_1+x_2=m+2$、$x_1x_2=2m$代入上式：
$2m-(m+2)=13$，
去括号得$2m-m-2=13$，
解得$m=15$，符合判别式$\Delta\ge0$的要求。
【答案】
$m=15$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.根与系数的关系
3.整式化简
【点评】
本题属于一元二次方程根的综合基础题，解题核心是熟练运用根与系数的关系处理两根的对称式，同时要注意先验证方程有实根的前提，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
拿到本题首先明确已知条件：含参数m的一元二次方程有两个实数根，且给出两根的对称关系式，要求m的值。解题思路可分为三步：第一，一元二次方程有实根的前提是判别式Δ≥0，先计算判别式确定m的取值范围；第二，给出的两根关系式是对称式，可用根与系数的关系（韦达定理）表示出两根之和、两根之积；第三，将已知的对称式展开变形，代入两根和、两根积的表达式，得到关于m的方程，求解后再验证是否满足判别式要求即可。
【解析】
首先计算方程的判别式：
$\Delta=[-(m+2)]^2-4×1×2m=m^2+4m+4-8m=(m-2)^2\ge0$，因此该方程总有两个实数根。
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=m+2$，$x_1x_2=2m$。
将已知条件$(x_1-1)(x_2-1)=14$展开整理：
$x_1x_2-x_1-x_2+1=14$，即$x_1x_2-(x_1+x_2)=13$。
把$x_1+x_2=m+2$、$x_1x_2=2m$代入上式：
$2m-(m+2)=13$，
去括号得$2m-m-2=13$，
解得$m=15$，符合判别式$\Delta\ge0$的要求。
【答案】
$m=15$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.根与系数的关系
3.整式化简
【点评】
本题属于一元二次方程根的综合基础题，解题核心是熟练运用根与系数的关系处理两根的对称式，同时要注意先验证方程有实根的前提，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
6.若关于$ x $的一元二次方程$ a(x - m)^2 + n = 0(a ≠ 0) $的两个根分别为$-3,1$，则关于$ x $的方程$ a(x - m - 2)^2 + n = 0 $的两个根分别为(
A.1,5
B.−1,−5
C.−3,1
D.−1,3
D
).A.1,5
B.−1,−5
C.−3,1
D.−1,3
答案
6.D
解析
【分析】
本题可通过观察两个一元二次方程的结构特征，利用换元法求解，无需展开方程计算。首先明确：若两个形式完全相同的一元二次方程相等，则它们的未知数取值相同。第二个方程可变形为$a[(x-2)-m]^2 +n=0$，对比第一个方程$a(x-m)^2 +n=0$，可将$(x-2)$看作第一个方程中的未知数$x$，直接利用第一个方程的根求出第二个方程的根。
【解析】
已知关于$x$的一元二次方程$a(x-m)^2 +n=0$的两个根为$x_1=-3$，$x_2=1$。
将待求方程$a(x - m - 2)^2 +n=0$变形为：$a[(x-2)-m]^2 +n=0$。
令$y=x-2$，则方程变为$a(y - m)^2 +n=0$，该方程与已知方程形式完全相同，因此它的根为$y_1=-3$，$y_2=1$。
分别求解$x$：
当$y=-3$时，$x-2=-3$，解得$x=-1$；
当$y=1$时，$x-2=1$，解得$x=3$。
因此方程$a(x - m - 2)^2 +n=0$的两个根为$-1$和$3$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；换元法解方程
【点评】
本题解题关键是发现两个方程结构的相似性，通过换元将未知方程转化为已知根的方程，避免了复杂的展开计算，体现了整体思想在解方程中的应用。
【难度系数】
0.7
本题可通过观察两个一元二次方程的结构特征，利用换元法求解，无需展开方程计算。首先明确：若两个形式完全相同的一元二次方程相等，则它们的未知数取值相同。第二个方程可变形为$a[(x-2)-m]^2 +n=0$，对比第一个方程$a(x-m)^2 +n=0$，可将$(x-2)$看作第一个方程中的未知数$x$，直接利用第一个方程的根求出第二个方程的根。
【解析】
已知关于$x$的一元二次方程$a(x-m)^2 +n=0$的两个根为$x_1=-3$，$x_2=1$。
将待求方程$a(x - m - 2)^2 +n=0$变形为：$a[(x-2)-m]^2 +n=0$。
令$y=x-2$，则方程变为$a(y - m)^2 +n=0$，该方程与已知方程形式完全相同，因此它的根为$y_1=-3$，$y_2=1$。
分别求解$x$：
当$y=-3$时，$x-2=-3$，解得$x=-1$；
当$y=1$时，$x-2=1$，解得$x=3$。
因此方程$a(x - m - 2)^2 +n=0$的两个根为$-1$和$3$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；换元法解方程
【点评】
本题解题关键是发现两个方程结构的相似性，通过换元将未知方程转化为已知根的方程，避免了复杂的展开计算，体现了整体思想在解方程中的应用。
【难度系数】
0.7
7.已知a和b是方程$x^2 + 2026x - 2 = 0$的两个根，则$a^2 + 2025a - b$的值是
2028
。答案
7.2028
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用一元二次方程根的定义，将根a代入原方程，得到关于a²的表达式，实现将二次项降为一次项的目的；2. 回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出两根之和a+b的值；3. 把a²的表达式代入待求代数式，整理后将a+b整体代入即可算出结果，无需单独求解a、b的具体值，简化计算。
【解析】
∵ a是方程$x^2 + 2026x - 2 = 0$的根
∴ 将x=a代入方程得：$a^2 + 2026a - 2 = 0$，整理得：$a^2 = 2 - 2026a$
∵ a、b是方程$x^2 + 2026x - 2 = 0$的两个根，根据韦达定理，两根之和$a+b = -\frac{2026}{1} = -2026$
将$a^2 = 2 - 2026a$代入待求式：
$a^2 + 2025a - b$
$= (2 - 2026a) + 2025a - b$
$= 2 - a - b$
$= 2 - (a + b)$
把$a+b=-2026$代入上式：
$= 2 - (-2026) = 2 + 2026 = 2028$
【答案】
2028
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根相关的代数式求值类典型题，核心方法是利用根的定义降次、结合韦达定理得到两根关系，再通过整体代入计算，避免了求解根的具体值带来的复杂运算，考查学生的整体代入思想和代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先利用一元二次方程根的定义，将根a代入原方程，得到关于a²的表达式，实现将二次项降为一次项的目的；2. 回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出两根之和a+b的值；3. 把a²的表达式代入待求代数式，整理后将a+b整体代入即可算出结果，无需单独求解a、b的具体值，简化计算。
【解析】
∵ a是方程$x^2 + 2026x - 2 = 0$的根
∴ 将x=a代入方程得：$a^2 + 2026a - 2 = 0$，整理得：$a^2 = 2 - 2026a$
∵ a、b是方程$x^2 + 2026x - 2 = 0$的两个根，根据韦达定理，两根之和$a+b = -\frac{2026}{1} = -2026$
将$a^2 = 2 - 2026a$代入待求式：
$a^2 + 2025a - b$
$= (2 - 2026a) + 2025a - b$
$= 2 - a - b$
$= 2 - (a + b)$
把$a+b=-2026$代入上式：
$= 2 - (-2026) = 2 + 2026 = 2028$
【答案】
2028
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根相关的代数式求值类典型题，核心方法是利用根的定义降次、结合韦达定理得到两根关系，再通过整体代入计算，避免了求解根的具体值带来的复杂运算，考查学生的整体代入思想和代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
8.已知$m$，$n$是关于$x$的方程$x^2+3x+c=0$的两个实数根，若$2m+2n - mn = c$，则$c$的值是________.
答案
8.$-3$
解析
【分析】
已知m、n是一元二次方程的两个实数根，优先运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和$m+n$与两根之积$mn$的表达式，再将已知等式$2m+2n-mn=c$变形，把$m+n$和$mn$整体代入，得到关于$c$的一元一次方程，求解后验证判别式确认方程有实根即可。
【解析】
解：
∵$m$，$n$是关于$x$的方程$x^2+3x+c=0$的两个实数根，
根据根与系数的关系可得：
$m+n=-\frac{3}{1}=-3$，$mn=\frac{c}{1}=c$，
对$2m+2n-mn=c$变形得$2(m+n)-mn=c$，
将$m+n=-3$、$mn=c$代入上式：
$2×(-3)-c=c$，
计算得：$-6 - c = c$，
移项合并同类项得：$2c=-6$，
解得：$c=-3$，
验证：当$c=-3$时，方程判别式$\Delta=3^2-4×1×(-3)=21＞0$，符合方程有两个实根的条件。
【答案】
$-3$
【知识点】
根与系数的关系；解一元一次方程；根的判别式
【点评】
本题侧重考察整体代入思想的运用，核心是熟练掌握韦达定理的公式，求出参数后要注意结合根的判别式验证结果的合理性，避免增根。
【难度系数】
0.7
已知m、n是一元二次方程的两个实数根，优先运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和$m+n$与两根之积$mn$的表达式，再将已知等式$2m+2n-mn=c$变形，把$m+n$和$mn$整体代入，得到关于$c$的一元一次方程，求解后验证判别式确认方程有实根即可。
【解析】
解：
∵$m$，$n$是关于$x$的方程$x^2+3x+c=0$的两个实数根，
根据根与系数的关系可得：
$m+n=-\frac{3}{1}=-3$，$mn=\frac{c}{1}=c$，
对$2m+2n-mn=c$变形得$2(m+n)-mn=c$，
将$m+n=-3$、$mn=c$代入上式：
$2×(-3)-c=c$，
计算得：$-6 - c = c$，
移项合并同类项得：$2c=-6$，
解得：$c=-3$，
验证：当$c=-3$时，方程判别式$\Delta=3^2-4×1×(-3)=21＞0$，符合方程有两个实根的条件。
【答案】
$-3$
【知识点】
根与系数的关系；解一元一次方程；根的判别式
【点评】
本题侧重考察整体代入思想的运用，核心是熟练掌握韦达定理的公式，求出参数后要注意结合根的判别式验证结果的合理性，避免增根。
【难度系数】
0.7
