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9.关于$x$的一元二次方程$x^2-(a+3)x+3a=0$的两根之和为$7-a$，则这个方程的两根之积是
6
。答案
9.6
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。解题思路如下：首先，对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），两根之和为$-\frac{B}{A}$，两根之积为$\frac{C}{A}$。我们先根据韦达定理写出本题方程的两根之和的表达式，再结合题目给出的两根之和为$7-a$，建立关于参数$a$的一元一次方程，解出$a$的值；之后验证判别式确保方程有实数根，最后代入两根之积的表达式即可得到结果。
【解析】
设方程$x^2-(a+3)x+3a=0$的两根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据韦达定理可得：
两根之和 $x_1+x_2 = a+3$，两根之积 $x_1x_2=3a$。
2. 已知两根之和为$7-a$，因此列方程：
$a+3=7-a$
移项合并同类项得：$2a=4$，解得$a=2$。
3. 验证方程有实根：判别式$\Delta = [-(a+3)]^2 - 4×1×3a = (a-3)^2 ≥ 0$，无论$a$取何值方程都有实根，因此$a=2$符合要求。
4. 代入求两根之积：$x_1x_2=3a=3×2=6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程判别式
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题，解题核心是利用两根之和的等量关系求出参数，注意求出参数后验证方程是否有实根是易错点，掌握韦达定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。解题思路如下：首先，对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），两根之和为$-\frac{B}{A}$，两根之积为$\frac{C}{A}$。我们先根据韦达定理写出本题方程的两根之和的表达式，再结合题目给出的两根之和为$7-a$，建立关于参数$a$的一元一次方程，解出$a$的值；之后验证判别式确保方程有实数根，最后代入两根之积的表达式即可得到结果。
【解析】
设方程$x^2-(a+3)x+3a=0$的两根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据韦达定理可得：
两根之和 $x_1+x_2 = a+3$，两根之积 $x_1x_2=3a$。
2. 已知两根之和为$7-a$，因此列方程：
$a+3=7-a$
移项合并同类项得：$2a=4$，解得$a=2$。
3. 验证方程有实根：判别式$\Delta = [-(a+3)]^2 - 4×1×3a = (a-3)^2 ≥ 0$，无论$a$取何值方程都有实根，因此$a=2$符合要求。
4. 代入求两根之积：$x_1x_2=3a=3×2=6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程判别式
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题，解题核心是利用两根之和的等量关系求出参数，注意求出参数后验证方程是否有实根是易错点，掌握韦达定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
10.已知$x_1,x_2$是方程$x^2+3x-6=0$的两个根,求下列代数式的值.
(1) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$.
(2) $x_1^2+x_2^2$.
(3) $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$.
(1) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$.
(2) $x_1^2+x_2^2$.
(3) $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$.
答案
10.由根与系数的关系得$x_1+x_2=-3$,$x_1x_2=-6$.
(1)原式$=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{1}{2}$.
(2)原式$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=21$.
(3)原式$=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=-\frac{7}{2}$.
(1)原式$=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{1}{2}$.
(2)原式$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=21$.
(3)原式$=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=-\frac{7}{2}$.
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程两根求代数式值的问题时，首先不需要直接求解方程的根，可先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，再将所求代数式通过通分、公式变形等方式，转化为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后代入数值计算即可，该方法比直接求根代入计算更简便。
【解析】
对于方程$x^2+3x-6=0$，其中$a=1,b=3,c=-6$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-3$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-6$。
(1) 对代数式通分变形：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$
代入$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=-6$，得原式$=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$。
(2) 利用完全平方公式变形：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
代入数值，得原式$=(-3)^2-2×(-6)=9+12=21$。
(3) 对代数式通分变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}$
将$x_1^2+x_2^2=21$，$x_1x_2=-6$代入，得原式$=\frac{21}{-6}=-\frac{7}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；(2)$21$；(3)$-\frac{7}{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，代数式恒等变形
【点评】
本题核心考查利用根与系数的关系求代数式的值，解题关键是掌握常见代数式的变形技巧，将所求式子转化为两根和、两根积的表达形式，可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
遇到已知一元二次方程两根求代数式值的问题时，首先不需要直接求解方程的根，可先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，再将所求代数式通过通分、公式变形等方式，转化为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后代入数值计算即可，该方法比直接求根代入计算更简便。
【解析】
对于方程$x^2+3x-6=0$，其中$a=1,b=3,c=-6$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-3$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-6$。
(1) 对代数式通分变形：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$
代入$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=-6$，得原式$=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$。
(2) 利用完全平方公式变形：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
代入数值，得原式$=(-3)^2-2×(-6)=9+12=21$。
(3) 对代数式通分变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}$
将$x_1^2+x_2^2=21$，$x_1x_2=-6$代入，得原式$=\frac{21}{-6}=-\frac{7}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；(2)$21$；(3)$-\frac{7}{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，代数式恒等变形
【点评】
本题核心考查利用根与系数的关系求代数式的值，解题关键是掌握常见代数式的变形技巧，将所求式子转化为两根和、两根积的表达形式，可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
11.已知关于$x$的方程$x^2 - (m+4)x + 2m +4 =0$.
(1)求证:方程总有两个实数根.
(2)若方程的一个根比另一个根大3,求$m$的值.
(1)求证:方程总有两个实数根.
(2)若方程的一个根比另一个根大3,求$m$的值.
答案
11.(1)证明:$\because \Delta=[-(m+4)]^2-4×(2m+4)=m^2\ge0$,$\therefore$方程总有两个实数根.
(2)设方程的两根分别为$t,t+3$,根据根与系数的关系得$t+t+3=m+4$,$t(t+3)=2m+4$,
$\therefore m=2t-1=\frac{1}{2}t(t+3)-2$,整理得$t^2-t-2=0$,解得$t_1=-1$,$t_2=2$.
当$t=-1$时,$m=2×(-1)-1=-3$;当$t=2$时,$m=2×2-1=3$.
综上所述,$m$的值为$\pm3$.
(2)设方程的两根分别为$t,t+3$,根据根与系数的关系得$t+t+3=m+4$,$t(t+3)=2m+4$,
$\therefore m=2t-1=\frac{1}{2}t(t+3)-2$,整理得$t^2-t-2=0$,解得$t_1=-1$,$t_2=2$.
当$t=-1$时,$m=2×(-1)-1=-3$;当$t=2$时,$m=2×2-1=3$.
综上所述,$m$的值为$\pm3$.
解析
【分析】
(1)要证明一元二次方程总有两个实数根，核心是验证根的判别式$\Delta ≥ 0$。首先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式公式计算，根据平方的非负性即可证明结论。
(2)已知两根的差为3，可设较小根为$t$，则较大根为$t+3$，再结合根与系数的关系，分别写出两根之和、两根之积与方程系数的关系式，联立两个式子消去$m$，得到关于$t$的一元二次方程，求解$t$后代入即可算出$m$的取值。
【解析】
(1)证明：在方程$x^2 - (m+4)x + 2m +4 =0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(m+4)$，常数项$c=2m+4$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac = [-(m+4)]^2 - 4×(2m+4) = m^2+8m+16 -8m-16 = m^2$，
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$m^2\ge0$，
∴ 方程总有两个实数根。
(2)解：设方程的两根分别为$t$、$t+3$，根据根与系数的关系可得：
$\begin{cases}t+(t+3)=m+4 \\ t(t+3)=2m+4 \end{cases}$，
整理两个式子得：$m=2t-1=\frac{1}{2}t(t+3)-2$，
去分母、移项整理得$t^2-t-2=0$，
因式分解得$(t-2)(t+1)=0$，解得$t_1=-1$，$t_2=2$。
当$t=-1$时，$m=2×(-1)-1=-3$；当$t=2$时，$m=2×2-1=3$。
【答案】
(1) 方程总有两个实数根，证明成立；
(2) $m$的值为$\pm 3$
【知识点】
根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用类题目，第一问直接考查判别式的基础用法，难度较低；第二问需要结合根的数量关系，灵活运用根与系数的关系建立方程求解，侧重对基础公式的掌握和运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1)要证明一元二次方程总有两个实数根，核心是验证根的判别式$\Delta ≥ 0$。首先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式公式计算，根据平方的非负性即可证明结论。
(2)已知两根的差为3，可设较小根为$t$，则较大根为$t+3$，再结合根与系数的关系，分别写出两根之和、两根之积与方程系数的关系式，联立两个式子消去$m$，得到关于$t$的一元二次方程，求解$t$后代入即可算出$m$的取值。
【解析】
(1)证明：在方程$x^2 - (m+4)x + 2m +4 =0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(m+4)$，常数项$c=2m+4$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac = [-(m+4)]^2 - 4×(2m+4) = m^2+8m+16 -8m-16 = m^2$，
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$m^2\ge0$，
∴ 方程总有两个实数根。
(2)解：设方程的两根分别为$t$、$t+3$，根据根与系数的关系可得：
$\begin{cases}t+(t+3)=m+4 \\ t(t+3)=2m+4 \end{cases}$，
整理两个式子得：$m=2t-1=\frac{1}{2}t(t+3)-2$，
去分母、移项整理得$t^2-t-2=0$，
因式分解得$(t-2)(t+1)=0$，解得$t_1=-1$，$t_2=2$。
当$t=-1$时，$m=2×(-1)-1=-3$；当$t=2$时，$m=2×2-1=3$。
【答案】
(1) 方程总有两个实数根，证明成立；
(2) $m$的值为$\pm 3$
【知识点】
根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用类题目，第一问直接考查判别式的基础用法，难度较低；第二问需要结合根的数量关系，灵活运用根与系数的关系建立方程求解，侧重对基础公式的掌握和运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
