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9.关于$x$的一元二次方程$x^2-(a+3)x+3a=0$的两根之和为$7-a$，则这个方程的两根之积是
6
。答案
9.6
解析
【分析】
解题时先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先写出该方程两根之和的表达式，结合题目给出的两根之和为$7-a$的条件列方程求出参数$a$的值，再代入两根之积的表达式即可得到结果，最后验证判别式确认参数取值有效。
【解析】
对于一元二次方程$x^2-(a+3)x+3a=0$，根据韦达定理可得：
两根之和为$x_1+x_2=a+3$，两根之积为$x_1x_2=3a$。
已知两根之和为$7-a$，因此列等式：
$a+3=7-a$
移项合并同类项得$2a=4$，解得$a=2$。
验证判别式：$\Delta=[-(a+3)]^2-4×1×3a=(a-3)^2≥0$，说明无论$a$取何值方程都有两个实数根，$a=2$符合题意。
将$a=2$代入两根之积表达式得：$x_1x_2=3a=3×2=6$。
【答案】
6
【知识点】
韦达定理，解一元一次方程，一元二次方程判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的应用，只要熟练掌握一元二次方程两根和、两根积与系数的对应关系即可顺利求解，求出参数后验证判别式是易错点，需注意。
【难度系数】
0.7
解题时先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先写出该方程两根之和的表达式，结合题目给出的两根之和为$7-a$的条件列方程求出参数$a$的值，再代入两根之积的表达式即可得到结果，最后验证判别式确认参数取值有效。
【解析】
对于一元二次方程$x^2-(a+3)x+3a=0$，根据韦达定理可得：
两根之和为$x_1+x_2=a+3$，两根之积为$x_1x_2=3a$。
已知两根之和为$7-a$，因此列等式：
$a+3=7-a$
移项合并同类项得$2a=4$，解得$a=2$。
验证判别式：$\Delta=[-(a+3)]^2-4×1×3a=(a-3)^2≥0$，说明无论$a$取何值方程都有两个实数根，$a=2$符合题意。
将$a=2$代入两根之积表达式得：$x_1x_2=3a=3×2=6$。
【答案】
6
【知识点】
韦达定理，解一元一次方程，一元二次方程判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的应用，只要熟练掌握一元二次方程两根和、两根积与系数的对应关系即可顺利求解，求出参数后验证判别式是易错点，需注意。
【难度系数】
0.7
10.已知$x_1,x_2$是方程$x^2+3x-6=0$的两个根,求下列代数式的值.
(1) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$.
(2) $x_1^2+x_2^2$.
(3) $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$.
(1) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$.
(2) $x_1^2+x_2^2$.
(3) $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$.
答案
10.由根与系数的关系得$x_1+x_2=-3$,$x_1x_2=-6$.
(1)原式$=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{1}{2}$.
(2)原式$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=21$.
(3)原式$=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=-\frac{7}{2}$.
(1)原式$=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{1}{2}$.
(2)原式$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=21$.
(3)原式$=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=-\frac{7}{2}$.
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系简化计算，无需直接求解方程的根。解题思路如下：第一步，先根据一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根与系数关系，得出两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入系数算出本题的$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值；第二步，将三个待求的代数式分别通过通分、完全平方公式变形等方式，转化为只含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第三步，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
对于方程$x^2+3x-6=0$，其中$a=1,b=3,c=-6$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-3$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-6$。
(1) 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：
原式$=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$。
(2) 根据完全平方公式$(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$，变形得：
原式$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-3)^2-2×(-6)=9+12=21$。
(3) 对$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$通分可得：
原式$=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}$，代入(2)中求出的$x_1^2+x_2^2=21$，得：
原式$=\frac{21}{-6}=-\frac{7}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；(2)$21$；(3)$-\frac{7}{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式；分式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，核心是掌握代数式的恒等变形技巧，将所求代数式转化为用两根和、两根积表示的形式，可大幅降低计算量，解题时要注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.75
本题可利用一元二次方程根与系数的关系简化计算，无需直接求解方程的根。解题思路如下：第一步，先根据一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根与系数关系，得出两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入系数算出本题的$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值；第二步，将三个待求的代数式分别通过通分、完全平方公式变形等方式，转化为只含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第三步，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
对于方程$x^2+3x-6=0$，其中$a=1,b=3,c=-6$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-3$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-6$。
(1) 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：
原式$=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$。
(2) 根据完全平方公式$(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$，变形得：
原式$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-3)^2-2×(-6)=9+12=21$。
(3) 对$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$通分可得：
原式$=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}$，代入(2)中求出的$x_1^2+x_2^2=21$，得：
原式$=\frac{21}{-6}=-\frac{7}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；(2)$21$；(3)$-\frac{7}{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式；分式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，核心是掌握代数式的恒等变形技巧，将所求代数式转化为用两根和、两根积表示的形式，可大幅降低计算量，解题时要注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.75
11.已知关于$x$的方程$x^2 - (m+4)x + 2m +4 =0$.
(1)求证:方程总有两个实数根.
(2)若方程的一个根比另一个根大3,求$m$的值.
(1)求证:方程总有两个实数根.
(2)若方程的一个根比另一个根大3,求$m$的值.
答案
11.(1)证明:$\because \Delta=[-(m+4)]^2-4×(2m+4)=m^2\ge0$,$\therefore$方程总有两个实数根.
(2)设方程的两根分别为$t,t+3$,根据根与系数的关系得$t+t+3=m+4$,$t(t+3)=2m+4$,
$\therefore m=2t-1=\frac{1}{2}t(t+3)-2$,整理得$t^2-t-2=0$,解得$t_1=-1$,$t_2=2$.
当$t=-1$时,$m=2×(-1)-1=-3$;当$t=2$时,$m=2×2-1=3$.
综上所述,$m$的值为$\pm3$.
(2)设方程的两根分别为$t,t+3$,根据根与系数的关系得$t+t+3=m+4$,$t(t+3)=2m+4$,
$\therefore m=2t-1=\frac{1}{2}t(t+3)-2$,整理得$t^2-t-2=0$,解得$t_1=-1$,$t_2=2$.
当$t=-1$时,$m=2×(-1)-1=-3$;当$t=2$时,$m=2×2-1=3$.
综上所述,$m$的值为$\pm3$.
解析
【分析】
(1)要证明一元二次方程总有两个实数根，核心是证明根的判别式$\Delta \ge 0$，先根据方程写出判别式的表达式，再化简判断其取值范围即可。(2)已知两根相差3，可设两根分别为$t$和$t+3$，再结合一元二次方程根与系数的关系，分别列出两根之和、两根之积的关系式，联立消去参数$t$即可求解$m$，注意验证解的合理性。
【解析】
(1)证明：对于方程$x^2 - (m+4)x + 2m +4 =0$，其根的判别式为：
$\Delta = [-(m+4)]^2 - 4× 1× (2m+4)$
展开化简得：$\Delta = m^2 +8m +16 -8m -16 = m^2$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$m^2 \ge 0$，
∴ 该方程总有两个实数根。
(2)设方程的两根分别为$t$、$t+3$，根据根与系数的关系可得：
$\begin{cases} t+(t+3) = m+4 \\ t(t+3) = 2m+4 \end{cases}$
由第一个式子整理得：$m=2t-1$，将其代入第二个式子：
$t(t+3)=2(2t-1)+4$
整理得$t^2 -t -2=0$，因式分解为$(t-2)(t+1)=0$，解得$t_1=-1$，$t_2=2$。
当$t=-1$时，$m=2× (-1)-1=-3$；
当$t=2$时，$m=2× 2 -1=3$。
经检验，$m=\pm 3$均符合题意。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $m$的值为$\pm 3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，第一问侧重判别式的计算与非负性的应用，第二问需要结合根的数量关系，利用韦达定理建立方程求解，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
(1)要证明一元二次方程总有两个实数根，核心是证明根的判别式$\Delta \ge 0$，先根据方程写出判别式的表达式，再化简判断其取值范围即可。(2)已知两根相差3，可设两根分别为$t$和$t+3$，再结合一元二次方程根与系数的关系，分别列出两根之和、两根之积的关系式，联立消去参数$t$即可求解$m$，注意验证解的合理性。
【解析】
(1)证明：对于方程$x^2 - (m+4)x + 2m +4 =0$，其根的判别式为：
$\Delta = [-(m+4)]^2 - 4× 1× (2m+4)$
展开化简得：$\Delta = m^2 +8m +16 -8m -16 = m^2$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$m^2 \ge 0$，
∴ 该方程总有两个实数根。
(2)设方程的两根分别为$t$、$t+3$，根据根与系数的关系可得：
$\begin{cases} t+(t+3) = m+4 \\ t(t+3) = 2m+4 \end{cases}$
由第一个式子整理得：$m=2t-1$，将其代入第二个式子：
$t(t+3)=2(2t-1)+4$
整理得$t^2 -t -2=0$，因式分解为$(t-2)(t+1)=0$，解得$t_1=-1$，$t_2=2$。
当$t=-1$时，$m=2× (-1)-1=-3$；
当$t=2$时，$m=2× 2 -1=3$。
经检验，$m=\pm 3$均符合题意。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $m$的值为$\pm 3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，第一问侧重判别式的计算与非负性的应用，第二问需要结合根的数量关系，利用韦达定理建立方程求解，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
