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1.某次选拔赛分多组进行，每组内两人之间都只进行一场比赛.若每组有x人，每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为(
A.$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=15$
C.$x(x-1)=15$
D.$x(x+1)=15$
A
).A.$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=15$
C.$x(x-1)=15$
D.$x(x+1)=15$
答案
1.A
解析
【分析】
这是一道单循环比赛列方程的实际应用题，解题思路如下：首先明确单循环比赛的规则：每两人之间只进行1场比赛。第一步，先计算不考虑重复时的总比赛场次：每组有x人，每个人都要和剩下的(x-1)人各赛1场，此时初步计算的总场次为x(x-1)场；第二步，纠正重复计数的问题：因为每场比赛是两个人参与的，刚才的计算里每场比赛都被2个人各统计了1次，也就是实际场次被重复计算了2倍，所以真实的比赛总场次需要除以2；第三步，结合题目给出的每组共15场比赛，即可列出对应的方程。
【解析】
已知每组有x人，每两人之间只进行1场比赛：
1. 每个人需要和除自己外的(x-1)人比赛，若不考虑重复，总场次为$x(x-1)$场；
2. 由于每场比赛会被参赛的2人各统计1次，存在2倍的重复计数，因此实际比赛总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$场；
3. 根据题意每组共进行15场比赛，因此列方程得：$\frac{1}{2}x(x-1)=15$。
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用、单循环计数问题
【点评】
本题属于列方程解实际问题的基础题型，核心易错点是容易忽略单循环比赛中的重复计数问题，忘记除以2，解题时只要理清计数逻辑即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道单循环比赛列方程的实际应用题，解题思路如下：首先明确单循环比赛的规则：每两人之间只进行1场比赛。第一步，先计算不考虑重复时的总比赛场次：每组有x人，每个人都要和剩下的(x-1)人各赛1场，此时初步计算的总场次为x(x-1)场；第二步，纠正重复计数的问题：因为每场比赛是两个人参与的，刚才的计算里每场比赛都被2个人各统计了1次，也就是实际场次被重复计算了2倍，所以真实的比赛总场次需要除以2；第三步，结合题目给出的每组共15场比赛，即可列出对应的方程。
【解析】
已知每组有x人，每两人之间只进行1场比赛：
1. 每个人需要和除自己外的(x-1)人比赛，若不考虑重复，总场次为$x(x-1)$场；
2. 由于每场比赛会被参赛的2人各统计1次，存在2倍的重复计数，因此实际比赛总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$场；
3. 根据题意每组共进行15场比赛，因此列方程得：$\frac{1}{2}x(x-1)=15$。
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用、单循环计数问题
【点评】
本题属于列方程解实际问题的基础题型，核心易错点是容易忽略单循环比赛中的重复计数问题，忘记除以2，解题时只要理清计数逻辑即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.某学校组织一次篮球赛，采取双循环的比赛形式，即每两支球队之间都比赛两场，计划组织$ x $支球队参加，安排12场比赛，则$ x $的值为(
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)。A.3
B.4
C.5
D.6
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先要明确双循环赛制的比赛总场数计算规则：若有x支球队参赛，每支球队需要和其余(x-1)支球队各赛2场，因此总比赛场数为x(x-1)场；再根据题目给出的总场数为12场的条件，列出对应的一元二次方程，求解后结合球队数量为正整数的实际意义，筛选出符合要求的解即可。
【解析】
根据双循环赛制的总场次计算规则，可列方程：
$x(x-1)=12$
整理得一元二次方程：
$x^2 - x -12=0$
因式分解得：
$(x-4)(x+3)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=-3$
由于球队数量x为正整数，因此舍去不符合实际意义的$x=-3$，即$x=4$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 比赛场次问题
【点评】
本题是实际问题列方程求解的基础题型，解题核心是准确理解双循环赛制的计数规则，正确列出方程，同时要注意方程的解需符合实际意义，排除不合要求的解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确双循环赛制的比赛总场数计算规则：若有x支球队参赛，每支球队需要和其余(x-1)支球队各赛2场，因此总比赛场数为x(x-1)场；再根据题目给出的总场数为12场的条件，列出对应的一元二次方程，求解后结合球队数量为正整数的实际意义，筛选出符合要求的解即可。
【解析】
根据双循环赛制的总场次计算规则，可列方程：
$x(x-1)=12$
整理得一元二次方程：
$x^2 - x -12=0$
因式分解得：
$(x-4)(x+3)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=-3$
由于球队数量x为正整数，因此舍去不符合实际意义的$x=-3$，即$x=4$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 比赛场次问题
【点评】
本题是实际问题列方程求解的基础题型，解题核心是准确理解双循环赛制的计数规则，正确列出方程，同时要注意方程的解需符合实际意义，排除不合要求的解。
【难度系数】
0.7
3.快毕业了，九(1)班同学决定互赠一张贺卡留念，全班送出的贺卡总共2256张，如果设这个班有x名学生，则可列方程为(
A.$\frac{x(x-1)}{2}=2256$
B.$x(x-1)=2256$
C.$(x-1)^2=2256$
D.$x(x+1)=2256$
B
).A.$\frac{x(x-1)}{2}=2256$
B.$x(x-1)=2256$
C.$(x-1)^2=2256$
D.$x(x+1)=2256$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先明确互赠贺卡的计数规则：每名学生不需要给自己送贺卡，因此每名学生要送出(x-1)张贺卡；互赠贺卡时，甲送给乙和乙送给甲是2张不同的贺卡，不需要除以2，总贺卡数等于学生人数乘每名学生送出的贺卡数，据此列方程即可。
【解析】
设这个班有x名学生：
1. 每名学生需要给除自己外的其余(x-1)名同学各送1张贺卡，因此每名学生送出(x-1)张贺卡；
2. 全班共有x名学生，且互赠贺卡不存在重复计数的情况，因此总贺卡数为x(x-1)张；
3. 已知全班送出贺卡共2256张，因此可列方程为x(x-1)=2256，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用；互赠问题计数
【点评】
本题重点考察实际问题中的数量关系梳理，解题时要注意区分互赠类问题和握手类问题的计数差异，互赠是双向计数，无需除以2，避免混淆两类问题的计算规则。
【难度系数】
0.8
解题时先明确互赠贺卡的计数规则：每名学生不需要给自己送贺卡，因此每名学生要送出(x-1)张贺卡；互赠贺卡时，甲送给乙和乙送给甲是2张不同的贺卡，不需要除以2，总贺卡数等于学生人数乘每名学生送出的贺卡数，据此列方程即可。
【解析】
设这个班有x名学生：
1. 每名学生需要给除自己外的其余(x-1)名同学各送1张贺卡，因此每名学生送出(x-1)张贺卡；
2. 全班共有x名学生，且互赠贺卡不存在重复计数的情况，因此总贺卡数为x(x-1)张；
3. 已知全班送出贺卡共2256张，因此可列方程为x(x-1)=2256，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用；互赠问题计数
【点评】
本题重点考察实际问题中的数量关系梳理，解题时要注意区分互赠类问题和握手类问题的计数差异，互赠是双向计数，无需除以2，避免混淆两类问题的计算规则。
【难度系数】
0.8
4.一个凸多边形共有20条对角线,则这个多边形的边数是(
A.6
B.7
C.8
D.9
C
).A.6
B.7
C.8
D.9
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先回忆凸多边形对角线数量和边数的对应关系：先设多边形边数为n，n边形每个顶点可引出除自身及相邻2个顶点外的(n-3)条对角线，每条对角线对应2个顶点，因此总对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$；再根据题目给出的20条对角线的条件列一元二次方程，求解后结合边数为正整数的实际要求取舍根，就能得到边数。
【解析】
解：设这个凸多边形的边数为$n$。
根据凸多边形对角线总数公式，可得：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
去分母整理得一元二次方程：$n^2-3n-40=0$
因式分解得：$(n-8)(n+5)=0$
解得：$n_1=8$，$n_2=-5$
∵多边形边数必须为正整数，
∴$n=-5$不符合题意，舍去。
因此这个多边形的边数是8，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
多边形对角线公式、一元二次方程的实际应用、一元二次方程的求解
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查多边形对角线公式的记忆与一元二次方程的实际应用，解题关键是牢记对角线计算公式，解出方程根后注意结合实际意义舍去不符合要求的根即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆凸多边形对角线数量和边数的对应关系：先设多边形边数为n，n边形每个顶点可引出除自身及相邻2个顶点外的(n-3)条对角线，每条对角线对应2个顶点，因此总对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$；再根据题目给出的20条对角线的条件列一元二次方程，求解后结合边数为正整数的实际要求取舍根，就能得到边数。
【解析】
解：设这个凸多边形的边数为$n$。
根据凸多边形对角线总数公式，可得：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
去分母整理得一元二次方程：$n^2-3n-40=0$
因式分解得：$(n-8)(n+5)=0$
解得：$n_1=8$，$n_2=-5$
∵多边形边数必须为正整数，
∴$n=-5$不符合题意，舍去。
因此这个多边形的边数是8，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
多边形对角线公式、一元二次方程的实际应用、一元二次方程的求解
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查多边形对角线公式的记忆与一元二次方程的实际应用，解题关键是牢记对角线计算公式，解出方程根后注意结合实际意义舍去不符合要求的根即可。
【难度系数】
0.7
5.在一次商品交易会上，每两家公司之间都签订了两份合同，所有公司共签订了380份合同.共有多少家公司参加这次商品交易会？
答案
5.设有 x 家公司参加了这次交易会,根据题意得 $x(x-1)=380$,即 $x^2-x-380=0$,
解得 $x_1=20$,$x_2=-19$(不符合题意,舍去),$\therefore$共有 20 家公司参加这次商品交易会.
解得 $x_1=20$,$x_2=-19$(不符合题意,舍去),$\therefore$共有 20 家公司参加这次商品交易会.
解析
【分析】
这是一道一元二次方程的实际应用类问题，解题思路如下：1. 先设参加交易会的公司数量为未知数x；2. 分析合同总数的计算逻辑：每两家公司之间签订2份合同，若按每家公司与其余(x-1)家公司签合同计算，总计数为x(x-1)份，刚好对应每两家签2份的规则（若每两家签1份则需除以2，本题签2份刚好抵消重复计数的除以2操作）；3. 根据总合同数为380列方程求解；4. 结合实际意义舍去不符合要求的负根，得到最终结果。
【解析】
解：设共有x家公司参加这次商品交易会。
根据每两家公司之间签订两份合同，总合同数为380份，可列方程：
$x(x-1)=380$
整理得：$x^2 - x - 380 = 0$
因式分解得：$(x-20)(x+19)=0$
解得：$x_1=20$，$x_2=-19$
由于公司数量不能为负数，因此$x_2=-19$不符合题意，舍去。
【答案】
共有20家公司参加这次商品交易会。
【知识点】
一元二次方程应用、计数问题建模、一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程实际应用中的经典计数类题型，解题关键是理清两两之间的计数规则，建立正确的方程模型，同时要注意结合实际场景对方程的根进行取舍，考察学生的数学建模能力和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程的实际应用类问题，解题思路如下：1. 先设参加交易会的公司数量为未知数x；2. 分析合同总数的计算逻辑：每两家公司之间签订2份合同，若按每家公司与其余(x-1)家公司签合同计算，总计数为x(x-1)份，刚好对应每两家签2份的规则（若每两家签1份则需除以2，本题签2份刚好抵消重复计数的除以2操作）；3. 根据总合同数为380列方程求解；4. 结合实际意义舍去不符合要求的负根，得到最终结果。
【解析】
解：设共有x家公司参加这次商品交易会。
根据每两家公司之间签订两份合同，总合同数为380份，可列方程：
$x(x-1)=380$
整理得：$x^2 - x - 380 = 0$
因式分解得：$(x-20)(x+19)=0$
解得：$x_1=20$，$x_2=-19$
由于公司数量不能为负数，因此$x_2=-19$不符合题意，舍去。
【答案】
共有20家公司参加这次商品交易会。
【知识点】
一元二次方程应用、计数问题建模、一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程实际应用中的经典计数类题型，解题关键是理清两两之间的计数规则，建立正确的方程模型，同时要注意结合实际场景对方程的根进行取舍，考察学生的数学建模能力和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.7
6.中秋节期间,某群内的每个人都发了一次红包,并保证群内其他人都能抢到一个红包且自己不能抢自己发的红包.若此次抢红包活动群内所有人共收到132个红包,则该群一共有(
A.9人
B.10人
C.11人
D.12人
D
).A.9人
B.10人
C.11人
D.12人
答案
6.D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确红包总数的计算逻辑：群内每人都要给除自己外的其他所有人发1个红包，因此每人发出的红包数等于总人数减1，总红包数等于总人数乘以每人发出的红包数。我们可以设群内总人数为未知数，根据总红包数为132的等量关系列一元二次方程求解，最后结合人数为正整数的实际意义舍去不合理解即可。
【解析】
设该群一共有$ x $人。
由题意可知，每个人需向除自己外的$ x-1 $人各发1个红包，因此总红包数为$ x(x-1) $个，根据总收到红包数为132可列方程：
$x(x-1)=132$
整理得：
$x^2 - x - 132 = 0$
因式分解得：
$(x-12)(x+11)=0$
解得$ x_1=12 $，$ x_2=-11 $。
因为人数不能为负数，故舍去$ x_2=-11 $，即该群一共有12人。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题属于典型的“互赠类”实际应用问题，解题核心是准确理解题意，找准总红包数与人数的等量关系，正确列出方程，同时要注意方程的解必须符合实际生活的意义，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确红包总数的计算逻辑：群内每人都要给除自己外的其他所有人发1个红包，因此每人发出的红包数等于总人数减1，总红包数等于总人数乘以每人发出的红包数。我们可以设群内总人数为未知数，根据总红包数为132的等量关系列一元二次方程求解，最后结合人数为正整数的实际意义舍去不合理解即可。
【解析】
设该群一共有$ x $人。
由题意可知，每个人需向除自己外的$ x-1 $人各发1个红包，因此总红包数为$ x(x-1) $个，根据总收到红包数为132可列方程：
$x(x-1)=132$
整理得：
$x^2 - x - 132 = 0$
因式分解得：
$(x-12)(x+11)=0$
解得$ x_1=12 $，$ x_2=-11 $。
因为人数不能为负数，故舍去$ x_2=-11 $，即该群一共有12人。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题属于典型的“互赠类”实际应用问题，解题核心是准确理解题意，找准总红包数与人数的等量关系，正确列出方程，同时要注意方程的解必须符合实际生活的意义，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
7.《九章算术》有一道题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让.礼毕，共揖十五次.问诸侯几何？”
诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，则诸侯有
诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，则诸侯有
6
个人.答案
7.6
解析
【分析】
首先明确“两两揖让”的规则：任意两个诸侯之间仅行礼1次，属于单循环计数问题。解题时可先设诸侯人数为x，每个诸侯需要和除自身外的(x-1)个诸侯行礼，若直接计算x(x-1)会将每一次行礼重复计算2次，因此实际总行礼次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，再结合总行礼次数为15列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
解：设诸侯有$x$个人。
由“每两人相互行礼1次”可得，总行礼次数的表达式为$\frac{1}{2}x(x-1)$，已知总行礼次数为15，列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理得：$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
因为人数不能为负数，故舍去$x=-5$，所以$x=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环计数问题
【点评】
本题以古代数学典籍中的问题为载体，考查了用方程思想解决实际计数问题的能力，解题核心是准确理解两两互动的计数规则，避免重复计数，同时要注意对求解结果进行实际意义的检验。
【难度系数】
0.7
首先明确“两两揖让”的规则：任意两个诸侯之间仅行礼1次，属于单循环计数问题。解题时可先设诸侯人数为x，每个诸侯需要和除自身外的(x-1)个诸侯行礼，若直接计算x(x-1)会将每一次行礼重复计算2次，因此实际总行礼次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，再结合总行礼次数为15列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
解：设诸侯有$x$个人。
由“每两人相互行礼1次”可得，总行礼次数的表达式为$\frac{1}{2}x(x-1)$，已知总行礼次数为15，列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理得：$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
因为人数不能为负数，故舍去$x=-5$，所以$x=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环计数问题
【点评】
本题以古代数学典籍中的问题为载体，考查了用方程思想解决实际计数问题的能力，解题核心是准确理解两两互动的计数规则，避免重复计数，同时要注意对求解结果进行实际意义的检验。
【难度系数】
0.7
8.小明将收到的一条短信转发给若干好友，每个收到短信的人又给相同数量的互不相同的好友转发了这条短信，此时收到这条短信的共有157人，则小明给
12
人发了短信。答案
8.12
解析
【分析】
本题属于传播类的一元二次方程实际应用题，解题思路可按以下步骤展开：①设未知数，设小明给x人发了短信；②分阶段梳理收到短信的人数：最开始小明是首个收到短信的人，共1人；小明转发后，第一轮新增x个收到短信的人；第一轮收到短信的x人每人再转发给x个互不相同的人，第二轮新增x²个收到短信的人；③总收到短信的人数为三部分之和，据此列一元二次方程求解，最后结合人数为正的实际要求舍去负根即可。
【解析】
解：设小明给x人发了短信。
根据总收到短信的人数为157人，可列方程：
$1 + x + x^2 = 157$
整理得：$x^2 + x - 156 = 0$
因式分解得：$(x + 13)(x - 12) = 0$
解得：$x_1 = 12$，$x_2 = -13$
因为人数不能为负数，所以$x_2=-13$不符合题意，舍去。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程的实际应用、一元二次方程的求解、实际问题根的取舍
【点评】
本题的解题关键是理清传播各阶段的新增人数，建立正确的方程模型，求解后要注意结合实际意义对得到的根进行检验取舍，是一元二次方程实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
本题属于传播类的一元二次方程实际应用题，解题思路可按以下步骤展开：①设未知数，设小明给x人发了短信；②分阶段梳理收到短信的人数：最开始小明是首个收到短信的人，共1人；小明转发后，第一轮新增x个收到短信的人；第一轮收到短信的x人每人再转发给x个互不相同的人，第二轮新增x²个收到短信的人；③总收到短信的人数为三部分之和，据此列一元二次方程求解，最后结合人数为正的实际要求舍去负根即可。
【解析】
解：设小明给x人发了短信。
根据总收到短信的人数为157人，可列方程：
$1 + x + x^2 = 157$
整理得：$x^2 + x - 156 = 0$
因式分解得：$(x + 13)(x - 12) = 0$
解得：$x_1 = 12$，$x_2 = -13$
因为人数不能为负数，所以$x_2=-13$不符合题意，舍去。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程的实际应用、一元二次方程的求解、实际问题根的取舍
【点评】
本题的解题关键是理清传播各阶段的新增人数，建立正确的方程模型，求解后要注意结合实际意义对得到的根进行检验取舍，是一元二次方程实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
