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1.某次选拔赛分多组进行，每组内两人之间都只进行一场比赛.若每组有x人，每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为(
A.$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=15$
C.$x(x-1)=15$
D.$x(x+1)=15$
A
).A.$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=15$
C.$x(x-1)=15$
D.$x(x+1)=15$
答案
1.A
解析
【分析】
本题属于单循环比赛的实际应用题，解题思路如下：首先明确每组x人时，每个人需要和除自己外的其余(x-1)人各进行一场比赛；其次要注意，每一场比赛会涉及2名参赛者，若直接用x乘(x-1)会将每一场比赛重复计算1次，因此总场次需要除以2；最后结合题目给出的每组总场次为15场，即可列出对应的方程。
【解析】
已知每组有x人，每两人之间仅进行1场比赛：
1. 不考虑重复计数时，x人共会产生$x(x-1)$次比赛记录（每人参与x-1场，共x人）；
2. 由于每场比赛会被2名参赛者各计数1次，因此实际总场次为总记录数的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}x(x-1)$场；
3. 结合题意每组共需进行15场比赛，可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=15$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
单循环场次计算，一元二次方程实际应用
【点评】
本题是比赛类应用题的基础题型，易错点是忽略场次的重复计数，直接列$x(x-1)=15$错选C，掌握单循环计数的去重逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题属于单循环比赛的实际应用题，解题思路如下：首先明确每组x人时，每个人需要和除自己外的其余(x-1)人各进行一场比赛；其次要注意，每一场比赛会涉及2名参赛者，若直接用x乘(x-1)会将每一场比赛重复计算1次，因此总场次需要除以2；最后结合题目给出的每组总场次为15场，即可列出对应的方程。
【解析】
已知每组有x人，每两人之间仅进行1场比赛：
1. 不考虑重复计数时，x人共会产生$x(x-1)$次比赛记录（每人参与x-1场，共x人）；
2. 由于每场比赛会被2名参赛者各计数1次，因此实际总场次为总记录数的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}x(x-1)$场；
3. 结合题意每组共需进行15场比赛，可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=15$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
单循环场次计算，一元二次方程实际应用
【点评】
本题是比赛类应用题的基础题型，易错点是忽略场次的重复计数，直接列$x(x-1)=15$错选C，掌握单循环计数的去重逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.某学校组织一次篮球赛，采取双循环的比赛形式，即每两支球队之间都比赛两场，计划组织$ x $支球队参加，安排12场比赛，则$ x $的值为(
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)。A.3
B.4
C.5
D.6
答案
2.B
解析
【分析】
首先明确双循环赛制的比赛场数计算规则：每两支球队之间要进行2场比赛，因此x支球队参赛时，总比赛场数等于球队数乘以（球队数-1），无需像单循环一样除以2。接下来根据题目给出的总场数12列出对应的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到x的值。
【解析】
解：双循环赛制中，x支球队的总比赛场数公式为$x(x-1)$（每支球队与其余$x-1$支球队各赛2场，无需除以2避免重复计数）。
根据题意可列方程：
$x(x-1)=12$
整理得：
$x^2 -x -12=0$
因式分解得：
$(x-4)(x+3)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=-3$。
由于球队数量不能为负数，故舍去$x_2=-3$，即$x=4$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用，双循环赛制场数计算，一元二次方程的解法
【点评】
本题是比赛场次类的典型应用题，解题的核心是准确区分单循环、双循环两种赛制的场数计算逻辑，列方程后要注意结合实际情况对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
首先明确双循环赛制的比赛场数计算规则：每两支球队之间要进行2场比赛，因此x支球队参赛时，总比赛场数等于球队数乘以（球队数-1），无需像单循环一样除以2。接下来根据题目给出的总场数12列出对应的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到x的值。
【解析】
解：双循环赛制中，x支球队的总比赛场数公式为$x(x-1)$（每支球队与其余$x-1$支球队各赛2场，无需除以2避免重复计数）。
根据题意可列方程：
$x(x-1)=12$
整理得：
$x^2 -x -12=0$
因式分解得：
$(x-4)(x+3)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=-3$。
由于球队数量不能为负数，故舍去$x_2=-3$，即$x=4$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用，双循环赛制场数计算，一元二次方程的解法
【点评】
本题是比赛场次类的典型应用题，解题的核心是准确区分单循环、双循环两种赛制的场数计算逻辑，列方程后要注意结合实际情况对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
3.快毕业了，九(1)班同学决定互赠一张贺卡留念，全班送出的贺卡总共2256张，如果设这个班有x名学生，则可列方程为(
A.$\frac{x(x-1)}{2}=2256$
B.$x(x-1)=2256$
C.$(x-1)^2=2256$
D.$x(x+1)=2256$
B
).A.$\frac{x(x-1)}{2}=2256$
B.$x(x-1)=2256$
C.$(x-1)^2=2256$
D.$x(x+1)=2256$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先要明确互赠贺卡的计数规则：每名同学不需要给自己送贺卡，因此每人要向其余(x-1)名同学各送1张；且互赠贺卡时，甲送给乙和乙送给甲是两张独立的贺卡，不存在重复计数，不需要除以2。先求出单人送出的贺卡数量，再乘以总人数即可得到全班送出的总贺卡数，结合已知的总贺卡数量就能列出对应方程，注意要和握手问题（单次计数需除以2）做好区分。
【解析】
解：设该班有x名学生。
1. 计算单人送出贺卡数：每名学生不给自己送贺卡，因此每人送出$(x-1)$张贺卡；
2. 计算总贺卡数：全班共x名学生，且互赠贺卡无重复计数，因此总贺卡数为$x × (x-1)$张；
3. 结合题意列方程：已知总贺卡为2256张，因此可列方程$x(x-1)=2256$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 互赠类问题计数
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础常考题型，解题核心是明确不同计数场景的规则，区分开互赠（双向计数，无需去重）和握手（单次计数，需去重）两类模型的差异，即可快速列出正确方程。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确互赠贺卡的计数规则：每名同学不需要给自己送贺卡，因此每人要向其余(x-1)名同学各送1张；且互赠贺卡时，甲送给乙和乙送给甲是两张独立的贺卡，不存在重复计数，不需要除以2。先求出单人送出的贺卡数量，再乘以总人数即可得到全班送出的总贺卡数，结合已知的总贺卡数量就能列出对应方程，注意要和握手问题（单次计数需除以2）做好区分。
【解析】
解：设该班有x名学生。
1. 计算单人送出贺卡数：每名学生不给自己送贺卡，因此每人送出$(x-1)$张贺卡；
2. 计算总贺卡数：全班共x名学生，且互赠贺卡无重复计数，因此总贺卡数为$x × (x-1)$张；
3. 结合题意列方程：已知总贺卡为2256张，因此可列方程$x(x-1)=2256$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 互赠类问题计数
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础常考题型，解题核心是明确不同计数场景的规则，区分开互赠（双向计数，无需去重）和握手（单次计数，需去重）两类模型的差异，即可快速列出正确方程。
【难度系数】
0.8
4.一个凸多边形共有20条对角线,则这个多边形的边数是(
A.6
B.7
C.8
D.9
C
).A.6
B.7
C.8
D.9
答案
4.C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要回忆凸多边形对角线总数的计算公式：对于n边形，每个顶点可与除自身及相邻两个顶点外的(n-3)个顶点连接形成对角线，且每条对角线被两个顶点共享，因此总对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。我们可以根据题目给出的20条对角线列一元二次方程，求解后根据边数为正整数的实际要求取舍根即可得到答案。
【解析】
设这个凸多边形的边数为$n$（$n$为正整数，且$n≥3$）。
根据凸多边形对角线总数公式，可列方程：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
去分母得：$n(n-3)=40$
整理为一元二次方程的一般形式：$n^2-3n-40=0$
因式分解得：$(n-8)(n+5)=0$
解得：$n_1=8$，$n_2=-5$
∵多边形的边数不能为负数，
∴舍去$n=-5$，即$n=8$。
【答案】
C
【知识点】
多边形对角线公式；一元二次方程求解；实际根检验
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是熟练掌握多边形对角线总数的计算公式，列方程求解后要注意检验根是否符合实际意义，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要回忆凸多边形对角线总数的计算公式：对于n边形，每个顶点可与除自身及相邻两个顶点外的(n-3)个顶点连接形成对角线，且每条对角线被两个顶点共享，因此总对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。我们可以根据题目给出的20条对角线列一元二次方程，求解后根据边数为正整数的实际要求取舍根即可得到答案。
【解析】
设这个凸多边形的边数为$n$（$n$为正整数，且$n≥3$）。
根据凸多边形对角线总数公式，可列方程：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
去分母得：$n(n-3)=40$
整理为一元二次方程的一般形式：$n^2-3n-40=0$
因式分解得：$(n-8)(n+5)=0$
解得：$n_1=8$，$n_2=-5$
∵多边形的边数不能为负数，
∴舍去$n=-5$，即$n=8$。
【答案】
C
【知识点】
多边形对角线公式；一元二次方程求解；实际根检验
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是熟练掌握多边形对角线总数的计算公式，列方程求解后要注意检验根是否符合实际意义，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
5.在一次商品交易会上，每两家公司之间都签订了两份合同，所有公司共签订了380份合同.共有多少家公司参加这次商品交易会？
答案
5.设有 x 家公司参加了这次交易会,根据题意得 $x(x-1)=380$,即 $x^2-x-380=0$,
解得 $x_1=20$,$x_2=-19$(不符合题意,舍去),$\therefore$共有 20 家公司参加这次商品交易会.
解得 $x_1=20$,$x_2=-19$(不符合题意,舍去),$\therefore$共有 20 家公司参加这次商品交易会.
解析
【分析】
解题时先设参加交易会的公司数量为x家，再推导总合同数的等量关系：x家公司中，每两家公司为一组不重复的合作组合，共有$\frac{x(x-1)}{2}$组，每组签订2份合同，因此总合同数为$\frac{x(x-1)}{2} × 2 = x(x-1)$份，恰好等于题目给出的380份，据此列一元二次方程求解即可，最后注意公司数量为正整数，要舍去不符合实际意义的根。
【解析】
设有 $x$ 家公司参加了这次交易会，根据题意得：
$x(x-1)=380$
整理得 $x^2-x-380=0$
解得 $x_1=20$，$x_2=-19$
公司数量不能为负数，因此$x_2=-19$不符合题意，舍去。
【答案】
共有20家公司参加这次商品交易会。
【知识点】
1.一元二次方程的实际应用
2.一元二次方程的解法
3.实际问题的根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，解题关键是理清两两交互类问题的数量关系，正确列出方程，同时要注意数学方程的解必须符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
解题时先设参加交易会的公司数量为x家，再推导总合同数的等量关系：x家公司中，每两家公司为一组不重复的合作组合，共有$\frac{x(x-1)}{2}$组，每组签订2份合同，因此总合同数为$\frac{x(x-1)}{2} × 2 = x(x-1)$份，恰好等于题目给出的380份，据此列一元二次方程求解即可，最后注意公司数量为正整数，要舍去不符合实际意义的根。
【解析】
设有 $x$ 家公司参加了这次交易会，根据题意得：
$x(x-1)=380$
整理得 $x^2-x-380=0$
解得 $x_1=20$，$x_2=-19$
公司数量不能为负数，因此$x_2=-19$不符合题意，舍去。
【答案】
共有20家公司参加这次商品交易会。
【知识点】
1.一元二次方程的实际应用
2.一元二次方程的解法
3.实际问题的根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，解题关键是理清两两交互类问题的数量关系，正确列出方程，同时要注意数学方程的解必须符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
6.中秋节期间,某群内的每个人都发了一次红包,并保证群内其他人都能抢到一个红包且自己不能抢自己发的红包.若此次抢红包活动群内所有人共收到132个红包,则该群一共有(
A.9人
B.10人
C.11人
D.12人
D
).A.9人
B.10人
C.11人
D.12人
答案
6.D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确等量关系：群内所有人收到的总红包数=群人数×每人收到的红包数。我们可以先设群总人数为x，因为每个人不能抢自己发的红包，所以每个人能收到除自己之外其他x-1个人发的红包，即每人收到(x-1)个红包，据此列一元二次方程求解即可，注意人数不能为负数，最后要对根进行取舍。
【解析】
设该群一共有$ x $人。
由题意可知，每个人可收到除自己之外其余$ x-1 $人发的红包，因此总收到的红包数为$ x(x-1) $，可列方程：
$ x(x-1)=132 $
整理得：$ x^2 - x - 132 = 0 $
因式分解得：$ (x-12)(x+11)=0 $
解得：$ x_1=12 $，$ x_2=-11 $
因为人数不能为负数，故舍去$ x_2=-11 $，即该群一共有12人。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的实际应用；一元二次方程的求解
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，正确列出方程，同时要注意结合实际情况舍去不符合题意的根。
【难度系数】
0.75
要解决这个问题，首先需要明确等量关系：群内所有人收到的总红包数=群人数×每人收到的红包数。我们可以先设群总人数为x，因为每个人不能抢自己发的红包，所以每个人能收到除自己之外其他x-1个人发的红包，即每人收到(x-1)个红包，据此列一元二次方程求解即可，注意人数不能为负数，最后要对根进行取舍。
【解析】
设该群一共有$ x $人。
由题意可知，每个人可收到除自己之外其余$ x-1 $人发的红包，因此总收到的红包数为$ x(x-1) $，可列方程：
$ x(x-1)=132 $
整理得：$ x^2 - x - 132 = 0 $
因式分解得：$ (x-12)(x+11)=0 $
解得：$ x_1=12 $，$ x_2=-11 $
因为人数不能为负数，故舍去$ x_2=-11 $，即该群一共有12人。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的实际应用；一元二次方程的求解
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，正确列出方程，同时要注意结合实际情况舍去不符合题意的根。
【难度系数】
0.75
7.《九章算术》有一道题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让.礼毕，共揖十五次.问诸侯几何？”
诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，则诸侯有
诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，则诸侯有
6
个人.答案
7.6
解析
【分析】
这是典型的“两两互动”类计数问题，类似握手问题。解题思路如下：第一步先设诸侯人数为x，每名诸侯需要和除自身外的其余(x-1)名诸侯各行礼1次，若直接计算x(x-1)会出现重复统计（每1次行礼会被双方各计算1次），因此实际总行礼次数为$\frac{x(x-1)}{2}$；第二步结合总行礼次数为15的条件列出一元二次方程；第三步解方程后结合人数为正整数的实际意义，舍去不符合要求的根即可得到答案。
【解析】
解：设诸侯共有$x$人。
根据两两行礼的计数规则可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理得：$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
∵人数不能为负数，不符合实际意义，故舍去$x=-5$
∴$x=6$
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程应用、握手问题模型、一元二次方程解法
【点评】
本题以古代数学典籍的经典问题为背景，考查数学模型的应用能力，解题核心是准确理解“两两行礼不重复计数”的规则，正确列写方程，同时注意实际问题的解需要符合现实意义，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.75
这是典型的“两两互动”类计数问题，类似握手问题。解题思路如下：第一步先设诸侯人数为x，每名诸侯需要和除自身外的其余(x-1)名诸侯各行礼1次，若直接计算x(x-1)会出现重复统计（每1次行礼会被双方各计算1次），因此实际总行礼次数为$\frac{x(x-1)}{2}$；第二步结合总行礼次数为15的条件列出一元二次方程；第三步解方程后结合人数为正整数的实际意义，舍去不符合要求的根即可得到答案。
【解析】
解：设诸侯共有$x$人。
根据两两行礼的计数规则可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理得：$x^2 - x - 30 = 0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
∵人数不能为负数，不符合实际意义，故舍去$x=-5$
∴$x=6$
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程应用、握手问题模型、一元二次方程解法
【点评】
本题以古代数学典籍的经典问题为背景，考查数学模型的应用能力，解题核心是准确理解“两两行礼不重复计数”的规则，正确列写方程，同时注意实际问题的解需要符合现实意义，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.75
8.小明将收到的一条短信转发给若干好友，每个收到短信的人又给相同数量的互不相同的好友转发了这条短信，此时收到这条短信的共有157人，则小明给
12
人发了短信。答案
8.12
解析
【分析】
这是典型的两轮传播类实际问题，解题思路如下：①设未知数：设小明给x人发了短信；②梳理数量关系：最开始小明是1个收到短信的人，第一轮传播后新增x个收到短信的人，第二轮每个收到短信的人再转发给x个互不相同的人，新增$x^2$个收到短信的人；③总收到短信的人数是初始人数加两轮新增人数，据此列一元二次方程求解即可，最后注意结合人数为正整数的实际意义取舍根。
【解析】
解：设小明给$ x $个好友发了短信。
根据总收到短信的人数为157人，可列方程：
$ 1 + x + x^2 = 157 $
整理得：$ x^2 + x - 156 = 0 $
因式分解得：$ (x + 13)(x - 12) = 0 $
解得：$ x_1 = 12 $，$ x_2 = -13 $
因为人数不能为负数，故舍去$ x_2 = -13 $，即$ x = 12 $。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题；一元二次方程求解
【点评】
本题属于实际问题与方程结合的常规题型，解题核心是理清传播过程中各轮次的新增数量，列方程时不要遗漏初始的1名收到短信的人，求解方程后要结合实际意义验证根的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
这是典型的两轮传播类实际问题，解题思路如下：①设未知数：设小明给x人发了短信；②梳理数量关系：最开始小明是1个收到短信的人，第一轮传播后新增x个收到短信的人，第二轮每个收到短信的人再转发给x个互不相同的人，新增$x^2$个收到短信的人；③总收到短信的人数是初始人数加两轮新增人数，据此列一元二次方程求解即可，最后注意结合人数为正整数的实际意义取舍根。
【解析】
解：设小明给$ x $个好友发了短信。
根据总收到短信的人数为157人，可列方程：
$ 1 + x + x^2 = 157 $
整理得：$ x^2 + x - 156 = 0 $
因式分解得：$ (x + 13)(x - 12) = 0 $
解得：$ x_1 = 12 $，$ x_2 = -13 $
因为人数不能为负数，故舍去$ x_2 = -13 $，即$ x = 12 $。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题；一元二次方程求解
【点评】
本题属于实际问题与方程结合的常规题型，解题核心是理清传播过程中各轮次的新增数量，列方程时不要遗漏初始的1名收到短信的人，求解方程后要结合实际意义验证根的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
