登录
7.为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又各自邀请n个互不相同的好友转发，依此类推，已知经过两轮转发后，共有111个人参与了此次宣传活动，则n的值是
10
.答案
7.10
解析
【分析】
解决本题的核心是理清参与活动的人数构成，找到等量关系列方程。首先明确初始参与人是小明1人；第一轮转发新增小明邀请的n个好友，共n人；第二轮转发是这n个好友每人邀请n个互不相同的好友，共n²人。两轮转发后总人数是三部分的和，等于111，据此列一元二次方程求解即可，注意n为人数，需取正整数。
【解析】
解：根据传播规则，总参与人数包括初始的小明、第一轮转发的好友、第二轮转发的好友三部分，据此列方程：
$1 + n + n^2 = 111$
整理得：$n^2 + n - 110 = 0$
因式分解得：$(n + 11)(n - 10) = 0$
解得：$n_1 = 10$，$n_2 = -11$
由于n表示邀请的好友人数，不能为负数，故舍去$n=-11$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的传播类实际应用题，解题关键是准确梳理各阶段参与人数，不要遗漏初始发起人，求出方程的根后要结合实际意义检验，排除不符合现实的解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是理清参与活动的人数构成，找到等量关系列方程。首先明确初始参与人是小明1人；第一轮转发新增小明邀请的n个好友，共n人；第二轮转发是这n个好友每人邀请n个互不相同的好友，共n²人。两轮转发后总人数是三部分的和，等于111，据此列一元二次方程求解即可，注意n为人数，需取正整数。
【解析】
解：根据传播规则，总参与人数包括初始的小明、第一轮转发的好友、第二轮转发的好友三部分，据此列方程：
$1 + n + n^2 = 111$
整理得：$n^2 + n - 110 = 0$
因式分解得：$(n + 11)(n - 10) = 0$
解得：$n_1 = 10$，$n_2 = -11$
由于n表示邀请的好友人数，不能为负数，故舍去$n=-11$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的传播类实际应用题，解题关键是准确梳理各阶段参与人数，不要遗漏初始发起人，求出方程的根后要结合实际意义检验，排除不符合现实的解。
【难度系数】
0.7
8.俗话说“一天不练手脚慢，两天不练丢一半”.如果不及时复习，学习过的东西就会被遗忘.假设平均每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则平均每天“遗忘”的百分比约为
30%
.(参考数据：$\sqrt{2}\approx1.4$)答案
8.30%
解析
【分析】
这是一道百分率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：①首先将初始记忆总量看作单位“1”，设平均每天遗忘的百分比为x；②每天遗忘率固定，属于连续负增长问题，第一天结束后剩余记忆量为1×(1-x)，第二天是在第一天剩余量的基础上再遗忘x，因此两天后剩余记忆量为(1-x)²；③根据“两天不练丢一半”可知两天后剩余记忆量为初始的1/2，据此列方程求解，注意x的取值范围是0＜x＜1，开方时取正根，再代入参考数据计算即可。
【解析】
解：设平均每天“遗忘”的百分比为$ x $，将初始记忆量看作单位“1”。
根据两天后剩余记忆量为初始的$ \frac{1}{2} $，可列方程：
$(1-x)^2 = \frac{1}{2}$
因为$ 0＜x＜1 $，所以$ 1-x＞0 $，对等式两边开平方得：
$1-x = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
代入参考数据$ \sqrt{2}\approx1.4 $，得：
$1-x \approx \frac{1.4}{2} = 0.7$
解得：
$x \approx 1 - 0.7 = 0.3 = 30\%$
【答案】
30%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 百分率问题
3. 开平方运算
【点评】
本题结合生活中的遗忘规律考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是准确梳理连续两次变化后剩余量与初始量的等量关系，同时要结合实际意义对方程的根进行取舍，是百分率应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
这是一道百分率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：①首先将初始记忆总量看作单位“1”，设平均每天遗忘的百分比为x；②每天遗忘率固定，属于连续负增长问题，第一天结束后剩余记忆量为1×(1-x)，第二天是在第一天剩余量的基础上再遗忘x，因此两天后剩余记忆量为(1-x)²；③根据“两天不练丢一半”可知两天后剩余记忆量为初始的1/2，据此列方程求解，注意x的取值范围是0＜x＜1，开方时取正根，再代入参考数据计算即可。
【解析】
解：设平均每天“遗忘”的百分比为$ x $，将初始记忆量看作单位“1”。
根据两天后剩余记忆量为初始的$ \frac{1}{2} $，可列方程：
$(1-x)^2 = \frac{1}{2}$
因为$ 0＜x＜1 $，所以$ 1-x＞0 $，对等式两边开平方得：
$1-x = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
代入参考数据$ \sqrt{2}\approx1.4 $，得：
$1-x \approx \frac{1.4}{2} = 0.7$
解得：
$x \approx 1 - 0.7 = 0.3 = 30\%$
【答案】
30%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 百分率问题
3. 开平方运算
【点评】
本题结合生活中的遗忘规律考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是准确梳理连续两次变化后剩余量与初始量的等量关系，同时要结合实际意义对方程的根进行取舍，是百分率应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
9.“直播带货”成了当下火爆的销售途径.某电商平台的“直播间”中,某店A商品的标价为200元/件,连续两次降价后的售价为162元/件,两次降价率相同.
(1)求A商品每次降价的百分率.
(2)该店A商品的进价为150元/件,降价后共出售1 000件A商品,若该店预计两次降价销售的总利润不低于17 400元,第二次降价前至少需要销售A商品多少件？
(1)求A商品每次降价的百分率.
(2)该店A商品的进价为150元/件,降价后共出售1 000件A商品,若该店预计两次降价销售的总利润不低于17 400元,第二次降价前至少需要销售A商品多少件？
答案
9.(1)设 A 商品每次降价的百分率为 x,根据题意得 $200(1-x)^2=162$,
解得 $x_1=0.1=10\%$,$x_2=1.9$(不符合题意,舍去).
A 商品每次降价的百分率为 10%.
(2)设第二次降价前销售 A 商品 y 件,则第二次降价后销售 A 商品$(1\ 000-y)$件,
根据题意得$[200×(1-10\%)-150]y+(162-150)(1\ 000-y)≥17\ 400$,解得 $y≥300$,
$\therefore y$ 的最小值为 300.
第二次降价前至少需要销售 A 商品 300 件.
解得 $x_1=0.1=10\%$,$x_2=1.9$(不符合题意,舍去).
A 商品每次降价的百分率为 10%.
(2)设第二次降价前销售 A 商品 y 件,则第二次降价后销售 A 商品$(1\ 000-y)$件,
根据题意得$[200×(1-10\%)-150]y+(162-150)(1\ 000-y)≥17\ 400$,解得 $y≥300$,
$\therefore y$ 的最小值为 300.
第二次降价前至少需要销售 A 商品 300 件.
解析
【分析】
(1)本题是连续降价的增长率类问题，此类问题的核心等量关系为：原价×(1-降价百分率)²=两次降价后的售价。解题时先设每次降价的百分率为x，代入已知的原价和两次降价后的售价列出一元二次方程，求解后结合降价率小于1的实际意义，舍去不符合要求的解即可得到结果。
(2)本题是利润类不等式应用问题，总利润为两个销售阶段的利润之和。先计算第一次降价后的售价，分别得出两个阶段每件商品的利润，设第二次降价前销售y件，则第二次降价后销售(1000-y)件，根据“总利润不低于17400元”（即总利润≥17400）列出不等式，求解后取最小正整数解即可。
【解析】
(1)设A商品每次降价的百分率为x，根据题意列方程：
$200(1-x)^2=162$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$
由于降价百分率不能大于1，$x_2=1.9$不符合题意，舍去。
(2)设第二次降价前销售A商品y件，则第二次降价后销售A商品$(1000-y)$件。
第一次降价后的售价为$200×(1-10\%)=180$元/件，每件利润为$180-150=30$元；第二次降价后每件利润为$162-150=12$元。
根据总利润要求列不等式：
$[200×(1-10\%)-150]y+(162-150)(1000-y)≥17400$
化简得：$18y≥5400$
解得：$y≥300$，即y的最小值为300。
【答案】
(1)A商品每次降价的百分率为10%；
(2)第二次降价前至少需要销售A商品300件。
【知识点】
一元二次方程增长率应用，一元一次不等式利润应用
【点评】
本题结合热门的直播带货情境命题，贴近生活实际，主要考查利用方程和不等式解决实际问题的能力，解题时需注意结合实际意义对解进行取舍，整体考查方向清晰，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
(1)本题是连续降价的增长率类问题，此类问题的核心等量关系为：原价×(1-降价百分率)²=两次降价后的售价。解题时先设每次降价的百分率为x，代入已知的原价和两次降价后的售价列出一元二次方程，求解后结合降价率小于1的实际意义，舍去不符合要求的解即可得到结果。
(2)本题是利润类不等式应用问题，总利润为两个销售阶段的利润之和。先计算第一次降价后的售价，分别得出两个阶段每件商品的利润，设第二次降价前销售y件，则第二次降价后销售(1000-y)件，根据“总利润不低于17400元”（即总利润≥17400）列出不等式，求解后取最小正整数解即可。
【解析】
(1)设A商品每次降价的百分率为x，根据题意列方程：
$200(1-x)^2=162$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$
由于降价百分率不能大于1，$x_2=1.9$不符合题意，舍去。
(2)设第二次降价前销售A商品y件，则第二次降价后销售A商品$(1000-y)$件。
第一次降价后的售价为$200×(1-10\%)=180$元/件，每件利润为$180-150=30$元；第二次降价后每件利润为$162-150=12$元。
根据总利润要求列不等式：
$[200×(1-10\%)-150]y+(162-150)(1000-y)≥17400$
化简得：$18y≥5400$
解得：$y≥300$，即y的最小值为300。
【答案】
(1)A商品每次降价的百分率为10%；
(2)第二次降价前至少需要销售A商品300件。
【知识点】
一元二次方程增长率应用，一元一次不等式利润应用
【点评】
本题结合热门的直播带货情境命题，贴近生活实际，主要考查利用方程和不等式解决实际问题的能力，解题时需注意结合实际意义对解进行取舍，整体考查方向清晰，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
10.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年都为3万元，可变成本逐年增长，第1年的可变成本为2万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本，为
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为5.42万元，求可变成本平均每年增长的百分率.
（3）若第3年的养殖成本为5.42万元且可变成本平均每年增长的百分率保持不变，通过计算，判断该养殖户第5年的养殖成本会不会超过6万元.
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本，为
$2(1+x)^2$
万元.（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为5.42万元，求可变成本平均每年增长的百分率.
（3）若第3年的养殖成本为5.42万元且可变成本平均每年增长的百分率保持不变，通过计算，判断该养殖户第5年的养殖成本会不会超过6万元.
答案
10.(1)$2(1+x)^2$
(2)由题意,得 $3+2(1+x)^2=5.42$,解得 $x_1=0.1$,$x_2=-2.1$(不合题意,舍去).
可变成本平均每年增长的百分率为 10%.
(3)第 5 年的可变成本为$(5.42-3)×(1+10\%)^2=2.928\ 2$(万元),
第 5 年的养殖成本为 $3+2.928\ 2=5.928\ 2＜6$,
所以该养殖户第 5 年的养殖成本不会超过 6 万元.
(2)由题意,得 $3+2(1+x)^2=5.42$,解得 $x_1=0.1$,$x_2=-2.1$(不合题意,舍去).
可变成本平均每年增长的百分率为 10%.
(3)第 5 年的可变成本为$(5.42-3)×(1+10\%)^2=2.928\ 2$(万元),
第 5 年的养殖成本为 $3+2.928\ 2=5.928\ 2＜6$,
所以该养殖户第 5 年的养殖成本不会超过 6 万元.
解析
【分析】
1. 第（1）问：根据增长率问题的基本规律，可变成本逐年按百分率x增长，第1年可变成本为2万元，第2年可变成本是第1年的$(1+x)$倍，第3年可变成本是第2年的$(1+x)$倍，逐步推导即可得到第3年可变成本的代数式。
2. 第（2）问：明确养殖总成本=固定成本+可变成本的等量关系，将固定成本3万元、第3年总成本5.42万元和第（1）问得到的第3年可变成本代入关系列方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到增长率。
3. 第（3）问：先算出第3年的可变成本，已知增长率不变，第5年相比第3年多增长2年，用第3年可变成本乘$(1+增长率)^2$得到第5年可变成本，加固定成本后和6万元比较大小即可判断。
【解析】
（1）第1年可变成本为2万元，可变成本年增长率为x，因此第2年可变成本为$2(1+x)$万元，第3年可变成本为$2(1+x) · (1+x)=2(1+x)^2$万元。
（2）由题意可列方程：
$3+2(1+x)^2=5.42$
整理得$(1+x)^2=1.21$
开方得$1+x=\pm1.1$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$，因增长率不能为负，舍去$x_2$。
（3）第3年可变成本为$5.42-3=2.42$万元，增长率保持10%不变，第5年可变成本为：
$2.42×(1+10\%)^2=2.9282$万元
第5年总养殖成本为$3+2.9282=5.9282$万元，$5.9282＜6$。
【答案】
(1) $2(1+x)^2$
(2) 可变成本平均每年增长的百分率为10%
(3) 该养殖户第5年的养殖成本不会超过6万元
【知识点】
增长率问题、一元二次方程的应用、列代数式
【点评】
本题结合实际生活场景考察增长率类应用题，解题核心是掌握增长率问题的基本计算公式，同时要注意求解一元二次方程后，需结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
1. 第（1）问：根据增长率问题的基本规律，可变成本逐年按百分率x增长，第1年可变成本为2万元，第2年可变成本是第1年的$(1+x)$倍，第3年可变成本是第2年的$(1+x)$倍，逐步推导即可得到第3年可变成本的代数式。
2. 第（2）问：明确养殖总成本=固定成本+可变成本的等量关系，将固定成本3万元、第3年总成本5.42万元和第（1）问得到的第3年可变成本代入关系列方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到增长率。
3. 第（3）问：先算出第3年的可变成本，已知增长率不变，第5年相比第3年多增长2年，用第3年可变成本乘$(1+增长率)^2$得到第5年可变成本，加固定成本后和6万元比较大小即可判断。
【解析】
（1）第1年可变成本为2万元，可变成本年增长率为x，因此第2年可变成本为$2(1+x)$万元，第3年可变成本为$2(1+x) · (1+x)=2(1+x)^2$万元。
（2）由题意可列方程：
$3+2(1+x)^2=5.42$
整理得$(1+x)^2=1.21$
开方得$1+x=\pm1.1$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$，因增长率不能为负，舍去$x_2$。
（3）第3年可变成本为$5.42-3=2.42$万元，增长率保持10%不变，第5年可变成本为：
$2.42×(1+10\%)^2=2.9282$万元
第5年总养殖成本为$3+2.9282=5.9282$万元，$5.9282＜6$。
【答案】
(1) $2(1+x)^2$
(2) 可变成本平均每年增长的百分率为10%
(3) 该养殖户第5年的养殖成本不会超过6万元
【知识点】
增长率问题、一元二次方程的应用、列代数式
【点评】
本题结合实际生活场景考察增长率类应用题，解题核心是掌握增长率问题的基本计算公式，同时要注意求解一元二次方程后，需结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
