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7.为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又各自邀请n个互不相同的好友转发，依此类推，已知经过两轮转发后，共有111个人参与了此次宣传活动，则n的值是
10
.答案
7.10
解析
【分析】
解题时首先要理清传播各阶段的参与人数：初始仅小明1人发布倡议书；第一轮传播时，小明邀请n个好友转发，新增n名参与者；第二轮传播时，第一轮参与转发的n个好友每人再邀请n个互不相同的新好友，新增n²名参与者。两轮传播后的总参与人数为初始人数加两轮新增人数之和，据此可列出一元二次方程，求解后结合n的实际意义（正整数）舍去不符合要求的根即可得到n的值。
【解析】
根据题意，两轮转发后总参与人数的等量关系为：初始人数 + 第一轮新增人数 + 第二轮新增人数 = 111
列方程得：$1 + n + n^2 = 111$
整理方程得：$n^2 + n - 110 = 0$
因式分解得：$(n + 11)(n - 10) = 0$
解得：$n_1 = 10$，$n_2 = -11$
∵n表示邀请的好友人数，为正整数
∴$n = -11$不符合题意，舍去
故n的值为10。
【答案】
10
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 解一元二次方程
【点评】
本题是典型的传播类实际应用问题，解题核心是准确梳理每轮传播的新增人数，正确建立等量关系列方程，求解后要注意结合实际情景对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
解题时首先要理清传播各阶段的参与人数：初始仅小明1人发布倡议书；第一轮传播时，小明邀请n个好友转发，新增n名参与者；第二轮传播时，第一轮参与转发的n个好友每人再邀请n个互不相同的新好友，新增n²名参与者。两轮传播后的总参与人数为初始人数加两轮新增人数之和，据此可列出一元二次方程，求解后结合n的实际意义（正整数）舍去不符合要求的根即可得到n的值。
【解析】
根据题意，两轮转发后总参与人数的等量关系为：初始人数 + 第一轮新增人数 + 第二轮新增人数 = 111
列方程得：$1 + n + n^2 = 111$
整理方程得：$n^2 + n - 110 = 0$
因式分解得：$(n + 11)(n - 10) = 0$
解得：$n_1 = 10$，$n_2 = -11$
∵n表示邀请的好友人数，为正整数
∴$n = -11$不符合题意，舍去
故n的值为10。
【答案】
10
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 解一元二次方程
【点评】
本题是典型的传播类实际应用问题，解题核心是准确梳理每轮传播的新增人数，正确建立等量关系列方程，求解后要注意结合实际情景对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
8.俗话说“一天不练手脚慢，两天不练丢一半”.如果不及时复习，学习过的东西就会被遗忘.假设平均每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则平均每天“遗忘”的百分比约为
30%
.(参考数据：$\sqrt{2}\approx1.4$)答案
8.30%
解析
【分析】
这是一道平均衰减率的实际应用题，解题思路如下：1. 先明确单位“1”：将原本掌握的知识总量看作单位1；2. 设平均每天遗忘的百分比为x，那么每天剩余的知识量就是前一天的(1-x)，两天后剩余的知识量就是$(1-x)^2$；3. 根据“两天不练丢一半”可知两天后剩余知识量为原来的$\frac{1}{2}$，据此列一元二次方程求解；4. 结合实际意义舍去不合理的负根，再利用给出的参考数据计算即可得到结果。
【解析】
解：设平均每天“遗忘”的百分比为$x$，将原来掌握的知识总量看作单位1。
由“两天不练丢一半”可知，两天后剩余的知识量为原来的$\frac{1}{2}$，可列方程：
$(1-x)^2 = \frac{1}{2}$
开平方得：$1-x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
∵ 剩余量$1-x＞0$，
∴ 舍去负根，得：
$1-x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
代入参考数据$\sqrt{2}\approx1.4$，得：
$1-x \approx \frac{1.4}{2}=0.7$
解得：$x \approx 1-0.7=0.3=30\%$
【答案】
30%
【知识点】
平均变化率问题，一元二次方程的应用，开平方运算
【点评】
本题结合记忆遗忘规律的生活常识出题，将数学知识和实际生活紧密结合，解题的核心是正确梳理两天后剩余知识量的等量关系，列出一元二次方程，同时要注意结合实际问题对方程的解进行取舍，题干给出参考数据，有效降低了计算难度。
【难度系数】
0.7
这是一道平均衰减率的实际应用题，解题思路如下：1. 先明确单位“1”：将原本掌握的知识总量看作单位1；2. 设平均每天遗忘的百分比为x，那么每天剩余的知识量就是前一天的(1-x)，两天后剩余的知识量就是$(1-x)^2$；3. 根据“两天不练丢一半”可知两天后剩余知识量为原来的$\frac{1}{2}$，据此列一元二次方程求解；4. 结合实际意义舍去不合理的负根，再利用给出的参考数据计算即可得到结果。
【解析】
解：设平均每天“遗忘”的百分比为$x$，将原来掌握的知识总量看作单位1。
由“两天不练丢一半”可知，两天后剩余的知识量为原来的$\frac{1}{2}$，可列方程：
$(1-x)^2 = \frac{1}{2}$
开平方得：$1-x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
∵ 剩余量$1-x＞0$，
∴ 舍去负根，得：
$1-x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
代入参考数据$\sqrt{2}\approx1.4$，得：
$1-x \approx \frac{1.4}{2}=0.7$
解得：$x \approx 1-0.7=0.3=30\%$
【答案】
30%
【知识点】
平均变化率问题，一元二次方程的应用，开平方运算
【点评】
本题结合记忆遗忘规律的生活常识出题，将数学知识和实际生活紧密结合，解题的核心是正确梳理两天后剩余知识量的等量关系，列出一元二次方程，同时要注意结合实际问题对方程的解进行取舍，题干给出参考数据，有效降低了计算难度。
【难度系数】
0.7
9.“直播带货”成了当下火爆的销售途径.某电商平台的“直播间”中,某店A商品的标价为200元/件,连续两次降价后的售价为162元/件,两次降价率相同.
(1)求A商品每次降价的百分率.
(2)该店A商品的进价为150元/件,降价后共出售1 000件A商品,若该店预计两次降价销售的总利润不低于17 400元,第二次降价前至少需要销售A商品多少件？
(1)求A商品每次降价的百分率.
(2)该店A商品的进价为150元/件,降价后共出售1 000件A商品,若该店预计两次降价销售的总利润不低于17 400元,第二次降价前至少需要销售A商品多少件？
答案
9.(1)设 A 商品每次降价的百分率为 x,根据题意得 $200(1-x)^2=162$,
解得 $x_1=0.1=10\%$,$x_2=1.9$(不符合题意,舍去).
A 商品每次降价的百分率为 10%.
(2)设第二次降价前销售 A 商品 y 件,则第二次降价后销售 A 商品$(1\ 000-y)$件,
根据题意得$[200×(1-10\%)-150]y+(162-150)(1\ 000-y)≥17\ 400$,解得 $y≥300$,
$\therefore y$ 的最小值为 300.
第二次降价前至少需要销售 A 商品 300 件.
解得 $x_1=0.1=10\%$,$x_2=1.9$(不符合题意,舍去).
A 商品每次降价的百分率为 10%.
(2)设第二次降价前销售 A 商品 y 件,则第二次降价后销售 A 商品$(1\ 000-y)$件,
根据题意得$[200×(1-10\%)-150]y+(162-150)(1\ 000-y)≥17\ 400$,解得 $y≥300$,
$\therefore y$ 的最小值为 300.
第二次降价前至少需要销售 A 商品 300 件.
解析
【分析】
（1）第一问属于连续降价的百分率问题，解题思路为：先设每次降价的百分率为x，依据“原价×(1-降价百分率)²=两次降价后的售价”的等量关系列一元二次方程，由于降价率不可能大于1，求出方程的解后要舍去不符合实际意义的根。
（2）第二问属于销售利润的最值问题，解题思路为：设第二次降价前销售A商品y件，分别计算出第一次降价后、第二次降价后每件商品的利润，再根据“两次销售的总利润≥17400”的不等关系列一元一次不等式，求解后取符合实际的最小正整数值即可。
【解析】
(1) 设A商品每次降价的百分率为x，根据题意列方程：
$200(1-x)^2=162$
解得 $x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$
降价率不能大于1，因此$x_2=1.9$不符合题意，舍去。
(2) 设第二次降价前销售A商品y件，则第二次降价后销售A商品$(1000-y)$件，根据总利润不低于17400元列不等式：
$[200×(1-10\%)-150]y+(162-150)(1000-y)≥17400$
化简得：$30y+12(1000-y)≥17400$
解得 $y≥300$，因此y的最小值为300。
【答案】
(1) A商品每次降价的百分率为10%；(2) 第二次降价前至少需要销售A商品300件。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 一元一次不等式的实际应用
3. 销售利润问题
【点评】
本题结合热门的直播带货场景命题，贴近生活实际，主要考查用方程与不等式解决实际问题的能力，解题时需注意结合现实意义判断解的合理性，是实际应用类的常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于连续降价的百分率问题，解题思路为：先设每次降价的百分率为x，依据“原价×(1-降价百分率)²=两次降价后的售价”的等量关系列一元二次方程，由于降价率不可能大于1，求出方程的解后要舍去不符合实际意义的根。
（2）第二问属于销售利润的最值问题，解题思路为：设第二次降价前销售A商品y件，分别计算出第一次降价后、第二次降价后每件商品的利润，再根据“两次销售的总利润≥17400”的不等关系列一元一次不等式，求解后取符合实际的最小正整数值即可。
【解析】
(1) 设A商品每次降价的百分率为x，根据题意列方程：
$200(1-x)^2=162$
解得 $x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$
降价率不能大于1，因此$x_2=1.9$不符合题意，舍去。
(2) 设第二次降价前销售A商品y件，则第二次降价后销售A商品$(1000-y)$件，根据总利润不低于17400元列不等式：
$[200×(1-10\%)-150]y+(162-150)(1000-y)≥17400$
化简得：$30y+12(1000-y)≥17400$
解得 $y≥300$，因此y的最小值为300。
【答案】
(1) A商品每次降价的百分率为10%；(2) 第二次降价前至少需要销售A商品300件。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 一元一次不等式的实际应用
3. 销售利润问题
【点评】
本题结合热门的直播带货场景命题，贴近生活实际，主要考查用方程与不等式解决实际问题的能力，解题时需注意结合现实意义判断解的合理性，是实际应用类的常考题型。
【难度系数】
0.7
10.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年都为3万元，可变成本逐年增长，第1年的可变成本为2万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本，为
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为5.42万元，求可变成本平均每年增长的百分率.
（3）若第3年的养殖成本为5.42万元且可变成本平均每年增长的百分率保持不变，通过计算，判断该养殖户第5年的养殖成本会不会超过6万元.
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本，为
$2(1+x)^2$
万元.（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为5.42万元，求可变成本平均每年增长的百分率.
（3）若第3年的养殖成本为5.42万元且可变成本平均每年增长的百分率保持不变，通过计算，判断该养殖户第5年的养殖成本会不会超过6万元.
答案
10.(1)$2(1+x)^2$
(2)由题意,得 $3+2(1+x)^2=5.42$,解得 $x_1=0.1$,$x_2=-2.1$(不合题意,舍去).
可变成本平均每年增长的百分率为 10%.
(3)第 5 年的可变成本为$(5.42-3)×(1+10\%)^2=2.928\ 2$(万元),
第 5 年的养殖成本为 $3+2.928\ 2=5.928\ 2＜6$,
所以该养殖户第 5 年的养殖成本不会超过 6 万元.
(2)由题意,得 $3+2(1+x)^2=5.42$,解得 $x_1=0.1$,$x_2=-2.1$(不合题意,舍去).
可变成本平均每年增长的百分率为 10%.
(3)第 5 年的可变成本为$(5.42-3)×(1+10\%)^2=2.928\ 2$(万元),
第 5 年的养殖成本为 $3+2.928\ 2=5.928\ 2＜6$,
所以该养殖户第 5 年的养殖成本不会超过 6 万元.
解析
【分析】
（1）本题是增长率类问题，可变成本每年增长百分率为x，第1年可变成本为2万元，第2年可变成本是第1年的(1+x)倍，第3年可变成本是第2年的(1+x)倍，据此可直接列出对应代数式；
（2）养殖成本由固定成本和可变成本组成，已知固定成本恒为3万元，结合第（1）问得到的第3年可变成本代数式，根据第3年总成本为5.42万元即可列一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根；
（3）已知可变成本增长率保持不变，第5年的可变成本是第3年可变成本乘(1+增长率)的平方，加上固定成本后得到第5年总成本，再和6万元比较大小即可判断。
【解析】
（1）第1年可变成本为2万元，年增长率为x，
第2年可变成本为$2(1+x)$万元，
则第3年可变成本为$2(1+x)·(1+x)=2(1+x)^2$万元；
（2）根据养殖成本=固定成本+可变成本，列方程得：
$3+2(1+x)^2=5.42$
化简得：$(1+x)^2=1.21$
开方得：$1+x=\pm1.1$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$
因增长率不能为负，故舍去$x_2=-2.1$，
所以可变成本平均每年增长的百分率为10%；
（3）第3年可变成本为$5.42-3=2.42$万元，
第5年可变成本为$2.42×(1+10\%)^2=2.9282$万元，
第5年养殖总成本为$3+2.9282=5.9282$万元，
因$5.9282＜6$，所以第5年养殖成本不会超过6万元。
【答案】
(1)$2(1+x)^2$
(2)10%
(3)不会超过6万元
【知识点】
列代数式，一元二次方程的应用，增长率问题
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题关键是理清可变成本的增长规律，区分固定成本和可变成本，求解方程后需注意检验解是否符合实际意义，题目贴合生活场景，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
（1）本题是增长率类问题，可变成本每年增长百分率为x，第1年可变成本为2万元，第2年可变成本是第1年的(1+x)倍，第3年可变成本是第2年的(1+x)倍，据此可直接列出对应代数式；
（2）养殖成本由固定成本和可变成本组成，已知固定成本恒为3万元，结合第（1）问得到的第3年可变成本代数式，根据第3年总成本为5.42万元即可列一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根；
（3）已知可变成本增长率保持不变，第5年的可变成本是第3年可变成本乘(1+增长率)的平方，加上固定成本后得到第5年总成本，再和6万元比较大小即可判断。
【解析】
（1）第1年可变成本为2万元，年增长率为x，
第2年可变成本为$2(1+x)$万元，
则第3年可变成本为$2(1+x)·(1+x)=2(1+x)^2$万元；
（2）根据养殖成本=固定成本+可变成本，列方程得：
$3+2(1+x)^2=5.42$
化简得：$(1+x)^2=1.21$
开方得：$1+x=\pm1.1$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$
因增长率不能为负，故舍去$x_2=-2.1$，
所以可变成本平均每年增长的百分率为10%；
（3）第3年可变成本为$5.42-3=2.42$万元，
第5年可变成本为$2.42×(1+10\%)^2=2.9282$万元，
第5年养殖总成本为$3+2.9282=5.9282$万元，
因$5.9282＜6$，所以第5年养殖成本不会超过6万元。
【答案】
(1)$2(1+x)^2$
(2)10%
(3)不会超过6万元
【知识点】
列代数式，一元二次方程的应用，增长率问题
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题关键是理清可变成本的增长规律，区分固定成本和可变成本，求解方程后需注意检验解是否符合实际意义，题目贴合生活场景，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
