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9.我国宋朝数学家杨辉,曾将大小相同的圆珠逐层堆积,形成“三角垛”.如图,由圆珠堆积成“三角垛”,第1个“三角垛”有1颗圆珠,第2个“三角垛”有3颗圆珠,第3个“三角垛”有6颗圆珠,第4个“三角垛”有10颗圆珠……
(1)第6个“三角垛”有
(2)是否存在第n个“三角垛”,使得圆珠数为300颗?如果存在,求出n的值;如果不存在,请说明理由.
(1)第6个“三角垛”有
21
颗圆珠.(2)是否存在第n个“三角垛”,使得圆珠数为300颗?如果存在,求出n的值;如果不存在,请说明理由.
答案
9.(1)21
(2)根据题意得 $\dfrac{1}{2}n(n+1)=300$,整理得 $n^2+n-600=0$,
即$(n+25)(n-24)=0$,解得 $n_1=24$,$n_2=-25$(舍去).
故第 24 个“三角垛”圆珠数为 300 颗.
(2)根据题意得 $\dfrac{1}{2}n(n+1)=300$,整理得 $n^2+n-600=0$,
即$(n+25)(n-24)=0$,解得 $n_1=24$,$n_2=-25$(舍去).
故第 24 个“三角垛”圆珠数为 300 颗.
解析
【分析】
首先观察各“三角垛”的圆珠数量：第1个有1颗，第2个有$1+2=3$颗，第3个有$1+2+3=6$颗，第4个有$1+2+3+4=10$颗，可归纳得出第$n$个“三角垛”的圆珠数为前$n$个正整数的和，对应计算公式为$\frac{n(n+1)}{2}$。
(1) 求第6个的圆珠数，直接将$n=6$代入上述公式计算即可；
(2) 假设存在符合要求的“三角垛”，令圆珠数等于300，列一元二次方程求解，若解为正整数则存在，否则不存在，注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
(1) 由已知规律可得，第$n$个“三角垛”的圆珠数为$S_n=1+2+3+\dots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$。
当$n=6$时，$S_6=\frac{1}{2}×6×(6+1)=21$。
(2) 存在，理由如下：
令$\frac{1}{2}n(n+1)=300$，
整理得：$n^2 +n -600=0$，
因式分解得：$(n+25)(n-24)=0$，
解得：$n_1=24$，$n_2=-25$。
因为$n$代表“三角垛”的序号，必须为正整数，因此舍去$n=-25$，即$n=24$符合题意。
【答案】
(1) $\boxed{21}$
(2) 存在，$\boxed{n=24}$
【知识点】
图形规律探究；一元二次方程的应用；实际问题解的检验
【点评】
本题以我国古代数学的“三角垛”为背景，将规律探究和一元二次方程的应用结合，既锻炼了学生的归纳推理能力，又提醒学生解决实际问题时要注意验证解是否符合现实意义。
【难度系数】
0.7
首先观察各“三角垛”的圆珠数量：第1个有1颗，第2个有$1+2=3$颗，第3个有$1+2+3=6$颗，第4个有$1+2+3+4=10$颗，可归纳得出第$n$个“三角垛”的圆珠数为前$n$个正整数的和，对应计算公式为$\frac{n(n+1)}{2}$。
(1) 求第6个的圆珠数，直接将$n=6$代入上述公式计算即可；
(2) 假设存在符合要求的“三角垛”，令圆珠数等于300，列一元二次方程求解，若解为正整数则存在，否则不存在，注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
(1) 由已知规律可得，第$n$个“三角垛”的圆珠数为$S_n=1+2+3+\dots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$。
当$n=6$时，$S_6=\frac{1}{2}×6×(6+1)=21$。
(2) 存在，理由如下：
令$\frac{1}{2}n(n+1)=300$，
整理得：$n^2 +n -600=0$，
因式分解得：$(n+25)(n-24)=0$，
解得：$n_1=24$，$n_2=-25$。
因为$n$代表“三角垛”的序号，必须为正整数，因此舍去$n=-25$，即$n=24$符合题意。
【答案】
(1) $\boxed{21}$
(2) 存在，$\boxed{n=24}$
【知识点】
图形规律探究；一元二次方程的应用；实际问题解的检验
【点评】
本题以我国古代数学的“三角垛”为背景，将规律探究和一元二次方程的应用结合，既锻炼了学生的归纳推理能力，又提醒学生解决实际问题时要注意验证解是否符合现实意义。
【难度系数】
0.7
10.探究:在一次聚会上,规定每两个人见面必须握手,且只握手1次.
(1)若3人参加聚会,则共握手
(2)若参加聚会的人共握手45次,请求出参加聚会的人数.
(3)嘉嘉给琪琪出题:“若在∠AOB的内部由顶点O引出m条射线(不含OA,OB边),角的总数为20个,求m的值.”琪琪认为,在这个问题所给条件下,角的总数不可能为20个.琪琪的想法对吗?为什么?
(1)若3人参加聚会,则共握手
3
次;若6人参加聚会,则共握手15
次;若参加聚会的人数为n(n为正整数),则共握手$\dfrac{1}{2}n(n-1)$
次.(2)若参加聚会的人共握手45次,请求出参加聚会的人数.
(3)嘉嘉给琪琪出题:“若在∠AOB的内部由顶点O引出m条射线(不含OA,OB边),角的总数为20个,求m的值.”琪琪认为,在这个问题所给条件下,角的总数不可能为20个.琪琪的想法对吗?为什么?
答案
10.(1)3 15 $\dfrac{1}{2}n(n-1)$
(2)设有 x 人参加聚会,根据题意得$\dfrac{1}{2}x(x-1)=45$,解得 $x_1=10$,$x_2=-9$(舍去).
参加聚会的有 10 人.
(3)琪琪的想法对.
理由如下:根据题意,每两条射线(含 OA,OB)可组成一个角,设从点 O 共引出 m 条射线,
若共有 20 个角,则有 $\dfrac{1}{2}(m+1)(m+2)=20$,解得 $m=\dfrac{-3\pm\sqrt{161}}{2}$,与 m 为正整数矛盾,所以不可能有 20 个角.
(2)设有 x 人参加聚会,根据题意得$\dfrac{1}{2}x(x-1)=45$,解得 $x_1=10$,$x_2=-9$(舍去).
参加聚会的有 10 人.
(3)琪琪的想法对.
理由如下:根据题意,每两条射线(含 OA,OB)可组成一个角,设从点 O 共引出 m 条射线,
若共有 20 个角,则有 $\dfrac{1}{2}(m+1)(m+2)=20$,解得 $m=\dfrac{-3\pm\sqrt{161}}{2}$,与 m 为正整数矛盾,所以不可能有 20 个角.
解析
【分析】
这道题属于单循环计数类实际问题，解题核心是理解重复计数需除以2的逻辑：
(1) 握手问题中，每个人要和除自己外的其余人握手，直接计算$n(n-1)$时每一次握手会被重复计数1次，因此除以2可得实际次数，代入具体人数即可算出结果；
(2) 已知握手总次数，直接代入(1)的计数公式列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可；
(3) 角的计数和握手问题是同模型：每两条射线可组成1个角，等价于每两个人握手1次，先确定总射线条数，再代入计数公式列方程，判断解是否为正整数即可验证琪琪的想法是否正确。
【解析】
(1) 3人参加聚会时，握手次数为$\dfrac{1}{2}×3×(3-1)=3$次；
6人参加聚会时，握手次数为$\dfrac{1}{2}×6×(6-1)=15$次；
$n$人参加聚会时，总握手次数为$\dfrac{1}{2}n(n-1)$次。
(2) 设参加聚会的人数为$x$人，根据题意列方程：
$\dfrac{1}{2}x(x-1)=45$
整理得$x^2-x-90=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-9$，人数不能为负，舍去$x_2$。
(3) 琪琪的想法对，理由如下：
$∠ AOB$内部引出$m$条射线时，总共有$(m+2)$条射线（含$OA$、$OB$），角的总数为$\dfrac{1}{2}(m+2)(m+1)$个。
若角的总数为20，列方程得：
$\dfrac{1}{2}(m+2)(m+1)=20$
整理得$m^2+3m-38=0$，解得$m=\dfrac{-3\pm\sqrt{161}}{2}$。
由于$m$为射线条数，必须为非负整数，上述解不符合要求，因此角的总数不可能为20个。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；$\boxed{15}$；$\boxed{\dfrac{1}{2}n(n-1)}$
(2) $\boxed{10}$人
(3) 琪琪的想法对，理由见解析。
【知识点】
1. 单循环计数规律
2. 一元二次方程的应用
3. 角的计数
【点评】
本题将握手问题的计数规律迁移到角的计数问题中，属于同构类实际应用，解题关键是找到不同场景下通用的单循环计数逻辑，同时要注意实际问题中未知数的取值要符合现实意义，需舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
这道题属于单循环计数类实际问题，解题核心是理解重复计数需除以2的逻辑：
(1) 握手问题中，每个人要和除自己外的其余人握手，直接计算$n(n-1)$时每一次握手会被重复计数1次，因此除以2可得实际次数，代入具体人数即可算出结果；
(2) 已知握手总次数，直接代入(1)的计数公式列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可；
(3) 角的计数和握手问题是同模型：每两条射线可组成1个角，等价于每两个人握手1次，先确定总射线条数，再代入计数公式列方程，判断解是否为正整数即可验证琪琪的想法是否正确。
【解析】
(1) 3人参加聚会时，握手次数为$\dfrac{1}{2}×3×(3-1)=3$次；
6人参加聚会时，握手次数为$\dfrac{1}{2}×6×(6-1)=15$次；
$n$人参加聚会时，总握手次数为$\dfrac{1}{2}n(n-1)$次。
(2) 设参加聚会的人数为$x$人，根据题意列方程：
$\dfrac{1}{2}x(x-1)=45$
整理得$x^2-x-90=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-9$，人数不能为负，舍去$x_2$。
(3) 琪琪的想法对，理由如下：
$∠ AOB$内部引出$m$条射线时，总共有$(m+2)$条射线（含$OA$、$OB$），角的总数为$\dfrac{1}{2}(m+2)(m+1)$个。
若角的总数为20，列方程得：
$\dfrac{1}{2}(m+2)(m+1)=20$
整理得$m^2+3m-38=0$，解得$m=\dfrac{-3\pm\sqrt{161}}{2}$。
由于$m$为射线条数，必须为非负整数，上述解不符合要求，因此角的总数不可能为20个。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；$\boxed{15}$；$\boxed{\dfrac{1}{2}n(n-1)}$
(2) $\boxed{10}$人
(3) 琪琪的想法对，理由见解析。
【知识点】
1. 单循环计数规律
2. 一元二次方程的应用
3. 角的计数
【点评】
本题将握手问题的计数规律迁移到角的计数问题中，属于同构类实际应用，解题关键是找到不同场景下通用的单循环计数逻辑，同时要注意实际问题中未知数的取值要符合现实意义，需舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
