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9.我国宋朝数学家杨辉,曾将大小相同的圆珠逐层堆积,形成“三角垛”.如图,由圆珠堆积成“三角垛”,第1个“三角垛”有1颗圆珠,第2个“三角垛”有3颗圆珠,第3个“三角垛”有6颗圆珠,第4个“三角垛”有10颗圆珠……
(1)第6个“三角垛”有
(2)是否存在第n个“三角垛”,使得圆珠数为300颗?如果存在,求出n的值;如果不存在,请说明理由.
(1)第6个“三角垛”有
21
颗圆珠.(2)是否存在第n个“三角垛”,使得圆珠数为300颗?如果存在,求出n的值;如果不存在,请说明理由.
答案
9.(1)21
(2)根据题意得 $\dfrac{1}{2}n(n+1)=300$,整理得 $n^2+n-600=0$,
即$(n+25)(n-24)=0$,解得 $n_1=24$,$n_2=-25$(舍去).
故第 24 个“三角垛”圆珠数为 300 颗.
(2)根据题意得 $\dfrac{1}{2}n(n+1)=300$,整理得 $n^2+n-600=0$,
即$(n+25)(n-24)=0$,解得 $n_1=24$,$n_2=-25$(舍去).
故第 24 个“三角垛”圆珠数为 300 颗.
解析
【分析】
首先观察已知的4个“三角垛”的圆珠数量：第1个有1颗，第2个有3=1+2颗，第3个有6=1+2+3颗，第4个有10=1+2+3+4颗，可归纳出第n个“三角垛”的圆珠数是从1到n的连续正整数的和，用求和公式得到通用表达式$\frac{n(n+1)}{2}$。第一问直接将n=6代入表达式计算即可；第二问令表达式等于300，得到关于n的一元二次方程，求解后结合n为正整数的实际意义判断结果是否符合要求。
【解析】
(1) 观察规律可得：
第1个“三角垛”圆珠数：$\frac{1×(1+1)}{2}=1$
第2个“三角垛”圆珠数：$\frac{2×(2+1)}{2}=3$
第3个“三角垛”圆珠数：$\frac{3×(3+1)}{2}=6$
……
第n个“三角垛”圆珠数为$\frac{n(n+1)}{2}$
当n=6时，圆珠数为$\frac{6×(6+1)}{2}=21$
(2) 假设存在第n个“三角垛”的圆珠数为300颗，根据题意列方程：
$\frac{1}{2}n(n+1)=300$
整理得$n^2+n-600=0$
因式分解得$(n+25)(n-24)=0$
解得$n_1=24$，$n_2=-25$
因为n是正整数，故舍去$n=-25$。
【答案】
(1)21
(2)存在，n的值为24
【知识点】
图形规律探究，一元二次方程的应用，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合古代“三角垛”的数学背景，既考查了归纳规律的能力，也考查了一元二次方程的实际应用，解题关键是正确推导第n个“三角垛”圆珠数的表达式，同时注意实际问题中未知数的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
首先观察已知的4个“三角垛”的圆珠数量：第1个有1颗，第2个有3=1+2颗，第3个有6=1+2+3颗，第4个有10=1+2+3+4颗，可归纳出第n个“三角垛”的圆珠数是从1到n的连续正整数的和，用求和公式得到通用表达式$\frac{n(n+1)}{2}$。第一问直接将n=6代入表达式计算即可；第二问令表达式等于300，得到关于n的一元二次方程，求解后结合n为正整数的实际意义判断结果是否符合要求。
【解析】
(1) 观察规律可得：
第1个“三角垛”圆珠数：$\frac{1×(1+1)}{2}=1$
第2个“三角垛”圆珠数：$\frac{2×(2+1)}{2}=3$
第3个“三角垛”圆珠数：$\frac{3×(3+1)}{2}=6$
……
第n个“三角垛”圆珠数为$\frac{n(n+1)}{2}$
当n=6时，圆珠数为$\frac{6×(6+1)}{2}=21$
(2) 假设存在第n个“三角垛”的圆珠数为300颗，根据题意列方程：
$\frac{1}{2}n(n+1)=300$
整理得$n^2+n-600=0$
因式分解得$(n+25)(n-24)=0$
解得$n_1=24$，$n_2=-25$
因为n是正整数，故舍去$n=-25$。
【答案】
(1)21
(2)存在，n的值为24
【知识点】
图形规律探究，一元二次方程的应用，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合古代“三角垛”的数学背景，既考查了归纳规律的能力，也考查了一元二次方程的实际应用，解题关键是正确推导第n个“三角垛”圆珠数的表达式，同时注意实际问题中未知数的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
10.探究:在一次聚会上,规定每两个人见面必须握手,且只握手1次.
(1)若3人参加聚会,则共握手
(2)若参加聚会的人共握手45次,请求出参加聚会的人数.
(3)嘉嘉给琪琪出题:“若在∠AOB的内部由顶点O引出m条射线(不含OA,OB边),角的总数为20个,求m的值.”琪琪认为,在这个问题所给条件下,角的总数不可能为20个.琪琪的想法对吗?为什么?
(1)若3人参加聚会,则共握手
3
次;若6人参加聚会,则共握手15
次;若参加聚会的人数为n(n为正整数),则共握手$\dfrac{1}{2}n(n-1)$
次.(2)若参加聚会的人共握手45次,请求出参加聚会的人数.
(3)嘉嘉给琪琪出题:“若在∠AOB的内部由顶点O引出m条射线(不含OA,OB边),角的总数为20个,求m的值.”琪琪认为,在这个问题所给条件下,角的总数不可能为20个.琪琪的想法对吗?为什么?
答案
10.(1)3 15 $\dfrac{1}{2}n(n-1)$
(2)设有 x 人参加聚会,根据题意得$\dfrac{1}{2}x(x-1)=45$,解得 $x_1=10$,$x_2=-9$(舍去).
参加聚会的有 10 人.
(3)琪琪的想法对.
理由如下:根据题意,每两条射线(含 OA,OB)可组成一个角,设从点 O 共引出 m 条射线,
若共有 20 个角,则有 $\dfrac{1}{2}(m+1)(m+2)=20$,解得 $m=\dfrac{-3\pm\sqrt{161}}{2}$,与 m 为正整数矛盾,所以不可能有 20 个角.
(2)设有 x 人参加聚会,根据题意得$\dfrac{1}{2}x(x-1)=45$,解得 $x_1=10$,$x_2=-9$(舍去).
参加聚会的有 10 人.
(3)琪琪的想法对.
理由如下:根据题意,每两条射线(含 OA,OB)可组成一个角,设从点 O 共引出 m 条射线,
若共有 20 个角,则有 $\dfrac{1}{2}(m+1)(m+2)=20$,解得 $m=\dfrac{-3\pm\sqrt{161}}{2}$,与 m 为正整数矛盾,所以不可能有 20 个角.
解析
【分析】
本题属于“两两组合不重复”的计数类实际问题，核心是掌握同类计数问题的通用逻辑：
1. 第(1)问：握手时每个人需和除自己外的所有人各握1次，n个人初步计数为$n(n-1)$次，但每一次握手被两人各统计1次存在重复，因此除以2得到实际握手次数，代入具体人数即可算出对应结果，再推导通用公式。
2. 第(2)问：将总握手次数代入第(1)问的通用公式，列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到参会人数。
3. 第(3)问：角的计数和握手问题是同逻辑模型：从顶点O出发的每两条射线可组成1个角，引出m条射线后加上OA、OB总共有$(m+2)$条射线，参照握手公式列出角的总数表达式，令其等于20解方程，判断解是否为正整数即可验证琪琪的想法是否正确。
【解析】
(1) 3人参加聚会时，每人握手2次，初步计数为$3×2=6$次，去除重复计数后，实际握手次数为$6÷2=3$次；
6人参加聚会时，同理初步计数为$6×5=30$次，实际握手次数为$30÷2=15$次；
若有n人参加聚会，每人握手$(n-1)$次，去除重复计数后，总握手次数为$\dfrac{1}{2}n(n-1)$次。
(2) 设参加聚会的人数为$x$，根据题意列方程：
$\dfrac{1}{2}x(x-1)=45$
整理得$x^2-x-90=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-9$。
因为人数不能为负数，所以舍去$x_2=-9$，即参加聚会的有10人。
(3) 琪琪的想法对，理由如下：
∠AOB内部引出m条射线后，从O点出发的射线总共有$(m+2)$条（含OA、OB），参照握手计数模型，角的总个数为$\dfrac{1}{2}(m+2)(m+1)$。
若角的总数为20个，列方程得：
$\dfrac{1}{2}(m+2)(m+1)=20$
整理得$m^2+3m-38=0$，用求根公式解得$m=\dfrac{-3\pm\sqrt{161}}{2}$。
因为m为射线的条数，必须是正整数，上述解不符合实际意义，因此角的总数不可能为20个，琪琪的想法正确。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；$\boxed{15}$；$\boxed{\dfrac{1}{2}n(n-1)}$
(2) $\boxed{10}$人
(3) 琪琪的想法对，理由见解析。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 握手计数模型
3. 角的计数
【点评】
本题将生活场景问题和几何计数问题结合，考查数学建模能力和方程求解能力，解题时要学会类比同逻辑的计数问题，解方程后需结合实际意义检验根的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
本题属于“两两组合不重复”的计数类实际问题，核心是掌握同类计数问题的通用逻辑：
1. 第(1)问：握手时每个人需和除自己外的所有人各握1次，n个人初步计数为$n(n-1)$次，但每一次握手被两人各统计1次存在重复，因此除以2得到实际握手次数，代入具体人数即可算出对应结果，再推导通用公式。
2. 第(2)问：将总握手次数代入第(1)问的通用公式，列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到参会人数。
3. 第(3)问：角的计数和握手问题是同逻辑模型：从顶点O出发的每两条射线可组成1个角，引出m条射线后加上OA、OB总共有$(m+2)$条射线，参照握手公式列出角的总数表达式，令其等于20解方程，判断解是否为正整数即可验证琪琪的想法是否正确。
【解析】
(1) 3人参加聚会时，每人握手2次，初步计数为$3×2=6$次，去除重复计数后，实际握手次数为$6÷2=3$次；
6人参加聚会时，同理初步计数为$6×5=30$次，实际握手次数为$30÷2=15$次；
若有n人参加聚会，每人握手$(n-1)$次，去除重复计数后，总握手次数为$\dfrac{1}{2}n(n-1)$次。
(2) 设参加聚会的人数为$x$，根据题意列方程：
$\dfrac{1}{2}x(x-1)=45$
整理得$x^2-x-90=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-9$。
因为人数不能为负数，所以舍去$x_2=-9$，即参加聚会的有10人。
(3) 琪琪的想法对，理由如下：
∠AOB内部引出m条射线后，从O点出发的射线总共有$(m+2)$条（含OA、OB），参照握手计数模型，角的总个数为$\dfrac{1}{2}(m+2)(m+1)$。
若角的总数为20个，列方程得：
$\dfrac{1}{2}(m+2)(m+1)=20$
整理得$m^2+3m-38=0$，用求根公式解得$m=\dfrac{-3\pm\sqrt{161}}{2}$。
因为m为射线的条数，必须是正整数，上述解不符合实际意义，因此角的总数不可能为20个，琪琪的想法正确。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；$\boxed{15}$；$\boxed{\dfrac{1}{2}n(n-1)}$
(2) $\boxed{10}$人
(3) 琪琪的想法对，理由见解析。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 握手计数模型
3. 角的计数
【点评】
本题将生活场景问题和几何计数问题结合，考查数学建模能力和方程求解能力，解题时要学会类比同逻辑的计数问题，解方程后需结合实际意义检验根的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
