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11. 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.
（1）该店有客房多少间？房客多少人？
（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加.每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间及以上（含18间），房费按八折优惠.若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更划算？
（1）该店有客房多少间？房客多少人？
（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加.每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间及以上（含18间），房费按八折优惠.若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更划算？
答案
(1) 设该店有客房$x$间.由题意，得$7x+7=9x-9$，解得$x=8$，$7×8+7=63$(人).所以该店有客房8间，房客63人。
(2) 如果每4人一个房间，$63÷4=15\dfrac{3}{4}$(间)，需要16间客房，总费用为$16×20=320$(钱).如果订18间，其中有四个人一起住，有三个人一起住，则总费用为$18×20×0.8=288$(钱)，$288＜320$，所以他们再次入住订18间房时更划算。
(2) 如果每4人一个房间，$63÷4=15\dfrac{3}{4}$(间)，需要16间客房，总费用为$16×20=320$(钱).如果订18间，其中有四个人一起住，有三个人一起住，则总费用为$18×20×0.8=288$(钱)，$288＜320$，所以他们再次入住订18间房时更划算。
解析
【分析】
（1）解题时抓住“房客总人数不变”这一核心不变量，设客房数量为未知数，分别根据两种住房规则表示出总人数，列一元一次方程求解即可得到客房数和房客数。
（2）第二问属于方案选择问题，需分别计算两类订房方案的总费用：第一种是按每间最多住4人的要求，算出需要的最少客房数，按原价计算总费用；第二种是按优惠规则订18间客房，计算打折后的总费用，比较两种费用的大小，费用更低的方案更划算。
【解析】
（1）解：设该店有客房$x$间。
根据房客总人数相等列方程：
$7x + 7 = 9x - 9$
移项得：$9+7=9x-7x$
合并同类项得：$16=2x$
系数化为1得：$x=8$
代入计算房客人数：$7×8+7=63$（人）
（2）解：若按每间最多住4人正常订房：
$63÷4=15\dfrac{3}{4}$，房间数为正整数，因此需要16间客房。
总费用为：$16×20=320$（钱）
若按优惠规则订18间客房：
总费用为：$18×20×0.8=288$（钱）
因为$288＜320$，所以订18间房更划算。
【答案】
（1）该店有客房8间，房客63人；
（2）订18间房更划算。
【知识点】
一元一次方程的应用，方案优化选择，有理数运算
【点评】
本题结合古代数学典籍内容出题，趣味性较强，既考查了利用方程解决实际问题的建模思想，又考查了结合生活场景的决策分析能力，解题时需注意实际问题中数值的取值要求（如房间数为正整数），不要遗漏优惠方案的计算。
【难度系数】
0.7
（1）解题时抓住“房客总人数不变”这一核心不变量，设客房数量为未知数，分别根据两种住房规则表示出总人数，列一元一次方程求解即可得到客房数和房客数。
（2）第二问属于方案选择问题，需分别计算两类订房方案的总费用：第一种是按每间最多住4人的要求，算出需要的最少客房数，按原价计算总费用；第二种是按优惠规则订18间客房，计算打折后的总费用，比较两种费用的大小，费用更低的方案更划算。
【解析】
（1）解：设该店有客房$x$间。
根据房客总人数相等列方程：
$7x + 7 = 9x - 9$
移项得：$9+7=9x-7x$
合并同类项得：$16=2x$
系数化为1得：$x=8$
代入计算房客人数：$7×8+7=63$（人）
（2）解：若按每间最多住4人正常订房：
$63÷4=15\dfrac{3}{4}$，房间数为正整数，因此需要16间客房。
总费用为：$16×20=320$（钱）
若按优惠规则订18间客房：
总费用为：$18×20×0.8=288$（钱）
因为$288＜320$，所以订18间房更划算。
【答案】
（1）该店有客房8间，房客63人；
（2）订18间房更划算。
【知识点】
一元一次方程的应用，方案优化选择，有理数运算
【点评】
本题结合古代数学典籍内容出题，趣味性较强，既考查了利用方程解决实际问题的建模思想，又考查了结合生活场景的决策分析能力，解题时需注意实际问题中数值的取值要求（如房间数为正整数），不要遗漏优惠方案的计算。
【难度系数】
0.7
12. 甲、乙两地的铁路比公路长 40 km，汽车从甲地先开出，速度为 60 km/h，开出 0.5 h后，火车也从甲地开出，速度为 80 km/h，结果汽车反比火车晚1 h到达乙地. 甲、乙两地铁路、公路各长多少千米？
答案
设甲、乙两地的公路长$x$ km，则铁路长$(x+40)$ km.由题意，得$\dfrac{x}{60}-\dfrac{x+40}{80}=1+0.5$，解得$x=480$，$480+40=520$(km).
∴甲、乙两地的公路长480 km，铁路长520 km。
∴甲、乙两地的公路长480 km，铁路长520 km。
解析
【分析】
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的公式找到等量关系。首先明确两类数量关系：①铁路长度=公路长度+40km；②汽车行驶总时间比火车多：汽车提前出发的0.5h+汽车比火车晚到的1h=1.5h。我们可以设公路长度为未知数，用含未知数的式子分别表示汽车和火车的行驶时间，再根据时间差列方程求解即可。
【解析】
解：设甲、乙两地的公路长$x$ km，则铁路长$(x+40)$ km。
汽车行驶全程的时间为$\dfrac{x}{60}$ h，火车行驶全程的时间为$\dfrac{x+40}{80}$ h。
根据汽车总用时比火车多$0.5+1=1.5$ h，列方程得：
$\dfrac{x}{60}-\dfrac{x+40}{80}=1+0.5$
去分母（两边同乘240）得：$4x - 3(x+40)=360$
去括号得：$4x - 3x - 120=360$
移项合并同类项得：$x=480$
则铁路长度为：$480+40=520$（km）
【答案】
甲、乙两地公路长480 km，铁路长520 km。
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题公式；列方程解应用题
【点评】
本题是典型的行程类方程应用题，解题的关键是准确梳理两种交通工具的时间差，避免漏算提前出发或晚到的时间，计算过程中注意解一元一次方程的规范步骤，避免去分母、去括号时出现计算错误。
【难度系数】
0.6
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的公式找到等量关系。首先明确两类数量关系：①铁路长度=公路长度+40km；②汽车行驶总时间比火车多：汽车提前出发的0.5h+汽车比火车晚到的1h=1.5h。我们可以设公路长度为未知数，用含未知数的式子分别表示汽车和火车的行驶时间，再根据时间差列方程求解即可。
【解析】
解：设甲、乙两地的公路长$x$ km，则铁路长$(x+40)$ km。
汽车行驶全程的时间为$\dfrac{x}{60}$ h，火车行驶全程的时间为$\dfrac{x+40}{80}$ h。
根据汽车总用时比火车多$0.5+1=1.5$ h，列方程得：
$\dfrac{x}{60}-\dfrac{x+40}{80}=1+0.5$
去分母（两边同乘240）得：$4x - 3(x+40)=360$
去括号得：$4x - 3x - 120=360$
移项合并同类项得：$x=480$
则铁路长度为：$480+40=520$（km）
【答案】
甲、乙两地公路长480 km，铁路长520 km。
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题公式；列方程解应用题
【点评】
本题是典型的行程类方程应用题，解题的关键是准确梳理两种交通工具的时间差，避免漏算提前出发或晚到的时间，计算过程中注意解一元一次方程的规范步骤，避免去分母、去括号时出现计算错误。
【难度系数】
0.6
13. 在甲处劳动的有 31 人,在乙处劳动的有 20 人. 现调往 18 人去支援,要使甲处劳动的人数是乙处劳动的人数的 2 倍,应调往甲、乙两处各多少人?
答案
调往甲处15人，调往乙处3人。
解析
【分析】
这是一道典型的人员调配类一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步先设未知数，可设调往甲处的人数为x，那么调往乙处的人数就是总支援人数18减去x；第二步找等量关系，题目明确调配后甲处人数是乙处的2倍，所以等量关系为“调配后甲处人数=2×调配后乙处人数”；第三步分别表示出调配后甲乙两处的人数：甲处原有31人，调入x人后为(31+x)人，乙处原有20人，调入(18-x)人后为[20+(18-x)]人；第四步根据等量关系列方程求解，最后检验结果是否符合实际情况即可。
【解析】
解：设应调往甲处x人，则调往乙处的人数为(18-x)人。
根据题意，调配后甲处人数是乙处人数的2倍，可列方程：
$31 + x = 2×[20 + (18 - x)]$
先计算括号内的项：
$31 + x = 2×(38 - x)$
展开右侧：
$31 + x = 76 - 2x$
移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧：
$x + 2x = 76 - 31$
合并同类项：
$3x = 45$
系数化为1：
$x = 15$
则调往乙处的人数为：$18 - 15 = 3$（人）
检验：调配后甲处人数为$31+15=46$人，乙处人数为$20+3=23$人，$46=2×23$，符合题意。
【答案】
调往甲处15人，调往乙处3人。
【知识点】
一元一次方程应用；调配问题；等量关系建立
【点评】
本题属于基础的方程应用题型，解题核心是准确梳理调配前后两处的人数变化，抓住题干给出的倍数关系建立正确的等量关系，计算过程中注意移项要变号，求出结果后可代入题干条件检验，确保答案符合要求。
【难度系数】
0.7
这是一道典型的人员调配类一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步先设未知数，可设调往甲处的人数为x，那么调往乙处的人数就是总支援人数18减去x；第二步找等量关系，题目明确调配后甲处人数是乙处的2倍，所以等量关系为“调配后甲处人数=2×调配后乙处人数”；第三步分别表示出调配后甲乙两处的人数：甲处原有31人，调入x人后为(31+x)人，乙处原有20人，调入(18-x)人后为[20+(18-x)]人；第四步根据等量关系列方程求解，最后检验结果是否符合实际情况即可。
【解析】
解：设应调往甲处x人，则调往乙处的人数为(18-x)人。
根据题意，调配后甲处人数是乙处人数的2倍，可列方程：
$31 + x = 2×[20 + (18 - x)]$
先计算括号内的项：
$31 + x = 2×(38 - x)$
展开右侧：
$31 + x = 76 - 2x$
移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧：
$x + 2x = 76 - 31$
合并同类项：
$3x = 45$
系数化为1：
$x = 15$
则调往乙处的人数为：$18 - 15 = 3$（人）
检验：调配后甲处人数为$31+15=46$人，乙处人数为$20+3=23$人，$46=2×23$，符合题意。
【答案】
调往甲处15人，调往乙处3人。
【知识点】
一元一次方程应用；调配问题；等量关系建立
【点评】
本题属于基础的方程应用题型，解题核心是准确梳理调配前后两处的人数变化，抓住题干给出的倍数关系建立正确的等量关系，计算过程中注意移项要变号，求出结果后可代入题干条件检验，确保答案符合要求。
【难度系数】
0.7
