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14. 甲组的4名工人12月份完成的总工作量比这个月人均额定工作量的3倍少1件，乙组的6名工人12月份完成的总工作量比这个月人均额定工作量的5倍多7件.如果甲组工人这个月实际完成的人均工作量比乙组这个月实际完成的人均工作量少2件，那么这个月人均额定工作量是多少件？
答案
设这个月人均额定工作量是$x$件.由题意，得$\dfrac{3x-1}{4}=\dfrac{5x+7}{6}-2$，解得$x=7$。
解析
【分析】
首先明确题目所求为月人均额定工作量，我们可以将其设为未知数$x$。接下来分别推导甲、乙两组的实际人均工作量：甲组4人总工作量为$3x-1$，因此人均工作量为总工作量除以人数，即$\frac{3x-1}{4}$；乙组6人总工作量为$5x+7$，因此人均工作量为$\frac{5x+7}{6}$。题目给出甲组实际人均工作量比乙组少2件，即“甲组人均工作量=乙组人均工作量-2”，根据这个等量关系即可列出一元一次方程，求解即可得到答案。
【解析】
解：设这个月人均额定工作量是$x$件。
根据题意列方程得：
$\dfrac{3x-1}{4}=\dfrac{5x+7}{6}-2$
去分母（两边同时乘12），得：
$3(3x-1)=2(5x+7)-24$
去括号，得：
$9x-3=10x+14-24$
移项，得：
$9x-10x=14-24+3$
合并同类项，得：
$-x=-7$
系数化为1，得：
$x=7$
【答案】
7件
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 工作量问题求解
【点评】
本题属于典型的一元一次方程实际应用类题目，解题核心是准确梳理不同主体的工作量表达式，抓住题干给出的数量关系建立方程，侧重考察审题能力和等量关系的提取能力，计算过程简单易掌握。
【难度系数】
0.7
首先明确题目所求为月人均额定工作量，我们可以将其设为未知数$x$。接下来分别推导甲、乙两组的实际人均工作量：甲组4人总工作量为$3x-1$，因此人均工作量为总工作量除以人数，即$\frac{3x-1}{4}$；乙组6人总工作量为$5x+7$，因此人均工作量为$\frac{5x+7}{6}$。题目给出甲组实际人均工作量比乙组少2件，即“甲组人均工作量=乙组人均工作量-2”，根据这个等量关系即可列出一元一次方程，求解即可得到答案。
【解析】
解：设这个月人均额定工作量是$x$件。
根据题意列方程得：
$\dfrac{3x-1}{4}=\dfrac{5x+7}{6}-2$
去分母（两边同时乘12），得：
$3(3x-1)=2(5x+7)-24$
去括号，得：
$9x-3=10x+14-24$
移项，得：
$9x-10x=14-24+3$
合并同类项，得：
$-x=-7$
系数化为1，得：
$x=7$
【答案】
7件
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 工作量问题求解
【点评】
本题属于典型的一元一次方程实际应用类题目，解题核心是准确梳理不同主体的工作量表达式，抓住题干给出的数量关系建立方程，侧重考察审题能力和等量关系的提取能力，计算过程简单易掌握。
【难度系数】
0.7
15. 为了鼓励居民节约用水，某县城从2023年1月起对用户的自来水收费实行三级阶梯价格，标准如下：用户如果每月用水量不超过15 t，按每吨3元收费；如果超过15 t、不超过40 t，超过部分按每吨4元收费；如果超过40 t，超过部分按每吨5.2元收费.
（1）小明家7月份用水m t(15＜m≤40)，请用含m的代数式表示小明家7月份应缴水费为
（2）若小明家8月份所缴水费平均每吨3.8元，则小明家8月份应缴水费多少元？
（1）小明家7月份用水m t(15＜m≤40)，请用含m的代数式表示小明家7月份应缴水费为
$(4m-15)$
元；（2）若小明家8月份所缴水费平均每吨3.8元，则小明家8月份应缴水费多少元？
答案
(1) $(4m-15)$
(2) 小明家8月份应缴水费171元。
(2) 小明家8月份应缴水费171元。
解析
【分析】
（1）已知$15＜m≤40$，水费分两部分计算：前15吨按每吨3元收费，超过15吨的部分按每吨4元收费，分别计算两部分费用后相加，整理即可得到代数式。
（2）首先根据平均水价判断用水量所在的阶梯档位：平均水价3.8元高于第一档单价3元，且高于40吨用水量的平均单价$(15×3 + 25×4)÷40=3.625$元，因此用水量超过40吨。设8月份用水量为$x$吨，根据“总水费=平均水价×用水量”和“阶梯计费总费用”列一元一次方程，求解用水量后计算总水费即可。
【解析】
（1）前15吨的水费为：$15×3=45$元
超过15吨的水量为$(m-15)$吨，这部分水费为：$4(m-15)$元
总水费$=45 + 4(m-15) = 45 +4m -60 = (4m -15)$元
（2）首先判断用水量档位：
当用水量刚好为40吨时，总水费为$15×3 + (40-15)×4 = 45 + 100 = 145$元，平均水价为$145÷40=3.625$元
因为$3.625＜3.8$，所以小明家8月份用水量超过40吨。
设小明家8月份用水量为$x$吨，根据题意列方程：
$15×3 + (40-15)×4 + 5.2(x-40) = 3.8x$
化简得：$145 +5.2x -208 = 3.8x$
移项得：$5.2x - 3.8x = 208 - 145$
合并同类项得：$1.4x = 63$
解得：$x=45$
总水费为：$3.8×45=171$元
【答案】
（1）$\boldsymbol{(4m-15)}$
（2）小明家8月份应缴水费171元。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；阶梯计费问题
【点评】
本题是阶梯计费类的典型应用题，解题的核心是先明确不同档位的收费规则，结合已知条件判断用水量所属的档位，再根据费用的等量关系列代数式或方程求解，考查了分类讨论思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
（1）已知$15＜m≤40$，水费分两部分计算：前15吨按每吨3元收费，超过15吨的部分按每吨4元收费，分别计算两部分费用后相加，整理即可得到代数式。
（2）首先根据平均水价判断用水量所在的阶梯档位：平均水价3.8元高于第一档单价3元，且高于40吨用水量的平均单价$(15×3 + 25×4)÷40=3.625$元，因此用水量超过40吨。设8月份用水量为$x$吨，根据“总水费=平均水价×用水量”和“阶梯计费总费用”列一元一次方程，求解用水量后计算总水费即可。
【解析】
（1）前15吨的水费为：$15×3=45$元
超过15吨的水量为$(m-15)$吨，这部分水费为：$4(m-15)$元
总水费$=45 + 4(m-15) = 45 +4m -60 = (4m -15)$元
（2）首先判断用水量档位：
当用水量刚好为40吨时，总水费为$15×3 + (40-15)×4 = 45 + 100 = 145$元，平均水价为$145÷40=3.625$元
因为$3.625＜3.8$，所以小明家8月份用水量超过40吨。
设小明家8月份用水量为$x$吨，根据题意列方程：
$15×3 + (40-15)×4 + 5.2(x-40) = 3.8x$
化简得：$145 +5.2x -208 = 3.8x$
移项得：$5.2x - 3.8x = 208 - 145$
合并同类项得：$1.4x = 63$
解得：$x=45$
总水费为：$3.8×45=171$元
【答案】
（1）$\boldsymbol{(4m-15)}$
（2）小明家8月份应缴水费171元。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；阶梯计费问题
【点评】
本题是阶梯计费类的典型应用题，解题的核心是先明确不同档位的收费规则，结合已知条件判断用水量所属的档位，再根据费用的等量关系列代数式或方程求解，考查了分类讨论思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
16. 试根据图中信息,解答下列问题:
（1）购买8根跳绳需
（2）小红比小明多买2根,付款时小红反而比小明少5元,你认为有这种可能吗?若有,请求出小红购买跳绳的根数;若没有,请说明理由.
（1）购买8根跳绳需
200
元,购买14根跳绳需280
元;（2）小红比小明多买2根,付款时小红反而比小明少5元,你认为有这种可能吗?若有,请求出小红购买跳绳的根数;若没有,请说明理由.
答案
(1) 200 280
(2) 有这种可能，小红购买跳绳11根。
(2) 有这种可能，小红购买跳绳11根。
解析
【分析】
首先明确优惠规则：购买跳绳不超过10根时，单价为25元/根；超过10根时，总价按原价的八折计算。
（1）第一问先判断购买数量是否符合优惠条件，对应计算总价即可：8根不足10根，按原价计算；14根超过10根，按原价总价打八折计算。
（2）第二问出现多买反而少付钱的情况，说明两人购买数量分别在不同的收费分段：小明购买数量不足10根（无优惠），小红购买数量超过10根（享八折优惠）。设小红购买跳绳的根数为x，用含x的式子表示小明的购买数量，再根据“小明付款金额-小红付款金额=5元”列方程求解，最后验证解是否符合分段要求即可。
【解析】
（1）购买8根跳绳，未超过10根，总价为：$8×25=200$（元）
购买14根跳绳，超过10根，享受八折优惠，总价为：$14×25×0.8=280$（元）
（2）有这种可能，理由如下：
设小红购买了$x$根跳绳，由题意可知小红购买数量超过10根，小明购买数量不足10根，因此小明购买了$(x-2)$根。
根据付款差额列方程：
$25(x-2) - 25x×0.8 = 5$
展开计算：
$25x - 50 - 20x = 5$
合并同类项：
$5x = 55$
解得：$x=11$
验证：$x=11＞10$，$x-2=9＜10$，符合两人分别在不同收费分段的条件，因此成立。
【答案】
(1) 200；280
(2) 有这种可能，小红购买跳绳11根。
【知识点】
折扣问题；一元一次方程的应用；分段计费问题
【点评】
本题结合生活中的促销优惠场景，考查了不同计费规则下的费用计算和方程应用，解题的关键是准确判断不同购买数量对应的收费标准，注意对解的合理性进行验证。
【难度系数】
0.7
首先明确优惠规则：购买跳绳不超过10根时，单价为25元/根；超过10根时，总价按原价的八折计算。
（1）第一问先判断购买数量是否符合优惠条件，对应计算总价即可：8根不足10根，按原价计算；14根超过10根，按原价总价打八折计算。
（2）第二问出现多买反而少付钱的情况，说明两人购买数量分别在不同的收费分段：小明购买数量不足10根（无优惠），小红购买数量超过10根（享八折优惠）。设小红购买跳绳的根数为x，用含x的式子表示小明的购买数量，再根据“小明付款金额-小红付款金额=5元”列方程求解，最后验证解是否符合分段要求即可。
【解析】
（1）购买8根跳绳，未超过10根，总价为：$8×25=200$（元）
购买14根跳绳，超过10根，享受八折优惠，总价为：$14×25×0.8=280$（元）
（2）有这种可能，理由如下：
设小红购买了$x$根跳绳，由题意可知小红购买数量超过10根，小明购买数量不足10根，因此小明购买了$(x-2)$根。
根据付款差额列方程：
$25(x-2) - 25x×0.8 = 5$
展开计算：
$25x - 50 - 20x = 5$
合并同类项：
$5x = 55$
解得：$x=11$
验证：$x=11＞10$，$x-2=9＜10$，符合两人分别在不同收费分段的条件，因此成立。
【答案】
(1) 200；280
(2) 有这种可能，小红购买跳绳11根。
【知识点】
折扣问题；一元一次方程的应用；分段计费问题
【点评】
本题结合生活中的促销优惠场景，考查了不同计费规则下的费用计算和方程应用，解题的关键是准确判断不同购买数量对应的收费标准，注意对解的合理性进行验证。
【难度系数】
0.7
