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12. 如图，点A和点B分别表示两个禁渔监测点，B点在A点的西南方向，禁渔期间，有一可疑船只C出现在附近。已知船只C在A点南偏东$70°$方向上，在B点北偏东$70°$方向上，则船只C看A，B两个禁渔监测点的视角$∠ ACB$的度数为。
答案
$\boldsymbol{40°}$
解析
【分析】
解题时先结合方向角的定义和平行线的性质，先求出△ABC中两个内角∠BAC、∠ABC的度数，再利用三角形内角和定理计算∠ACB即可。具体思路：①根据正北方向线互相平行，结合“B在A的西南方向”得到AB与正北线的夹角度数；②结合C相对于A、B的方向角，分别计算∠BAC和∠ABC的度数；③代入三角形内角和公式求出最终结果。
【解析】
由方向的性质可知，图中两条标注“北”的虚线互相平行。
∵B点在A点的西南方向（即南偏西45°），结合平行线内错角相等的性质，可得从B点看A点为北偏东45°，即B点正北线与BA的夹角为45°。
∵C在B点北偏东70°方向上，
∴∠ABC = 70° - 45° = 25°。
∵C在A点南偏东70°方向上，
∴∠BAC = 45° + 70° = 115°。
根据三角形内角和为180°，得：
∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 115° - 25° = 40°。
【答案】
$\boldsymbol{40°}$
【知识点】
方向角识别，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合实际方向判断的场景考查三角形角度计算，解题核心是准确理解方向角的含义，结合平行线性质推导三角形内角度数，再用内角和定理求解，是几何和实际应用结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合方向角的定义和平行线的性质，先求出△ABC中两个内角∠BAC、∠ABC的度数，再利用三角形内角和定理计算∠ACB即可。具体思路：①根据正北方向线互相平行，结合“B在A的西南方向”得到AB与正北线的夹角度数；②结合C相对于A、B的方向角，分别计算∠BAC和∠ABC的度数；③代入三角形内角和公式求出最终结果。
【解析】
由方向的性质可知，图中两条标注“北”的虚线互相平行。
∵B点在A点的西南方向（即南偏西45°），结合平行线内错角相等的性质，可得从B点看A点为北偏东45°，即B点正北线与BA的夹角为45°。
∵C在B点北偏东70°方向上，
∴∠ABC = 70° - 45° = 25°。
∵C在A点南偏东70°方向上，
∴∠BAC = 45° + 70° = 115°。
根据三角形内角和为180°，得：
∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 115° - 25° = 40°。
【答案】
$\boldsymbol{40°}$
【知识点】
方向角识别，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合实际方向判断的场景考查三角形角度计算，解题核心是准确理解方向角的含义，结合平行线性质推导三角形内角度数，再用内角和定理求解，是几何和实际应用结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
13.现有一张三角形纸片ABC,点D,E分别是BC,AC上两点,将纸片沿直线DE折叠,折成如图的形状.
(1)若∠1=40°,∠2=20°,则∠C=.
(2)猜想∠1,∠2和∠C的数量关系,并说明理由.
(1)若∠1=40°,∠2=20°,则∠C=.
(2)猜想∠1,∠2和∠C的数量关系,并说明理由.
答案
(1) $\boldsymbol{30°}$
解析
【分析】
解决本题首先要利用折叠的性质：折叠前后对应角相等，可得∠C=∠C'，∠CED=∠C'ED，∠CDE=∠C'DE。再结合平角为180°，可得到∠1与∠CED、∠2与∠CDE的数量关系，最后结合三角形内角和定理，就能推导出∠1、∠2和∠C的关系，代入数值即可求解第一问。
【解析】
(1) 由折叠的性质可知：∠C'=∠C，∠CED=∠C'ED，∠CDE=∠C'DE。
根据平角的定义，得：
$∠ 1 + 2∠ CED = 180°$，$∠ 2 + 2∠ CDE = 180°$
将两式相加，得：
$∠ 1 + ∠ 2 + 2(∠ CED + ∠ CDE) = 360°$ ①
在$△ CDE$中，由三角形内角和定理可得：
$∠ CED + ∠ CDE + ∠ C = 180°$，即$∠ CED + ∠ CDE = 180° - ∠ C$
将上式代入①式：
$∠ 1 + ∠ 2 + 2(180° - ∠ C) = 360°$
化简得：$∠ 1 + ∠ 2 = 2∠ C$，即$∠ C = \frac{1}{2}(∠ 1 + ∠ 2)$
把$∠ 1=40°$，$∠ 2=20°$代入，得$∠ C = \frac{1}{2}×(40°+20°) = 30°$。
(2) 猜想：$\boldsymbol{∠ 1 + ∠ 2 = 2∠ C}$，理由如下：
同(1)的推导过程，由折叠性质、平角定义和三角形内角和定理，可化简得到$∠ 1 + ∠ 2 = 2∠ C$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$
(2) $\boldsymbol{∠ 1 + ∠ 2 = 2∠ C}$
【知识点】
折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义
【点评】
本题需要结合图形变换的性质和三角形角的性质推导数量关系，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，利用已知的角的性质建立等式，属于几何基础应用题，掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要利用折叠的性质：折叠前后对应角相等，可得∠C=∠C'，∠CED=∠C'ED，∠CDE=∠C'DE。再结合平角为180°，可得到∠1与∠CED、∠2与∠CDE的数量关系，最后结合三角形内角和定理，就能推导出∠1、∠2和∠C的关系，代入数值即可求解第一问。
【解析】
(1) 由折叠的性质可知：∠C'=∠C，∠CED=∠C'ED，∠CDE=∠C'DE。
根据平角的定义，得：
$∠ 1 + 2∠ CED = 180°$，$∠ 2 + 2∠ CDE = 180°$
将两式相加，得：
$∠ 1 + ∠ 2 + 2(∠ CED + ∠ CDE) = 360°$ ①
在$△ CDE$中，由三角形内角和定理可得：
$∠ CED + ∠ CDE + ∠ C = 180°$，即$∠ CED + ∠ CDE = 180° - ∠ C$
将上式代入①式：
$∠ 1 + ∠ 2 + 2(180° - ∠ C) = 360°$
化简得：$∠ 1 + ∠ 2 = 2∠ C$，即$∠ C = \frac{1}{2}(∠ 1 + ∠ 2)$
把$∠ 1=40°$，$∠ 2=20°$代入，得$∠ C = \frac{1}{2}×(40°+20°) = 30°$。
(2) 猜想：$\boldsymbol{∠ 1 + ∠ 2 = 2∠ C}$，理由如下：
同(1)的推导过程，由折叠性质、平角定义和三角形内角和定理，可化简得到$∠ 1 + ∠ 2 = 2∠ C$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$
(2) $\boldsymbol{∠ 1 + ∠ 2 = 2∠ C}$
【知识点】
折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义
【点评】
本题需要结合图形变换的性质和三角形角的性质推导数量关系，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，利用已知的角的性质建立等式，属于几何基础应用题，掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
14. 在$△ ABC$和$△ DEF$中，$∠ A=40°$，$∠ E+∠ F=70°$，将$△ DEF$放置在$△ ABC$上，使得$∠ D$的两条边$DE$，$DF$分别经过点$B$，$C$.
（1）当将$△ DEF$按如图①所示放置在$△ ABC$上时，求$∠ ABD+∠ ACD$的大小；
（2）当将$△ DEF$按如图②所示放置在$△ ABC$上时，求$∠ ABD+∠ ACD$的大小.
（1）当将$△ DEF$按如图①所示放置在$△ ABC$上时，求$∠ ABD+∠ ACD$的大小；
（2）当将$△ DEF$按如图②所示放置在$△ ABC$上时，求$∠ ABD+∠ ACD$的大小.
答案
解：
在$△ DEF$中，$∠ D + ∠ E + ∠ F = 180°$，
$\because ∠ E + ∠ F = 70°$，
$\therefore ∠ D = 180° - 70° = 110°$。
(1) 在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，
$\because ∠ A = 40°$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 40° = 140°$。
在$△ DBC$中，$∠ D + ∠ DBC + ∠ DCB = 180°$，
$\therefore ∠ DBC + ∠ DCB = 180° - 110° = 70°$。
$\therefore ∠ ABD + ∠ ACD = ∠ ABC + ∠ DBC + ∠ ACB + ∠ DCB$
$= (∠ ABC + ∠ ACB) + (∠ DBC + ∠ DCB)$
$= 140° + 70° = 210°$。
(2) 由图②可知：$∠ ABD = ∠ ABC - ∠ DBC$，$∠ ACD = ∠ ACB - ∠ DCB$，
$\therefore ∠ ABD + ∠ ACD = (∠ ABC + ∠ ACB) - (∠ DBC + ∠ DCB)$
$= 140° - 70° = 70°$。
答：(1) $∠ ABD + ∠ ACD$的大小为$210°$；(2) $∠ ABD + ∠ ACD$的大小为$70°$。
在$△ DEF$中，$∠ D + ∠ E + ∠ F = 180°$，
$\because ∠ E + ∠ F = 70°$，
$\therefore ∠ D = 180° - 70° = 110°$。
(1) 在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，
$\because ∠ A = 40°$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 40° = 140°$。
在$△ DBC$中，$∠ D + ∠ DBC + ∠ DCB = 180°$，
$\therefore ∠ DBC + ∠ DCB = 180° - 110° = 70°$。
$\therefore ∠ ABD + ∠ ACD = ∠ ABC + ∠ DBC + ∠ ACB + ∠ DCB$
$= (∠ ABC + ∠ ACB) + (∠ DBC + ∠ DCB)$
$= 140° + 70° = 210°$。
(2) 由图②可知：$∠ ABD = ∠ ABC - ∠ DBC$，$∠ ACD = ∠ ACB - ∠ DCB$，
$\therefore ∠ ABD + ∠ ACD = (∠ ABC + ∠ ACB) - (∠ DBC + ∠ DCB)$
$= 140° - 70° = 70°$。
答：(1) $∠ ABD + ∠ ACD$的大小为$210°$；(2) $∠ ABD + ∠ ACD$的大小为$70°$。
解析
【分析】
解题第一步先利用三角形内角和定理求出△DEF中∠D的度数，这是两问通用的前置条件。
(1) 观察图①可知，∠ABD由∠ABC和∠DBC组成，∠ACD由∠ACB和∠DCB组成，因此先分别求出△ABC中∠ABC+∠ACB的度数、△DBC中∠DBC+∠DCB的度数，两者相加即可得到所求角度和。
(2) 观察图②可知，∠ABD是∠ABC减去∠DBC的差，∠ACD是∠ACB减去∠DCB的差，因此用△ABC中∠ABC与∠ACB的和减去△DBC中∠DBC与∠DCB的和，即可得到所求角度和。
【解析】
首先计算∠D的度数：
在△DEF中，根据三角形内角和为180°，得$∠ D + ∠ E + ∠ F = 180°$，
已知$∠ E + ∠ F = 70°$，因此$∠ D = 180° - 70° = 110°$。
(1) 在△ABC中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，
已知$∠ A=40°$，因此$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 40° = 140°$。
在△DBC中，$∠ D + ∠ DBC + ∠ DCB = 180°$，
因此$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - 110° = 70°$。
所以$∠ ABD + ∠ ACD = (∠ ABC + ∠ DBC) + (∠ ACB + ∠ DCB) = (∠ ABC + ∠ ACB) + (∠ DBC + ∠ DCB) = 140° + 70° = 210°$。
(2) 由图②的角的组成可得：$∠ ABD = ∠ ABC - ∠ DBC$，$∠ ACD = ∠ ACB - ∠ DCB$，
因此$∠ ABD + ∠ ACD = (∠ ABC + ∠ ACB) - (∠ DBC + ∠ DCB) = 140° - 70° = 70°$。
【答案】
(1) $∠ ABD+∠ ACD$的大小为$210°$；(2) $∠ ABD+∠ ACD$的大小为$70°$
【知识点】
三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题核心考查三角形内角和定理的应用，解题关键是结合图形准确区分两种放置方式下，所求角和已知角之间的和差关系，审题时要注意观察图形的角的组成，避免混淆相加、相减的情况。
【难度系数】
0.7
解题第一步先利用三角形内角和定理求出△DEF中∠D的度数，这是两问通用的前置条件。
(1) 观察图①可知，∠ABD由∠ABC和∠DBC组成，∠ACD由∠ACB和∠DCB组成，因此先分别求出△ABC中∠ABC+∠ACB的度数、△DBC中∠DBC+∠DCB的度数，两者相加即可得到所求角度和。
(2) 观察图②可知，∠ABD是∠ABC减去∠DBC的差，∠ACD是∠ACB减去∠DCB的差，因此用△ABC中∠ABC与∠ACB的和减去△DBC中∠DBC与∠DCB的和，即可得到所求角度和。
【解析】
首先计算∠D的度数：
在△DEF中，根据三角形内角和为180°，得$∠ D + ∠ E + ∠ F = 180°$，
已知$∠ E + ∠ F = 70°$，因此$∠ D = 180° - 70° = 110°$。
(1) 在△ABC中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，
已知$∠ A=40°$，因此$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 40° = 140°$。
在△DBC中，$∠ D + ∠ DBC + ∠ DCB = 180°$，
因此$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - 110° = 70°$。
所以$∠ ABD + ∠ ACD = (∠ ABC + ∠ DBC) + (∠ ACB + ∠ DCB) = (∠ ABC + ∠ ACB) + (∠ DBC + ∠ DCB) = 140° + 70° = 210°$。
(2) 由图②的角的组成可得：$∠ ABD = ∠ ABC - ∠ DBC$，$∠ ACD = ∠ ACB - ∠ DCB$，
因此$∠ ABD + ∠ ACD = (∠ ABC + ∠ ACB) - (∠ DBC + ∠ DCB) = 140° - 70° = 70°$。
【答案】
(1) $∠ ABD+∠ ACD$的大小为$210°$；(2) $∠ ABD+∠ ACD$的大小为$70°$
【知识点】
三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题核心考查三角形内角和定理的应用，解题关键是结合图形准确区分两种放置方式下，所求角和已知角之间的和差关系，审题时要注意观察图形的角的组成，避免混淆相加、相减的情况。
【难度系数】
0.7
15.【分类讨论思想】当三角形中一个内角β是另外一个内角α的$\frac{1}{2}$时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角。如果一个“友好三角形”中有一个内角为$42°$，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为。
答案
解：分三种情况讨论：
① 当42°的内角为友好角α时，$α=42°$，则$β=\frac{1}{2}α=21°$，第三个内角为$180°-42°-21°=117°$，符合三角形内角和定理，成立；
② 当42°的内角为$β$时，由$β=\frac{1}{2}α$，得$α=2β=84°$，第三个内角为$180°-84°-42°=54°$，符合三角形内角和定理，成立；
③ 当42°的内角既不是$α$也不是$β$时，由三角形内角和为$180°$，得$α + \frac{1}{2}α + 42°=180°$，解得$α=92°$，此时$β=46°$，符合三角形内角和定理，成立。
综上，这个“友好三角形”的“友好角$α$”的度数为$42°$或$84°$或$92°$。
① 当42°的内角为友好角α时，$α=42°$，则$β=\frac{1}{2}α=21°$，第三个内角为$180°-42°-21°=117°$，符合三角形内角和定理，成立；
② 当42°的内角为$β$时，由$β=\frac{1}{2}α$，得$α=2β=84°$，第三个内角为$180°-84°-42°=54°$，符合三角形内角和定理，成立；
③ 当42°的内角既不是$α$也不是$β$时，由三角形内角和为$180°$，得$α + \frac{1}{2}α + 42°=180°$，解得$α=92°$，此时$β=46°$，符合三角形内角和定理，成立。
综上，这个“友好三角形”的“友好角$α$”的度数为$42°$或$84°$或$92°$。
解析
【分析】
首先要读懂新定义：“友好三角形”中存在内角β=$\frac{1}{2}$α，α为友好角。题目仅给出三角形有一个内角为42°，未明确该角是α、β还是第三个内角，因此需要分三类情况讨论，每类情况结合三角形内角和为180°计算α的度数，验证结果符合内角要求后汇总即可。
【解析】
解：分三种情况讨论：
① 当42°的内角为友好角α时，α=42°，则β=$\frac{1}{2}$α=21°，第三个内角为$180°-42°-21°=117°$，符合三角形内角和定理，成立；
② 当42°的内角为β时，由$β=\frac{1}{2}α$，得$α=2β=2×42°=84°$，第三个内角为$180°-84°-42°=54°$，符合三角形内角和定理，成立；
③ 当42°的内角既不是α也不是β时，由三角形内角和为180°，可得$α + \frac{1}{2}α + 42°=180°$，解得$α=92°$，此时$β=46°$，符合三角形内角和定理，成立。
综上，这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为42°或84°或92°。
【答案】
$42°$或$84°$或$92°$
【知识点】
三角形内角和定理，分类讨论思想，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查三角形内角和的应用，解题关键是明确42°角的三种可能身份，分类讨论时注意验证结果是否符合三角形内角性质，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先要读懂新定义：“友好三角形”中存在内角β=$\frac{1}{2}$α，α为友好角。题目仅给出三角形有一个内角为42°，未明确该角是α、β还是第三个内角，因此需要分三类情况讨论，每类情况结合三角形内角和为180°计算α的度数，验证结果符合内角要求后汇总即可。
【解析】
解：分三种情况讨论：
① 当42°的内角为友好角α时，α=42°，则β=$\frac{1}{2}$α=21°，第三个内角为$180°-42°-21°=117°$，符合三角形内角和定理，成立；
② 当42°的内角为β时，由$β=\frac{1}{2}α$，得$α=2β=2×42°=84°$，第三个内角为$180°-84°-42°=54°$，符合三角形内角和定理，成立；
③ 当42°的内角既不是α也不是β时，由三角形内角和为180°，可得$α + \frac{1}{2}α + 42°=180°$，解得$α=92°$，此时$β=46°$，符合三角形内角和定理，成立。
综上，这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为42°或84°或92°。
【答案】
$42°$或$84°$或$92°$
【知识点】
三角形内角和定理，分类讨论思想，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查三角形内角和的应用，解题关键是明确42°角的三种可能身份，分类讨论时注意验证结果是否符合三角形内角性质，避免漏解。
【难度系数】
0.6
