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11.【空间观念】如图所示的是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图.
(1)甲折出的AD是
(2)乙折出的AD是
(3)丙折出的AD是
(1)甲折出的AD是
边BC上的高
；(2)乙折出的AD是
∠BAC的平分线
；(3)丙折出的AD是
边BC上的中线
.答案
11. (1)边BC上的高 (2)∠BAC的平分线 (3)边BC上的中线
解析
【分析】
解题时先明确折叠的性质：折叠前后对应角相等、对应边相等，再结合三角形的高、角平分线、中线的定义逐一判断即可。①判断甲的AD：观察折叠后AD和BC的夹角是否为直角；②判断乙的AD：观察折叠后AD是否平分顶角∠BAC；③判断丙的AD：观察折叠后D是否为BC的中点。
【解析】
(1) 甲图中，将△ADC沿AD折叠，点C落在BC边上的C'处，根据折叠的性质可得∠ADC=∠ADC'，又∠ADC+∠ADC'=180°，因此∠ADC=∠ADC'=90°，即AD⊥BC，所以AD是边BC上的高。
(2) 乙图中，将△ADC沿AD折叠，点C落在AB边上的C'处，根据折叠的性质可得∠CAD=∠C'AD，即AD平分∠BAC，所以AD是∠BAC的平分线。
(3) 丙图中，将△ADC沿AD折叠，点C与点B重合（C'与B重合），根据折叠的性质可得BD=CD，即D是边BC的中点，所以AD是边BC上的中线。
【答案】
(1)边BC上的高 (2)∠BAC的平分线 (3)边BC上的中线
【知识点】
三角形的高；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题结合折叠操作考查三角形三类重要线段的定义，解题核心是熟练掌握折叠的性质，结合三类线段的特征对应判断，能帮助学生建立几何操作和概念定义的关联，深化对知识点的理解。
【难度系数】
0.8
解题时先明确折叠的性质：折叠前后对应角相等、对应边相等，再结合三角形的高、角平分线、中线的定义逐一判断即可。①判断甲的AD：观察折叠后AD和BC的夹角是否为直角；②判断乙的AD：观察折叠后AD是否平分顶角∠BAC；③判断丙的AD：观察折叠后D是否为BC的中点。
【解析】
(1) 甲图中，将△ADC沿AD折叠，点C落在BC边上的C'处，根据折叠的性质可得∠ADC=∠ADC'，又∠ADC+∠ADC'=180°，因此∠ADC=∠ADC'=90°，即AD⊥BC，所以AD是边BC上的高。
(2) 乙图中，将△ADC沿AD折叠，点C落在AB边上的C'处，根据折叠的性质可得∠CAD=∠C'AD，即AD平分∠BAC，所以AD是∠BAC的平分线。
(3) 丙图中，将△ADC沿AD折叠，点C与点B重合（C'与B重合），根据折叠的性质可得BD=CD，即D是边BC的中点，所以AD是边BC上的中线。
【答案】
(1)边BC上的高 (2)∠BAC的平分线 (3)边BC上的中线
【知识点】
三角形的高；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题结合折叠操作考查三角形三类重要线段的定义，解题核心是熟练掌握折叠的性质，结合三类线段的特征对应判断，能帮助学生建立几何操作和概念定义的关联，深化对知识点的理解。
【难度系数】
0.8
12.(山东省中考改编)如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,$AE$平分$∠ BAC$.
(1)若$∠ B=70°$,$∠ C=30°$,求$∠ BAE$和$∠ DAE$的度数;
(2)若$∠ B - ∠ C=50°$,求$∠ DAE$的度数.
(1)若$∠ B=70°$,$∠ C=30°$,求$∠ BAE$和$∠ DAE$的度数;
(2)若$∠ B - ∠ C=50°$,求$∠ DAE$的度数.
答案
12. (1)解:因为$∠ B=70°,∠ C=30°$,所以$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-70°-30°=80°$.因为AE平分$∠ BAC$,所以$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×80°=40°$.因为$AD⊥BC$,所以$∠ BDA=90°$.所以$∠ DAB=180°-90°-∠ B=20°$.所以$∠ DAE=∠ BAE-∠ DAB=40°-20°=20°$.
(2)因为AE平分$∠ BAC$,所以$∠ BAE=\frac{180°-∠ B-∠ C}{2}$.因为$∠ BAD=180°-∠ BDA-∠ B=90°-∠ B$,所以$∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=\frac{180°-∠ B-∠ C}{2}-(90°-∠ B)=\frac{∠ B-∠ C}{2}$.因为$∠ B-∠ C=50°$,所以$∠ DAE=\frac{1}{2}×50°=25°$.
(2)因为AE平分$∠ BAC$,所以$∠ BAE=\frac{180°-∠ B-∠ C}{2}$.因为$∠ BAD=180°-∠ BDA-∠ B=90°-∠ B$,所以$∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=\frac{180°-∠ B-∠ C}{2}-(90°-∠ B)=\frac{∠ B-∠ C}{2}$.因为$∠ B-∠ C=50°$,所以$∠ DAE=\frac{1}{2}×50°=25°$.
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，首先利用三角形内角和为180°求出∠BAC的度数；再结合角平分线的定义，即可算出∠BAE的度数；然后根据AD⊥BC可知△ABD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余算出∠BAD的度数，最后用∠BAE减去∠BAD即可得到∠DAE的度数。
(2) 第二问无具体角度数值，可参照第一问的推导逻辑，先用∠B和∠C分别表示出∠BAE和∠BAD，将两式作差整理，得到∠DAE与∠B、∠C差值的关系，最后代入∠B-∠C=50°即可算出结果。
【解析】
(1) 已知∠B=70°，∠C=30°，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-70°-30°=80°$
因为AE平分$∠ BAC$，根据角平分线的定义：
$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×80°=40°$
因为$AD⊥ BC$，所以$∠ BDA=90°$，在$Rt△ ABD$中：
$∠ DAB=180°-90°-∠ B=20°$
因此$∠ DAE=∠ BAE-∠ DAB=40°-20°=20°$。
(2) 因为AE平分$∠ BAC$，所以：
$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{180°-∠ B-∠ C}{2}$
因为$AD⊥ BC$，所以$∠ BAD=90°-∠ B$，因此：
$∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=\frac{180°-∠ B-∠ C}{2}-(90°-∠ B)=\frac{∠ B-∠ C}{2}$
已知$∠ B-∠ C=50°$，代入得：
$∠ DAE=\frac{1}{2}×50°=25°$
【答案】
(1) $∠ BAE=40°$，$∠ DAE=20°$；
(2) $∠ DAE=25°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题结合三角形的高、角平分线的性质考查角的计算，既涉及固定角度的运算，也涉及代数式的推导，掌握三角形相关线段的性质和内角和定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，首先利用三角形内角和为180°求出∠BAC的度数；再结合角平分线的定义，即可算出∠BAE的度数；然后根据AD⊥BC可知△ABD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余算出∠BAD的度数，最后用∠BAE减去∠BAD即可得到∠DAE的度数。
(2) 第二问无具体角度数值，可参照第一问的推导逻辑，先用∠B和∠C分别表示出∠BAE和∠BAD，将两式作差整理，得到∠DAE与∠B、∠C差值的关系，最后代入∠B-∠C=50°即可算出结果。
【解析】
(1) 已知∠B=70°，∠C=30°，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-70°-30°=80°$
因为AE平分$∠ BAC$，根据角平分线的定义：
$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×80°=40°$
因为$AD⊥ BC$，所以$∠ BDA=90°$，在$Rt△ ABD$中：
$∠ DAB=180°-90°-∠ B=20°$
因此$∠ DAE=∠ BAE-∠ DAB=40°-20°=20°$。
(2) 因为AE平分$∠ BAC$，所以：
$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{180°-∠ B-∠ C}{2}$
因为$AD⊥ BC$，所以$∠ BAD=90°-∠ B$，因此：
$∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=\frac{180°-∠ B-∠ C}{2}-(90°-∠ B)=\frac{∠ B-∠ C}{2}$
已知$∠ B-∠ C=50°$，代入得：
$∠ DAE=\frac{1}{2}×50°=25°$
【答案】
(1) $∠ BAE=40°$，$∠ DAE=20°$；
(2) $∠ DAE=25°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题结合三角形的高、角平分线的性质考查角的计算，既涉及固定角度的运算，也涉及代数式的推导，掌握三角形相关线段的性质和内角和定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
1. 如图，$△ ABC$中，$AB=12$，$BC=9$，$BD$是$AC$边上的中线，若$△ ABD$的周长为26，则$△ BCD$的周长是（
A.20
B.23
C.26
D.28
B
）A.20
B.23
C.26
D.28
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线平分对边，因此由BD是AC边上的中线可得AD=CD。接下来分别写出△ABD和△BCD的周长表达式，观察两个周长的组成，发现二者都包含边BD，且AD=CD，因此两个周长的差值等于AB与BC的差值，代入已知数值即可求出△BCD的周长。
【解析】
∵BD是AC边上的中线，
∴D是AC的中点，即AD=CD。
已知△ABD的周长为26，即$AB + BD + AD = 26$，
将$AB=12$代入得：$12 + BD + AD = 26$，
∴$BD + AD = 26 - 12 = 14$。
△BCD的周长为$BC + BD + CD$，
又
∵$CD=AD$，
∴△BCD的周长$= BC + (BD + AD) = 9 + 14 = 23$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是利用三角形中线性质求解周长的典型基础题，解题的核心是抓住中线平分对边的特点，找到两个三角形周长之间的关联，通过等量代换简化计算，无需单独求解未知边的长度。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线平分对边，因此由BD是AC边上的中线可得AD=CD。接下来分别写出△ABD和△BCD的周长表达式，观察两个周长的组成，发现二者都包含边BD，且AD=CD，因此两个周长的差值等于AB与BC的差值，代入已知数值即可求出△BCD的周长。
【解析】
∵BD是AC边上的中线，
∴D是AC的中点，即AD=CD。
已知△ABD的周长为26，即$AB + BD + AD = 26$，
将$AB=12$代入得：$12 + BD + AD = 26$，
∴$BD + AD = 26 - 12 = 14$。
△BCD的周长为$BC + BD + CD$，
又
∵$CD=AD$，
∴△BCD的周长$= BC + (BD + AD) = 9 + 14 = 23$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是利用三角形中线性质求解周长的典型基础题，解题的核心是抓住中线平分对边的特点，找到两个三角形周长之间的关联，通过等量代换简化计算，无需单独求解未知边的长度。
【难度系数】
0.8
2.如图，在$△ ABC$中，$AB=10$，$AC=6$，$ED$是$△ BEC$的中线，点$E$在边$AB$上.若$△ BDE$的周长与四边形$ACDE$的周长相等，则线段$AE$的长为
2
.答案
2.2
解析
【分析】
解题时首先利用三角形中线的性质得到BD=CD，再分别表示出△BDE和四边形ACDE的周长，根据两者周长相等的条件消去公共边和相等的边，推导得出BE与AE、AC的数量关系，最后结合AB的总长度，通过设未知数列方程即可求出AE的长。
【解析】
∵ED是△BEC的中线，
∴D是BC的中点，即BD=CD。
△BDE的周长为：$BD + DE + BE$，
四边形ACDE的周长为：$AC + CD + DE + AE$，
由题意得两个周长相等，因此：
$BD + DE + BE = AC + CD + DE + AE$，
消去等式两边相同的$BD$（$BD=CD$）和$DE$，可得：
$BE = AC + AE$。
设$AE=x$，则$BE=AB - AE=10 - x$，代入$AC=6$得：
$10 - x = 6 + x$，
解得$x=2$，即$AE=2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形中线的定义，周长计算，方程思想
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用中线性质和周长相等的条件梳理出线段之间的数量关系，通过列简单方程即可求解，能很好地考查学生对三角形中线性质的应用能力和几何计算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用三角形中线的性质得到BD=CD，再分别表示出△BDE和四边形ACDE的周长，根据两者周长相等的条件消去公共边和相等的边，推导得出BE与AE、AC的数量关系，最后结合AB的总长度，通过设未知数列方程即可求出AE的长。
【解析】
∵ED是△BEC的中线，
∴D是BC的中点，即BD=CD。
△BDE的周长为：$BD + DE + BE$，
四边形ACDE的周长为：$AC + CD + DE + AE$，
由题意得两个周长相等，因此：
$BD + DE + BE = AC + CD + DE + AE$，
消去等式两边相同的$BD$（$BD=CD$）和$DE$，可得：
$BE = AC + AE$。
设$AE=x$，则$BE=AB - AE=10 - x$，代入$AC=6$得：
$10 - x = 6 + x$，
解得$x=2$，即$AE=2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形中线的定义，周长计算，方程思想
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用中线性质和周长相等的条件梳理出线段之间的数量关系，通过列简单方程即可求解，能很好地考查学生对三角形中线性质的应用能力和几何计算能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$，$F$分别为$BC$，$AD$，$CE$的中点，且$S_{△ ABC}=16\mathrm{cm}^2$，则$S_{\mathrm{阴影}}$的值为（
A.$1\mathrm{cm}^2$
B.$2\mathrm{cm}^2$
C.$3\mathrm{cm}^2$
D.$4\mathrm{cm}^2$
D
）A.$1\mathrm{cm}^2$
B.$2\mathrm{cm}^2$
C.$3\mathrm{cm}^2$
D.$4\mathrm{cm}^2$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时要用到三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的三角形。我们可以根据给出的中点，依次推导各部分三角形的面积：首先利用D是BC中点，求出△ABD和△ACD的面积；再利用E是AD中点，求出△BCE的面积；最后利用F是CE中点，即可求出阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×16=8\mathrm{cm}^2$，
∵点E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=4\mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=4\mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=4+4=8\mathrm{cm}^2$，
又
∵点F是CE的中点，
∴BF是△BCE的中线，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}^2$。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形中线的面积性质
2. 等底同高三角形面积关系
【点评】
本题是典型的利用中线求三角形面积的题型，核心是掌握三角形中线平分三角形面积的性质，多次运用该性质逐步推导即可得到结果，解题时要理清各中点对应的中线及所属三角形。
【难度系数】
0.8
解题时要用到三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的三角形。我们可以根据给出的中点，依次推导各部分三角形的面积：首先利用D是BC中点，求出△ABD和△ACD的面积；再利用E是AD中点，求出△BCE的面积；最后利用F是CE中点，即可求出阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×16=8\mathrm{cm}^2$，
∵点E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=4\mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=4\mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=4+4=8\mathrm{cm}^2$，
又
∵点F是CE的中点，
∴BF是△BCE的中线，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}^2$。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形中线的面积性质
2. 等底同高三角形面积关系
【点评】
本题是典型的利用中线求三角形面积的题型，核心是掌握三角形中线平分三角形面积的性质，多次运用该性质逐步推导即可得到结果，解题时要理清各中点对应的中线及所属三角形。
【难度系数】
0.8
4.如图，AE是$△ ABC$的中线.若$EC=6$，$DE=2$，则$S_{△ ABD}:S_{△ ACE}$的值为
$\frac{2}{3}$
.答案
4.$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
解题时首先利用三角形中线的性质：中线平分对边，且将三角形分成两个面积相等的三角形（等底同高），由此可得BE=EC=6，且$S_{△ABE}=S_{△ACE}$，此时只需计算$S_{△ABD}$与$S_{△ABE}$的比值即可。观察可知△ABD和△ABE同高（顶点均为A，底边在同一直线BC上），根据“同高的两个三角形面积比等于底边长的比”，先求出BD的长度，再计算比值即可得到结果。
【解析】
解：
∵AE是$△ABC$的中线，
∴$BE=EC=6$，且$S_{△ABE}=S_{△ACE}$（等底同高的三角形面积相等）。
∵$DE=2$，
∴$BD=BE-DE=6-2=4$。
∵△ABD和△ABE以A为顶点时，高均为点A到BC的垂线段长度，即两个三角形同高，
∴$S_{△ABD}:S_{△ABE}=BD:BE=4:6=2:3$。
结合$S_{△ABE}=S_{△ACE}$，可得：
$S_{△ABD}:S_{△ACE}=2:3=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
三角形中线的性质；同高三角形面积与底的关系
【点评】
本题是三角形面积计算的基础题型，解题的关键是灵活运用三角形中线平分面积的性质，以及同高三角形面积比等于对应底边长的比的规律，将所求面积比转化为线段长度比求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用三角形中线的性质：中线平分对边，且将三角形分成两个面积相等的三角形（等底同高），由此可得BE=EC=6，且$S_{△ABE}=S_{△ACE}$，此时只需计算$S_{△ABD}$与$S_{△ABE}$的比值即可。观察可知△ABD和△ABE同高（顶点均为A，底边在同一直线BC上），根据“同高的两个三角形面积比等于底边长的比”，先求出BD的长度，再计算比值即可得到结果。
【解析】
解：
∵AE是$△ABC$的中线，
∴$BE=EC=6$，且$S_{△ABE}=S_{△ACE}$（等底同高的三角形面积相等）。
∵$DE=2$，
∴$BD=BE-DE=6-2=4$。
∵△ABD和△ABE以A为顶点时，高均为点A到BC的垂线段长度，即两个三角形同高，
∴$S_{△ABD}:S_{△ABE}=BD:BE=4:6=2:3$。
结合$S_{△ABE}=S_{△ACE}$，可得：
$S_{△ABD}:S_{△ACE}=2:3=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
三角形中线的性质；同高三角形面积与底的关系
【点评】
本题是三角形面积计算的基础题型，解题的关键是灵活运用三角形中线平分面积的性质，以及同高三角形面积比等于对应底边长的比的规律，将所求面积比转化为线段长度比求解。
【难度系数】
0.7
