7.(亳州利辛县校级期末)如图,点A,F,B,E在同一条直线上,已知∠A=∠D,DE//BC,AB=DE.求证:∠C=∠DFE.

证明: $\because DE // BC, \therefore ∠ ABC=∠ E.$
在 $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 中,
$\because \begin{cases} ∠ A=∠ D, \\ AB=DE, \\ ∠ ABC=∠ E, \end{cases}$ $\therefore △ ABC ≌ △ DEF, (ASA), \therefore ∠ C=∠ DFE.$

【分析】
要证明∠C=∠DFE，首先观察两个角分别在△ABC和△DEF中，因此只需证明这两个三角形全等即可。首先利用DE//BC的条件，由平行线的性质可得到一组对应角∠ABC=∠E；再结合题目已知的∠A=∠D、AB=DE，刚好满足全等三角形的ASA判定条件，证明三角形全等后，根据全等三角形对应角相等即可得出结论。
【解析】
证明: $\because DE // BC, \therefore ∠ ABC=∠ E.$
在 $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 中,
$\because \begin{cases} ∠ A=∠ D, \\ AB=DE, \\ ∠ ABC=∠ E, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF, (ASA), \therefore ∠ C=∠ DFE.$
【答案】
证明: $\because DE // BC, \therefore ∠ ABC=∠ E.$
在 $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 中,
$\because \begin{cases} ∠ A=∠ D, \\ AB=DE, \\ ∠ ABC=∠ E, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF, (ASA), \therefore ∠ C=∠ DFE.$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形ASA判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何证明的基础题型，解题核心是先定位待证角所在的三角形，再结合已知条件推导全等所需的判定要素，属于全等证明的常规考点，需熟练掌握平行线性质和全等三角形相关定理的应用。
【难度系数】
0.8

8.(阜阳颍州区期末)如图,已知AC//DE,∠AFE=∠ABC,AB=BE.
(1)求证:△ABC≌△BED;
(2)若DE=4,CF=CD,求AF的长.

(1)证明: $\because AC // DE, \therefore ∠ ACB=∠ D, ∠ AFE=∠ E. \because ∠ AFE=∠ ABC, \therefore ∠ E=∠ ABC.$ 在 $△ ABC$ 和 $△ BED$ 中, $\begin{cases} ∠ ACB=∠ D, \\ ∠ ABC=∠ E, \\ AB=BE, \end{cases}$ $\therefore △ ABC ≌ △ BED. (AAS)$
(2)解: 由(1)知 $△ ABC ≌ △ BED, \therefore AC=BD, BC=DE=4. \because AC=CF+AF, BD=BC+CD, CF=CD, \therefore AF=BC=4.$

【分析】
（1）要证明△ABC≌△BED，先从已知AC//DE出发，根据平行线的性质可得两组角相等，再结合已知的∠AFE=∠ABC，可推导出全等需要的另一组对应角相等，最后结合已知的边相等AB=BE，即可用AAS判定两个三角形全等。
（2）根据全等三角形的性质可得到两组对应边相等，再将AC、BD分别拆成两段线段的和，结合已知CF=CD，通过等量代换即可推出AF和BC的等量关系，代入已知边长即可求出AF的长度。
【解析】
(1)证明: $\because AC // DE, \therefore ∠ ACB=∠ D, ∠ AFE=∠ E.$
$\because ∠ AFE=∠ ABC, \therefore ∠ E=∠ ABC.$
在 $△ ABC$ 和 $△ BED$ 中,
$\begin{cases} ∠ ACB=∠ D, \\ ∠ ABC=∠ E, \\ AB=BE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ BED. (\mathrm{AAS})$
(2)解: 由(1)知 $△ ABC ≌ △ BED, \therefore AC=BD, BC=DE=4.$
$\because AC=CF+AF, BD=BC+CD, CF=CD,$
$\therefore AF=BC=4.$
【答案】
(1) 证明成立，过程见解析；
(2) $AF=4$
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的AAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的常规应用题型，解题关键是利用平行线的性质得到角的等量关系，为全等判定提供条件，再结合全等的性质和线段和差关系推导未知线段长度，能有效锻炼几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7

9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心,AD长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,连接DE,DF.
(1)求证:△ADE≌△ADF;
(2)若∠BAC=80°,求∠BDE的度数.

(1)证明: $\because AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线, $\therefore ∠ BAD=∠ CAD.$ 由作图,知 $AE=AF.$ 在 $△ ADE$ 和 $△ ADF$ 中,
$\because \begin{cases} AE=AF, \\ ∠ BAD=∠ CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$ $\therefore △ ADE ≌ △ ADF. (SAS)$
(2)解: $\because ∠ BAC=80°, AD$ 为 $△ ABC$ 的角平分线, $\therefore ∠ EAD=\frac{1}{2}∠ BAC=40°.$ 由作图,知 $AE=AD. \therefore ∠ AED=∠ ADE, \therefore ∠ AED=\frac{1}{2} × (180°-40°)=70°. \because AB=AC, \therefore ∠ B=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=50°. \therefore ∠ BDE=∠ AED-∠ B=20°.$

【分析】
(1) 要证明△ADE≌△ADF，先梳理已知条件：AD是角平分线可得∠EAD=∠FAD，作图可知AE=AF，还有公共边AD=AD，刚好满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 求∠BDE的度数，可分步推导：首先根据角平分线定义算出∠EAD的度数，再结合AE=AD可知△AED为等腰三角形，可求出∠AED的度数；接着根据AB=AC求出等腰△ABC的底角∠B的度数；最后利用三角形外角的性质，∠AED是△BED的外角，因此∠BDE=∠AED-∠B，代入数值即可得到结果。
【解析】
(1) 证明: $\because AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线, $\therefore ∠ BAD=∠ CAD.$
由作图,知 $AE=AF.$
在 $△ ADE$ 和 $△ ADF$ 中,
$\because \begin{cases} AE=AF, \\ ∠ BAD=∠ CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ ADF. (SAS)$
(2) 解: $\because ∠ BAC=80°, AD$ 为 $△ ABC$ 的角平分线,
$\therefore ∠ EAD=\frac{1}{2}∠ BAC=40°.$
由作图,知 $AE=AD.$
$\therefore ∠ AED=∠ ADE,$
$\therefore ∠ AED=\frac{1}{2} × (180°-40°)=70°.$
$\because AB=AC,$
$\therefore ∠ B=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=50°.$
$\therefore ∠ BDE=∠ AED-∠ B=20°.$
【答案】
(1) △ADE≌△ADF得证；
(2) ∠BDE的度数为$\boldsymbol{20°}$
【知识点】
全等三角形判定、等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，将全等证明和角度计算结合考查，融合了角平分线、等腰三角形、三角形外角的相关性质，解题时只要逐步梳理已知条件，对应对应性质推导即可求解，能够很好地巩固基础几何知识。
【难度系数】
0.7