1. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC=BD,AC与BD相交于点E.求证:∠DAC=∠CBD.

证明: 在 $△ CDA$ 和 $△ DCB$ 中, $\because$
$\begin{cases} AD=BC, \\ AC=BD, \\ DC=CD, \end{cases}$ $\therefore △ CDA ≌ △ DCB.$
(SSS), $\therefore ∠ DAC=∠ CBD.$

【分析】
要证明∠DAC=∠CBD，可通过证明两角所在的三角形全等来实现。首先观察角的位置：∠DAC属于△CDA，∠CBD属于△DCB。已知条件给出AD=BC、AC=BD，且两个三角形有公共边DC=CD，满足三边对应相等的全等判定条件，因此先证△CDA≌△DCB，再结合全等三角形对应角相等的性质，就能推出待证结论。
【解析】
证明：在 $△ CDA$ 和 $△ DCB$ 中，
$\because\begin{cases}AD=BC (\mathrm{已知}), \\AC=BD (\mathrm{已知}), \\DC=CD (\mathrm{公共边相等}),\end{cases}$
$\therefore △ CDA ≌ △ DCB \ (\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠DAC=∠CBD (\mathrm{全等三角形对应角相等})$。
【答案】
证明: 在 $△ CDA$ 和 $△ DCB$ 中, $\because$
$\begin{cases} AD=BC, \\ AC=BD, \\ DC=CD, \end{cases}$ $\therefore △ CDA ≌ △ DCb.$
(SSS), $\therefore ∠ DAC=∠ CBD.$
【知识点】
1. SSS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题关键是准确锁定角所在的三角形，挖掘公共边这一隐含的相等条件，熟练运用全等三角形的判定与性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2.如图，已知$AB=CB$，$BE=BF$，$∠1=∠2$.求证：$△ ABE≌△ CBF$.

证明: $\because ∠ 1=∠ 2, \therefore ∠ 1+∠ EBF=∠ 2 + ∠ EBF$, 即 $∠ ABE =∠ CBF$. 在 $△ ABE$ 和 $△ CBF$ 中,
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ ABE=∠ CBF, \\ BE=BF, \end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ CBF. (SAS)$

【分析】
要证明△ABE≌△CBF，先梳理已知条件：题目已给出两组对应边相等：AB=CB、BE=BF。根据全等三角形的判定定理，若使用边角边（SAS）证明全等，还需要得到这两组边的夹角相等，即∠ABE=∠CBF。观察图形可知∠ABE=∠1+∠EBF，∠CBF=∠2+∠EBF，结合已知∠1=∠2，利用等式的性质即可推出两个夹角相等，满足SAS的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：$\because ∠1=∠2$，
$\therefore ∠1+∠EBF=∠2+∠EBF$，即$∠ABE=∠CBF$。
在$△ ABE$和$△ CBF$中：
$\begin{cases}AB=CB, \\∠ABE=∠CBF, \\BE=BF,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CBF(\mathrm{SAS})$。
【答案】
$△ ABE≌△ CBF$
【知识点】
全等三角形SAS判定，角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题的核心是通过角的和差关系推导出两组对应边的夹角相等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决此类问题的前提。
【难度系数】
0.8

3.已知:如图,点E,F在线段BD上,AF⊥BD,CE⊥BD,AD=CB,DE=BF,求证:AF=CE.

证明: $\because DE=BF, \therefore DE+EF=BF+EF$, 即 $DF=BE$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADF$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBE$ 中, $\because \begin{cases} AD=CB, \\ DF=BE, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ADF ≌ \mathrm{Rt}△ CBE. (HL), \therefore AF=CE.$

【分析】
要证明AF=CE，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先定位待证线段所属的三角形：AF在Rt△ADF中，CE在Rt△CBE中，已知两个三角形的斜边AD=CB，只需再证明一组直角边相等即可用HL判定全等。已知DE=BF，给两条线段同时加上公共部分EF，就能得到直角边DF=BE，满足全等判定条件，最后通过全等三角形对应边相等的性质即可得到结论。
【解析】
证明：$\because DE=BF$，$\therefore DE+EF=BF+EF$，即$DF=BE$。
$\because AF⊥ BD$，$CE⊥ BD$，$\therefore △ ADF$和$△ CBE$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ CBE$中，
$\begin{cases}AD=CB, \\DF=BE,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADF ≌ \mathrm{Rt}△ CBE \ (\mathrm{HL})$，
$\therefore AF=CE$。
【答案】
证明: $\because DE=BF, \therefore DE+EF=BF+EF$, 即 $DF=BE$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADF$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBE$ 中, $\because \begin{cases} AD=CB, \\ DF=BE, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ADF ≌ \mathrm{Rt}△ CBE. (HL), \therefore AF=CE.$
【知识点】
线段和差计算、HL判定全等、全等三角形性质
【点评】
本题是全等证明的基础题型，解题核心是通过线段和差转化得到全等所需的边相等条件，考察了直角三角形全等判定及全等性质的基础应用，能帮助学生掌握证明线段相等的常规思路。
【难度系数】
0.85

4.如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求证:BD=CE.

证明: 在 $△ ABE$ 和 $△ ACD$ 中,
$\begin{cases} ∠ A=∠ A, \\ AB=AC, \\ ∠ B=∠ C, \end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ ACD.$
(ASA), $\therefore AD=AE. \therefore AB-AD=AC-AE$, 即 $BD=CE.$

【分析】
要证明BD=CE，已知AB=AC，可先证AD=AE，通过AB-AD=AC-AE推导待证结论。AD、AE分别是△ACD和△ABE的边，观察两个三角形的已知条件：有公共角∠A，且已知AB=AC、∠B=∠C，刚好满足ASA全等判定的条件，因此先证明△ABE≌△ACD，得到对应边AD=AE，再利用线段的和差关系即可推出BD=CE。
【解析】
证明：在 $△ ABE$ 和 $△ ACD$ 中，
$\begin{cases} ∠A=∠A, \\ AB=AC, \\ ∠B=∠C, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ACD \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore AD=AE$，
$\therefore AB-AD=AC-AE$，即 $BD=CE$。
【答案】
证明: 在 $△ ABE$ 和 $△ ACD$ 中,
$\begin{cases} ∠ A=∠ A, \\ AB=AC, \\ ∠ B=∠ C, \end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ ACD.$
(ASA), $\therefore AD=AE. \therefore AB-AD=AC-AE$, 即 $BD=CE.$
【知识点】
ASA判定三角形全等，全等三角形对应边相等，等式的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题关键是挖掘公共角这一隐含条件，结合已知判定三角形全等，再利用全等性质和线段和差关系推导结论，能帮助学生掌握全等证明的常规思路。
【难度系数】
0.8

5. 如图,点A,C,D,B在同一条直线上,且AC=BD,∠A=∠B,∠E=∠F.
(1)求证:△ADE≌△BCF;
(2)若∠BCF=75°,求∠CMD的度数.

(1)证明: $\because AC=BD, \therefore AC+CD=BD+CD$, 即 $AD=BC$. 在 $△ ADE$ 和 $△ BCF$ 中, $\because \begin{cases} ∠ E=∠ F, \\ ∠ A=∠ B, \\ AD=BC, \end{cases}$ $\therefore △ ADE ≌ △ BCF. (AAS)$
(2)解: $\because △ ADE ≌ △ BCF, \therefore ∠ BCF=∠ ADE. \because ∠ BCF=75°, \therefore ∠ ADE=75°. \therefore ∠ CMD=180°-∠ BCF-∠ ADE=30°.$

【分析】
(1)要证明△ADE≌△BCF，已知两组对应角相等，仅缺一组对应边相等的条件。结合已知AC=BD，给两条线段同时加上公共线段CD，即可得到AD=BC，满足AAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2)求∠CMD的度数时，先利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠ADE=∠BCF=75°，再在△CMD中用三角形内角和为180°，减去两个已知角的度数，即可算出∠CMD的大小。
【解析】
(1)证明：
$\because AC=BD$，
$\therefore AC+CD=BD+CD$，即$AD=BC$。
在$△ ADE$和$△ BCF$中：
$\begin{cases} ∠E=∠F \\ ∠A=∠B \\ AD=BC \end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ BCF \ (\mathrm{AAS})$。
(2)解：
$\because △ ADE ≌ △ BCF$，
$\therefore ∠ADE=∠BCF$，
$\because ∠BCF=75°$，
$\therefore ∠ADE=75°$，
$\therefore ∠CMD=180°-∠BCF-∠ADE=180°-75°-75°=30°$。
【答案】
(1)$△ ADE≌△ BCF$得证；
(2)$∠ CMD=30°$
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形相关知识的基础考查题，需要掌握线段和差转化相等边的技巧，熟练运用全等的判定和性质解决问题，是全等模块的典型基础习题。
【难度系数】
0.8

6.将两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，AC与DF交于点O，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？请说明理由。

解: $△ AOF$ 与 $△ DOC$ 全等. 理由如下:由题意,得 $△ ABC ≌ △ DEF, \therefore BC=EF, AB=DE, ∠ A=∠ D. \therefore AB-EF=DE-BC$, 即 $AF=DC$.
在 $△ AOF$ 和 $△ DOC$ 中,
$\because \begin{cases} ∠ AOF=∠ DOC, \\ ∠ A=∠ D, \\ AF=DC, \end{cases}$ $\therefore △ AOF ≌ △ DOC. (AAS)$

【分析】
要判断△AOF和△DOC是否全等，可按以下思路推导：首先由两块三角形纸板完全相同，可得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质能得到∠A=∠D，AB=DE，BC=EF；接着观察待证的两个三角形，存在对顶角∠AOF=∠DOC，此时已经有两组角对应相等，只需再证明一组对应边相等即可；利用已得的边的等量关系做差，可推出AF=DC，满足AAS全等判定的条件，即可证明两个三角形全等。
【解析】
解：△AOF与△DOC全等，理由如下：
由题意得$△ ABC ≌ △ DEF$，
$\therefore BC=EF, AB=DE, ∠ A=∠ D$，
$\therefore AB-EF=DE-BC$，即$AF=DC$。
在$△ AOF$和$△ DOC$中，
$\because \begin{cases} ∠ AOF=∠ DOC, \\ ∠ A=∠ D, \\ AF=DC, \end{cases}$
$\therefore △ AOF ≌ △ DOC. (AAS)$
【答案】
$△ AOF$与$△ DOC$全等。
【知识点】
全等三角形的性质、对顶角的性质、全等三角形的AAS判定
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是先通过已知的全等关系得到对应角、对应边的等量关系，再结合对顶角相等的隐含条件，使用AAS判定定理完成证明，能帮助学生掌握全等证明的基本逻辑。
【难度系数】
0.8