1.如图，点A,B,C,D在一条直线上，EA//FB，EA=FB，AB=CD.
(1)求证：∠E=∠F；
(2)若∠A=40°,∠D=80°,求∠E的度数.

(1)证明:
∵EA//FB,
∴∠A=∠FBD.
∵AB=CD,
∴AB+BC=CD+BC,即AC=BD.在△EAC和△FBD 中，$\begin{cases} EA=FB, \\ ∠A=∠FBD, \\ AC=BD, \end{cases}$
∴△EAC≌△FBD.(SAS)
∴∠E=∠F.
(2)解:
∵△EAC≌△FBD,
∴∠ECA=∠D=80°.
∵∠A=40°,
∴∠E=180°-40°-80°=60°.

【分析】
(1) 要证明∠E=∠F，可通过证明两角所在的三角形全等推导。首先根据EA//FB，利用平行线的同位角相等性质可得∠A=∠FBD；再由AB=CD，等式两边同时加公共线段BC，可推得AC=BD；结合已知EA=FB，刚好满足SAS全等判定条件，证明△EAC≌△FBD后，根据全等三角形对应角相等即可得到∠E=∠F。
(2) 由(1)的全等结论，可得对应角∠ECA=∠D，已知∠A和∠D的度数，根据三角形内角和为180°，减去△EAC中另外两个内角的度数，即可求出∠E的度数。
【解析】
(1) 证明:
∵EA//FB,
∴∠A=∠FBD.
∵AB=CD,
∴AB+BC=CD+BC,即AC=BD.
在△EAC和△FBD 中，
$\begin{cases} EA=FB, \\ ∠A=∠FBD, \\ AC=BD, \end{cases}$
∴△EAC≌△FBD(SAS).
∴∠E=∠F.
(2) 解:
∵△EAC≌△FBD,
∴∠ECA=∠D=80°.
∵∠A=40°,
∴∠E=180°-∠A-∠ECA=180°-40°-80°=60°.
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{60°}$
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础类题型，解题核心是结合已知条件找到全等三角形的判定依据，再利用全等性质转化角度关系求解，考察了学生对基础几何定理的综合运用能力，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7

2. 如图，$△ ABC$是等边三角形，点$D$在$AC$上，以$BD$为一边作等边三角形$BDE$，连接$CE$.
(1)求证：$△ ABD≌△ CBE$；
(2)若$∠ BEC=82°$，求$∠ DBC$的度数.

(1)证明:
∵△ABC和△BDE都是等边三角形,
∴AB=CB,BD=BE,∠ABC=∠DBE=60°,
∴∠ABC-∠DBC = ∠DBE - ∠DBC, 即∠ABD = ∠CBE. 在△ABD和△CBE 中,
∵$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABD=∠CBE, \\ BD=BE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CBE;(SAS)
(2)解:
∵△ABD≌△CBE,
∴∠BCE=∠A=60°.
∴∠CBE=180°-∠BEC-∠BCE=180°-82°-60°=38°,
∴∠DBC=∠DBE-∠CBE=60°-38°=22°.

【分析】
(1)要证明△ABD≌△CBE，先从已知的两个等边三角形入手，等边三角形三边相等、内角均为60°，可得AB=CB、BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°；两个相等的角同时减去公共角∠DBC，即可得到两边的夹角∠ABD=∠CBE，满足SAS全等判定条件，即可证明全等。
(2)求∠DBC的度数时，先利用第一问的全等结论，得到对应角∠BCE=∠A=60°；再在△BEC中利用三角形内角和为180°，算出∠CBE的度数；最后结合等边△BDE的内角∠DBE=60°，用∠DBE减去∠CBE即可得到∠DBC的度数。
【解析】
(1)证明:
∵△ABC和△BDE都是等边三角形,
∴AB=CB,BD=BE,∠ABC=∠DBE=60°,
∴∠ABC-∠DBC = ∠DBE - ∠DBC, 即∠ABD = ∠CBE.
在△ABD和△CBE 中,
∵$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABD=∠CBE, \\ BD=BE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CBE(SAS)
(2)解:
∵△ABD≌△CBE,
∴∠BCE=∠A=60°.
∴∠CBE=180°-∠BEC-∠BCE=180°-82°-60°=38°,
∴∠DBC=∠DBE-∠CBE=60°-38°=22°.
【答案】
(1)△ABD≌△CBE得证；(2)∠DBC的度数为22°
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是利用等边三角形的边、角特性找到全等的判定条件，再结合全等三角形的性质和三角形内角和定理求解角度，熟练掌握SAS全等判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7

3.(1)如图1,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,直线$m$经过点$A$,$BD⊥ m$,$CE⊥ m$,垂足分别为$D$,$E$.求证:$DE=BD+CE$;
(2)如图2,将(1)中的条件改为:在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$,$A$,$E$三点都在直线$m$上,并且有$∠ BDA=∠ AEC=∠ BAC=α$,线段$DE$,$BD$,$CE$之间存在怎样的数量关系,请直接写出结果.

(1)证明:
∵BD⊥m,CE⊥m,
∴∠BDA=∠CEA=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD.在△ADB和△CEA中,$\begin{cases} ∠ABD=∠CAE, \\ ∠BDA=∠AEC, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴ △ADB ≌ △CEA.(AAS),
∴AE=BD,AD=CE.
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(2)解:DE=BD+CE.

【分析】
（1）要证$DE=BD+CE$，观察可得$DE=AD+AE$，因此只需证$BD=AE$、$CE=AD$即可。已知$BD$、$CE$都垂直于直线$m$，可得两个直角相等，结合$AB=AC$和$∠ BAC=90°$，利用“同角的余角相等”可推出$∠ ABD=∠ CAE$，进而用AAS证明$△ ADB$和$△ CEA$全等，得到对应边相等后即可推导出结论。
（2）类比第（1）问的解题思路，虽然直角变为了任意角$α$，仍可通过三角形内角和、平角的定义推导得到$∠ ABD=∠ CAE$，再用AAS证明两个三角形全等，即可得到三条线段的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
$\because BD⊥ m$，$CE⊥ m$，
$\therefore ∠ BDA=∠ CEA=90°$，
$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ BAD+∠ CAE=90°$，
又$\because ∠ BAD+∠ ABD=90°$，
$\therefore ∠ CAE=∠ ABD$。
在$△ ADB$和$△ CEA$中，
$\begin{cases} ∠ ABD=∠ CAE \\ ∠ BDA=∠ AEC \\ AB=CA \end{cases}$
$\therefore △ ADB≌△ CEA$（AAS），
$\therefore AE=BD$，$AD=CE$，
$\therefore DE=AE+AD=BD+CE$。
(2) 推导：由$∠ BDA=∠ BAC=α$，可得$∠ ABD+∠ BAD=∠ BAD+∠ CAE=180°-α$，因此$∠ ABD=∠ CAE$，同理可证$△ ADB≌△ CEA$（AAS），得$AE=BD$，$AD=CE$，因此$DE=AE+AD=BD+CE$。
【答案】
(1) 证明成立，$DE=BD+CE$；(2) $DE=BD+CE$
【知识点】
全等三角形的判定（AAS），全等三角形的性质，同角的余角相等
【点评】
本题是全等三角形中典型的“一线三等角”模型，解题核心是通过角的等量代换找到全等条件，利用全等三角形对应边相等实现线段的转化，进而得到线段的和差关系，熟练掌握该模型可以快速解决同类几何问题。
【难度系数】
0.7