1.如图,在$△ ABC$中,BE是$△ ABC$的角平分线,$AD⊥BE$,垂足为D.求证:$∠2=∠1+∠C$.

证明:延长AD交BC于点F(相当于将AB边向下翻折,落在BC边上,A点落在F点处,折痕为BE).
∵ BE 平分 ∠ABC,
∴ ∠ABE = ∠CBE.
∵ BD ⊥ AD,
∴ ∠ADB = ∠BDF = 90°.
∵ BD = BD,
∴ △ABD≌△FBD. (ASA),
∴ ∠2 = ∠DFB.
∵ ∠DFB = ∠1 + ∠C,
∴ ∠2 = ∠1 + ∠C.

【分析】要证明角的和差关系∠2=∠1+∠C，通常可借助三角形外角的性质，结合角的等量代换完成推导。题目给出BE是∠ABC的角平分线，且AD⊥BE，这两个条件可用于构造全等三角形：我们可以延长AD交BC于点F，先利用ASA证明△ABD≌△FBD，得到∠2=∠DFB，再观察发现∠DFB是△AFC的外角，满足外角等于不相邻两内角和，即∠DFB=∠1+∠C，最后等量代换即可得到要证的结论。
【解析】
证明：延长AD交BC于点F。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE。
∵ BD⊥AD，
∴ ∠ADB = ∠BDF = 90°。
在△ABD和△FBD中：
$\begin{cases}∠ABD=∠FBD \\BD=BD \\∠ADB=∠FDB=90°\end{cases}$
∴ △ABD≌△FBD（ASA），
∴ ∠2 = ∠DFB。
∵ ∠DFB是△AFC的外角，根据三角形外角的性质，
∴ ∠DFB = ∠1 + ∠C，
∴ ∠2 = ∠1 + ∠C。
【答案】
∠2=∠1+∠C，得证。
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是构造全等三角形的典型应用，解题关键是结合“角平分线+边上的垂线”的特征添加辅助线构造全等，实现角的等量转化，再结合三角形外角性质求解角的和差关系，考察了学生对辅助线添加技巧的掌握程度。
【难度系数】
0.6

2. 如图,在△ABC中,D为BC的中点.
(1)求证:AB+AC＞2AD;
(2)若AB=8,AC=6,求AD的取值范围.

(1)证明:延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.
∵ D为BC的中点,
∴ CD=BD,又
∵ ∠ADC=∠BDE,
∴ △ADC≌△EDB. (SAS),
∴ AC=EB.
∵ AB+BE＞AE,
∴ AB+AC＞2AD.
(2)解:
∵ AB-BE＜AE＜AB+BE,
∴ AB-AC＜2AD＜AB+AC.
∵ AB=8,AC=6,
∴ 1＜AD＜7.

【分析】
(1)要证明AB+AC＞2AD，看到2AD的结构可采用“倍长中线”的辅助线思路：将AD延长一倍得到长度为2AD的线段，再构造全等三角形把AC转移到和AB、2AD同属一个三角形的位置，最后利用三角形两边之和大于第三边的性质即可证明。
(2)求AD的取值范围可沿用第一问构造的全等模型，结合三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边的性质，代入已知的AB、AC长度计算即可得到AD的范围。
【解析】
(1)证明：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE。
∵ D为BC的中点，
∴ CD=BD，
又
∵ ∠ADC=∠EDB（对顶角相等），
∴ △ADC≌△EDB（SAS），
∴ AC=EB。
在△ABE中，由三角形三边关系得AB+BE＞AE，
∵ AE=AD+DE=2AD，BE=AC，
∴ AB+AC＞2AD。
(2)解：在△ABE中，由三角形三边关系得AB-BE＜AE＜AB+BE，
由(1)可知BE=AC，AE=2AD，
∴ AB-AC＜2AD＜AB+AC，
将AB=8，AC=6代入得：8-6＜2AD＜8+6，
即2＜2AD＜14，
解得1＜AD＜7。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $1＜AD＜7$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，倍长中线构造辅助线
【点评】
本题是构造全等三角形的典型题型，核心是通过倍长中线的辅助线方法，将分散的线段转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系解决线段的不等关系和取值范围问题，掌握这类辅助线的构造技巧能大幅提升同类几何题的解题效率。
【难度系数】
0.65

3. 如图，$AB // CD$，$BE$ 平分 $∠ ABC$，$CE$ 平分 $∠ BCD$，点 $E$ 在 $AD$ 上.求证:$BC=AB+CD$.

证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.
∵ BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,
∴∠ABE=∠FBE,∠DCE=∠FCE. 在△ABE和△FBE中,
$\begin{cases} BA=BF, \\ ∠ABE=∠FBE, \\ BE=BE, \end{cases}$
∴ △ABE ≌ △FBE.(SAS),
∴∠A=∠BFE.
∵ AB//CD,
∴∠A+∠D=180°.又
∵∠BFE+∠EFC=180°,
∴∠EFC=∠D,又
∵∠DCE=∠FCE,CE=CE,
∴△CDE≌△CFE.(AAS),
∴CF=CD,
∴BC=BF+CF=AB+CD.

【分析】
要证明一条线段等于另外两条线段的和，通常采用“截长补短法”，本题可用截长法求解：首先在长线段BC上截取BF=AB，结合BE是∠ABC的角平分线、公共边BE，可通过SAS证明△ABE≌△FBE，得到∠A=∠BFE；再结合AB//CD的同旁内角互补关系、平角的定义，推出∠EFC=∠D，结合CE是∠BCD的角平分线、公共边CE，通过AAS证明△CDE≌△CFE，得到CF=CD，最后由BC=BF+CF即可推导出结论。
【解析】
证明：在BC上截取BF=BA，连接EF。
∵ BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABE=∠FBE，∠DCE=∠FCE。
在△ABE和△FBE中，
$\begin{cases} BA=BF, \\ ∠ABE=∠FBE, \\ BE=BE, \end{cases}$
∴ △ABE ≌ △FBE（SAS），
∴∠A=∠BFE。
∵ AB//CD，
∴∠A+∠D=180°。
又
∵∠BFE+∠EFC=180°，
∴∠EFC=∠D。
在△CDE和△CFE中，
$\begin{cases} ∠EFC=∠D, \\ ∠DCE=∠FCE, \\ CE=CE, \end{cases}$
∴△CDE≌△CFE（AAS），
∴CF=CD，
∴BC=BF+CF=AB+CD。
【答案】
BC=AB+CD得证
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心考查截长补短法构造全等三角形的辅助线思路，解题时结合角平分线、平行线的性质推导全等所需的边角条件即可完成证明，熟练掌握截长补短的方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7

4.(安庆一中月考卷)如图，$△ ABC$中，$∠ C=90°$，过点$B$作$BE ⊥ AB$于$B$，$BD ⊥ BC$于$B$，且$BE=BA$，$BD=BC$，连接$DE$，延长$CB$交$DE$于点$F$.求证:$EF=DF$.

证明:过点E作EG⊥BF,交BF的延长线于点G.
∵ BE⊥AB,∠C=90°,
∴∠A+∠ABC=90°,∠ABC+∠EBG=90°.
∴∠EBG=∠A. 又
∵ BE = AB,∠G = ∠C = 90°,
∴ △EBG≌△BAC.(AAS),
∴ EG=BC.
∵ BD=BC,
∴ EG=BD.
∵ BD⊥BC,
∴∠DBF=90°=∠G. 又
∵∠EFG = ∠DFB,
∴ △EFG ≌ △DFB.(AAS),
∴EF=DF.

【分析】
要证明两条线段相等，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等。观察图形，EF、DF分别在△EFG和△DFB中，这两个三角形已有一组对顶角∠EFG=∠DFB，还缺一组边相等和一组角相等的条件。结合已知BE=BA、多个直角的条件，可过点E作EG⊥BF交BF的延长线于G，先利用“同角的余角相等”得到∠EBG=∠A，证明△EBG≌△BAC，推出EG=BC；再结合BD=BC等量代换得到EG=BD，就可以证明△EFG≌△DFB，从而得到EF=DF。
【解析】
证明：过点E作EG⊥BF，交BF的延长线于点G.
∵ BE⊥AB，∠C=90°，
∴ ∠A+∠ABC=90°，∠ABC+∠EBG=90°，
∴ ∠EBG=∠A.
又
∵ BE = AB，∠G = ∠C = 90°，
∴ △EBG≌△BAC（AAS），
∴ EG=BC.
∵ BD=BC，
∴ EG=BD.
∵ BD⊥BC，
∴ ∠DBF=90°=∠G.
又
∵ ∠EFG = ∠DFB，
∴ △EFG ≌ △DFB（AAS），
∴ EF=DF.
【答案】
EF=DF
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题核心是通过构造垂线得到全等三角形，将待证相等的线段转化到一组全等三角形中，体现了几何证明中的转化思想，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，能结合已知条件合理构造辅助线。
【难度系数】
0.6