1. 如图,边长为a的等边△ABC中,BF是AC边上中线且BF=b,点D在BF上,连结AD,在AD的右侧作等边△ADE,连结EF,求△AEF周长的最小值.

1. 连结 CE.
∵ △ABC,△ADE 都是等边三角形,
∴ AB=AC = a, AD=AE, ∠BAC = ∠DAE = ∠ABC = 60°,
∴ ∠BAD = ∠CAE,
∴ △BAD ≌ △CAE(SAS),
∴ ∠ABD = ∠ACE.
∵ AF = CF=$\frac{1}{2}a$, BF = b,
∴ ∠ABD = ∠CBD = ∠ACE = 30°, BF ⊥ AC,
∴ 点 E 在射线 CE 上运动(∠ACE=30°),作点 A 关于直线 CE 的对称点 M,连结 FM 交 CE 于点 E',当点 E 在 E' 处时,AE+FE的值最小,连结 AE',CM.
∵ CA=CM,∠ACM=60°,
∴ △ACM 是等边三角形,
∴ AM=AC.
∵ BF ⊥ AC,
∴ FM=BF=b,
∴ △AEF 周长的最小值=AF+FE'+AE'=AF+FM=$\frac{1}{2}a+b$.

2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$D$在$BC$边上,$BC=5$,$CD=2$,点$E$是边$AC$所在直线上的一动点,连结$DE$,将线段$DE$绕点$D$顺时针方向旋转$60°$得到$DF$,连结$BF$,求$BF$的最小值.

2. 以 BD 为边作等边三角形 DBH,连结 EH,过点 H 作 HN⊥BD 于点 N.
∵ BC=5,CD=2,
∴ BD=3.
∵ △DHB 是等边三角形,HN⊥BD,
∴ DN=BN=$\frac{3}{2}$,DB=DH,∠HDB=60°,
∴ CN=$\frac{7}{2}$.
∵ 将线段 DE 绕点 D 顺时针方向旋转 60°得到 DF,
∴ DE=DF,∠EDF=60°,
∴ ∠EDF=∠HDB,
∴ ∠EDH=∠FDB.在 △DHE 和△DBF 中, $\begin{cases} DE=DF, \\ ∠EDH=∠FDB, \\ DH=DB, \end{cases}$
∴ △DHE ≌ △DBF (SAS),
∴ EH = BF,
∴ 当EH 有最小值时,BF 有最小值,由垂线段最短可得当EH⊥AC 时,EH 有最小值,此时,
∵ EH ⊥ AC, ∠ACB = 90°, HN ⊥ DB,
∴ 四边形 CNHE 是长方形,
∴ HE=CN=$\frac{7}{2}$.