1. 如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动.确定当两只电子乌龟到点B距离之和$PB+QB$最小时，求$∠ PBQ$的度数.

1. 如图,过点 C 作 CD ⊥ BC,取 CD=AB,连结 BD,DQ.
∵ △ABC是等边三角形,AH 是 BC 边上的高,
∴ ∠ACB = ∠ABC = 60°,∠BAH= 30°,
∴ ∠ACD = 30°,
∴ ∠BAH = ∠ACD. 在 △ABP 和
△CDQ 中,$\begin{cases} AB=CD,\\ ∠BAP=∠DCQ,\\ AP=CQ, \end{cases}$
∴ △ABP≌△CDQ(SAS),
∴ BP=DQ,∠CQD=∠APB,
∴ 当 B,Q,D 三点共线时,PB+QB 最小,连结 BD 交 AC 于点 Q',
∴ ∠APB=∠AQ'B,
∴ ∠PBQ'=∠Q'AH=30°.故当 PB+QB 最小时,∠PBQ=30°.

2. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,点 $D,E$ 分别是边 $AC,AB$ 上的两点,连结 $BD,CE,CD=AE$,已知 $BC=12,AB=16$,求 $BD+CE$ 的最小值.

2. 如图,过点 A 作 AF ⊥ AC,并使得 AF=BC,连结 EF,则∠FAC=90°,
∴ ∠FAE+∠EAC=90°.
∵ 在 Rt△ABC 中,∠BAC+∠BCD=90°,
∴ ∠FAE = ∠BCD.
∵ AF = CB,AE = CD,
∴ △BCD≌△FAE(SAS),
∴ EF=BD,
∴ BD+CE=EF+CE,连结 CF,即可得知 CF 的长度即为 EF+CE 的最小值,也就是 BD+CE 的最小值.
∵ AB=16, BC = 12, ∠ABC = 90°,
∴ AF = BC = 12, AC = $\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{16^2+12^2}=20$,
∴ CF = $\sqrt{AF^2+AC^2}=\sqrt{12^2+20^2}=\sqrt{544}$,
∴ BD+CE 的最小值是 $\sqrt{544}$.

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=60°$,$BC=6$,$AC=8$,$D$,$E$分别为边$AC$,$AB$上两个动点.若$AE=CD$,连结$BD$,$CE$,求$BD+CE$的最小值.

3. 如图,过点 C 向上作 CM//AB,使 CM=AC,连结 BM,DM,过点 M 作 MN⊥BC 交 BC 的延长线于点 N.
∵ CM//AB,
∴ ∠A=∠ACM. 在 △EAC 和 △DCM 中,
$\begin{cases} AE=CD,\\ ∠A=∠DCM,\\ CA=MC, \end{cases}$
∴ △EAC≌△DCM(SAS),
∴ CE=MD.当 B,D,M 三点在同一条直线上时,BD+MD 的值最小,为线段 BM 的长,即 BD+CE 的最小值为 BM 的长.
∵ CM//AB,
∴ ∠MCN=∠ABC=60°.
∵ ∠N=90°,CM=AC=8,
∴ ∠CMN=30°,
∴ CN=$\frac{1}{2}CM=4$,
∴ MN=$\sqrt{48}$.
∵ BC=6,
∴ BN=BC+CN=6+4=10,
∴ BM=$\sqrt{BN^2+MN^2}=\sqrt{148}$,
∴ BD+CE 的最小值为 $\sqrt{148}$.