1. 如图,在四边形ABCD中,AC是∠BAD的平分线,∠BAD=60°,AB=2,P是AC上的动点,求$BP+\frac{1}{2}AP$的最小值.

1. 过点P作PF⊥AD,垂足为点F.
∵ AC是∠BAD的平分线,∠BAD = 60°,
∴ ∠PAF = $\frac{1}{2}$∠BAD = 30°,
∴ PF = $\frac{1}{2}AP$,
∴ $BP+\frac{1}{2}AP$ = BP+PF.
∵ P是AC上的动点,
∴ BP+PF的最小值就是点B到线段AD的垂线段的长.过点B作BM⊥AD,垂足为点M.在Rt△ABM中,∠BAM = 60°,AB=2,
∴ BM=$\sqrt{3}$.

2. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=4,若D是BC边上的动点,求2AD+DC的最小值.

2. 过点C作射线CE,使∠BCE=30°,再过动点D作DF⊥CE,垂足为点F,如图所示.在Rt△DFC中,∠DCF=30°,
∴ DF=$\frac{1}{2}DC$.
∵ $2AD+DC=2(AD+\frac{1}{2}DC)=2(AD+DF)$,
∴ 当A,D,F三点在同一直线上,即AF⊥CE时,AD+DF的值最小,最小值等于垂线段AF的长,此时,∠B=∠ADB=60°,
∴ △ABD是等边三角形,
∴ AD=BD=AB=4.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=4,
∴ BC=8,
∴ DC=BC-BD=4,
∴ 2AD+DC=2×4+4=12,
∴ 2AD+DC的最小值为12.