1. 如图,在△ABC中,三个内角均小于120°,且∠ABC=60°,AB=5,BC=3,若点P为△ABC的“费马点”,求PA+PB+PC的值.

1. 将△APB绕点B逆时针旋转60°得到△A'P'B,连结PP',过A'作A'H⊥BC交CB的延长线于点H,如图.
∵ △APB绕点B逆时针旋转60°得到△A' P' B,
∴ PB = P' B, ∠PBP' = 60°,
∴ △PBP'为等边三角形,
∴ PP' = PB, 由旋转可知△APB≌△A'P'B,
∴ P'A' = PA,
∴ PA+PB+PC = A'P'+PP'+PC.
∵ A'P'+PP'+PC≥A'C,
∴ 当C,P,P',A'四点在同一条直线上时,PA+PB+PC取得最小值,最小值为A'C的长度,此时点P为△ABC的“费马点”,
∵ ∠A'BA = ∠A'BP'+∠P'BA = ∠ABP+∠P'BA = 60°,∠ABC=60°,
∴ ∠A'BH=60°,
∴ BH = 1/2 A'B = 5/2,A'H=√3 BH=5√3/2,
∴ HC=BC+BH=3+5/2=11/2,
∴ A'C=√(HC²+A'H²)=√((11/2)²+(5√3/2)²)=7,
∴ PA+PB+PC的值为7.

2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=45°$,$AB=2\sqrt{2}$,$CA=3$,$P$为$△ ABC$内部一点,连结$PA$,$PB$,$PC$,求$\sqrt{2} PA + PB + PC$的最小值.

2. 如图,将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AFE,连结PF,CE,
∴ AF=AP,∠FAP=∠BAE=90°,
∴ △AFP是等腰直角三角形,
∴ ∠EAC=135°,作EH⊥CA交CA的延长线于点H.在Rt△EAH中,∠H=90°,∠EAH=45°,AE=AB=2√2,
∴ EH=AH=2.在Rt△EHC中,EC=√(2²+5²)=√29.
∵ √2 PA+PB+PC=FP+EF+PC≥CE,
∴ √2 PA+PB+PC≥√29,
∴ √2 PA+PB+PC的最小值为√29.

3. 如图,某地在脱贫攻坚乡村振兴中因地制宜建造了3个特色农产品种植基地A,B,C.现需根据产品中转点P修建通往种植基地A,B,C的道路PA,PB,PC,方便农产品的储藏运输,根据地质设计,PB路段每千米造价是PA路段的$\sqrt{3}$倍,PC路段每千米造价是PA路段的2倍.PA路段每千米造价为a元,已知AB=BC=2千米,$∠ ABC=30°$,求修建3条道路的最少费用.

3. 要使修建3条道路费用最少,即求PA+√3 PB+2PC的最小值.如图,把△BPC绕点B顺时针旋转60°并扩大2倍得到△BED,连结AD,取BE的中点F,连结PF,PE,由旋转得∠PBE=∠CBD=60°,BE=2PB,DE=2PC,BD=2BC=4千米,
∴ ∠ABD=∠ABC+∠CBD=30°+60°=90°.
∵ BF=BP,∠PBE=60°,
∴ △BPF是等边三角形,
∴ BF=EF=PF,
∴ ∠BPE=90°,PE=√3 PB,
∴ PA+√3 PB+2PC=PA+PE+DE≥AD(当A,P,E,D四点共线时取等号).在Rt△ABD中,AD=√(AB²+BD²)=√(2²+4²)=√20(千米),
∴ PA+√3 PB+2PC的最小值是√20千米.故修建3条道路的最小费用为√20 a元.