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1. 某地小麦大丰收，农业专家在某种植片区随机抽取了10株小麦，测得其麦穗长(单位：cm)分别为：8，8，6，7，9，9，7，8，10，8，这一组数据的方差为
1.2
.(用计算器计算)答案
1. 1.2
解析
【分析】
要计算这组数据的方差，需遵循方差的标准计算步骤：第一步先求出这组数据的平均数；第二步计算每个数据与平均数的差的平方；第三步求这些平方值的平均数，所得结果即为该组数据的方差。
【解析】
首先计算10个麦穗长数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{1}{10}×(8+8+6+7+9+9+7+8+10+8)=\frac{1}{10}×80=8$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$代入计算：
$s^2=\frac{1}{10}×[(8-8)^2+(8-8)^2+(6-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2+(9-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2+(8-8)^2]$
$=\frac{1}{10}×(0+0+4+1+1+1+1+0+4+0)$
$=\frac{1}{10}×12=1.2$
【答案】
1.2
【知识点】
平均数计算，方差计算
【点评】
本题属于方差计算的基础题型，解题的关键是熟记方差的计算步骤，计算过程中要注意核对数据总和与平方和，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
要计算这组数据的方差，需遵循方差的标准计算步骤：第一步先求出这组数据的平均数；第二步计算每个数据与平均数的差的平方；第三步求这些平方值的平均数，所得结果即为该组数据的方差。
【解析】
首先计算10个麦穗长数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{1}{10}×(8+8+6+7+9+9+7+8+10+8)=\frac{1}{10}×80=8$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$代入计算：
$s^2=\frac{1}{10}×[(8-8)^2+(8-8)^2+(6-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2+(9-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2+(8-8)^2]$
$=\frac{1}{10}×(0+0+4+1+1+1+1+0+4+0)$
$=\frac{1}{10}×12=1.2$
【答案】
1.2
【知识点】
平均数计算，方差计算
【点评】
本题属于方差计算的基础题型，解题的关键是熟记方差的计算步骤，计算过程中要注意核对数据总和与平方和，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
2. 甲、乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，甲的成绩(单位：环)为：9，8，9，6，10，6. 甲、乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为4，那么成绩较为稳定的是
甲
.(填“甲”或“乙”，用计算器计算)答案
2. 甲
解析
【分析】
要判断谁的成绩更稳定，需依据方差的意义：方差越小，数据的离散程度越小，成绩越稳定。解题时首先计算甲的平均成绩，再利用方差公式计算甲的方差，最后将甲的方差与乙的方差4比较大小即可得出结论。
【解析】
第一步：计算甲的平均成绩
$\overline{x}_甲=\frac{9+8+9+6+10+6}{6}=\frac{48}{6}=8$，符合题目中甲乙平均成绩相等的条件。
第二步：计算甲的方差
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$s^2_甲=\frac{1}{6}[(9-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(6-8)^2+(10-8)^2+(6-8)^2]$
$=\frac{1}{6}(1+0+1+4+4+4)$
$=\frac{14}{6}\approx2.33$
第三步：比较方差大小
因为$s^2_甲\approx2.33 ＜ s^2_乙=4$，所以甲的成绩波动更小，更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题考查方差的实际应用，解题核心是理解方差反映数据波动大小的性质，熟练掌握平均数和方差的计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断谁的成绩更稳定，需依据方差的意义：方差越小，数据的离散程度越小，成绩越稳定。解题时首先计算甲的平均成绩，再利用方差公式计算甲的方差，最后将甲的方差与乙的方差4比较大小即可得出结论。
【解析】
第一步：计算甲的平均成绩
$\overline{x}_甲=\frac{9+8+9+6+10+6}{6}=\frac{48}{6}=8$，符合题目中甲乙平均成绩相等的条件。
第二步：计算甲的方差
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$s^2_甲=\frac{1}{6}[(9-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(6-8)^2+(10-8)^2+(6-8)^2]$
$=\frac{1}{6}(1+0+1+4+4+4)$
$=\frac{14}{6}\approx2.33$
第三步：比较方差大小
因为$s^2_甲\approx2.33 ＜ s^2_乙=4$，所以甲的成绩波动更小，更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题考查方差的实际应用，解题核心是理解方差反映数据波动大小的性质，熟练掌握平均数和方差的计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 有甲、乙两组数据(如表所示)，设甲、乙两组数据的方差分别为$s^2_甲$，$s^2_乙$，则$s^2_甲$
＞
$s^2_乙$.(填“＞”“＜”或“=”，用计算器计算)答案
3. ＞
解析
【分析】
要比较两组数据的方差大小，首先需要分别计算两组数据的平均数，再根据方差公式分别计算两组的方差，最后比较两个方差的大小即可。也可先观察数据的离散程度：甲组数据更分散，乙组数据更集中，可初步判断甲方差更大，再通过计算验证结论。
【解析】
1. 计算甲组数据的平均数：
$\overline{x}_甲 = \frac{11+12+13+14+15}{5} = 13$
2. 计算甲组的方差：
$s^2_甲 = \frac{1}{5}[(11-13)^2 + (12-13)^2 + (13-13)^2 + (14-13)^2 + (15-13)^2]$
$= \frac{1}{5} × (4 + 1 + 0 + 1 + 4) = 2$
3. 计算乙组数据的平均数：
$\overline{x}_乙 = \frac{12+12+13+14+14}{5} = 13$
4. 计算乙组的方差：
$s^2_乙 = \frac{1}{5}[(12-13)^2 + (12-13)^2 + (13-13)^2 + (14-13)^2 + (14-13)^2]$
$= \frac{1}{5} × (1 + 1 + 0 + 1 + 1) = 0.8$
5. 比较方差大小：
因为$2＞0.8$，所以$s^2_甲 ＞ s^2_乙$
【答案】
＞
【知识点】
平均数计算，方差计算，方差的意义
【点评】
本题考查方差的相关计算，解题的关键是牢记方差的计算公式，方差是反映一组数据波动大小的量，数据波动越大方差越大，也可通过观察数据的离散程度快速判断结果。
【难度系数】
0.8
要比较两组数据的方差大小，首先需要分别计算两组数据的平均数，再根据方差公式分别计算两组的方差，最后比较两个方差的大小即可。也可先观察数据的离散程度：甲组数据更分散，乙组数据更集中，可初步判断甲方差更大，再通过计算验证结论。
【解析】
1. 计算甲组数据的平均数：
$\overline{x}_甲 = \frac{11+12+13+14+15}{5} = 13$
2. 计算甲组的方差：
$s^2_甲 = \frac{1}{5}[(11-13)^2 + (12-13)^2 + (13-13)^2 + (14-13)^2 + (15-13)^2]$
$= \frac{1}{5} × (4 + 1 + 0 + 1 + 4) = 2$
3. 计算乙组数据的平均数：
$\overline{x}_乙 = \frac{12+12+13+14+14}{5} = 13$
4. 计算乙组的方差：
$s^2_乙 = \frac{1}{5}[(12-13)^2 + (12-13)^2 + (13-13)^2 + (14-13)^2 + (14-13)^2]$
$= \frac{1}{5} × (1 + 1 + 0 + 1 + 1) = 0.8$
5. 比较方差大小：
因为$2＞0.8$，所以$s^2_甲 ＞ s^2_乙$
【答案】
＞
【知识点】
平均数计算，方差计算，方差的意义
【点评】
本题考查方差的相关计算，解题的关键是牢记方差的计算公式，方差是反映一组数据波动大小的量，数据波动越大方差越大，也可通过观察数据的离散程度快速判断结果。
【难度系数】
0.8
4. 已知一组数据70，29，71，72，81，73，105，69，用计算器计算这组数据的方差是（精确到0.01）（
A.378
B.377.69
C.378.70
D.378.69
D
）A.378
B.377.69
C.378.70
D.378.69
答案
4. D
解析
【分析】
要计算这组数据的方差，需遵循方差的标准计算步骤：首先求出这组数据的平均数，再计算每个数据与平均数的差的平方和，最后用平方和除以数据总个数得到方差，最后按要求精确到0.01即可。计算过程中要注意数值运算的准确性，避免出现计算错误。
【解析】
第一步：计算数据总和，确定数据个数
这组数据共有8个，总和为：$70+29+71+72+81+73+105+69=570$
第二步：计算平均数$\overline{x}$
$\overline{x}=\frac{570}{8}=71.25$
第三步：计算每个数据与平均数的差的平方和
$\begin{aligned}&(70-71.25)^2+ (29-71.25)^2+ (71-71.25)^2+ (72-71.25)^2+ (81-71.25)^2+ (73-71.25)^2+ (105-71.25)^2+ (69-71.25)^2\\=&1.5625+1785.0625+0.0625+0.5625+95.0625+3.0625+1139.0625+5.0625\\=&3029.5\end{aligned}$
第四步：计算方差$s^2$
$s^2=\frac{3029.5}{8}=378.6875\approx378.69$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
方差的计算；平均数的计算；近似数取值
【点评】
本题属于基础计算类题型，重点考查方差的计算流程，解题时需严格按照“求平均数→算差的平方→求平方和→除以数据个数”的步骤进行，计算过程中要注意数值运算的准确性，取近似数时要遵循四舍五入的规则。
【难度系数】
0.7
要计算这组数据的方差，需遵循方差的标准计算步骤：首先求出这组数据的平均数，再计算每个数据与平均数的差的平方和，最后用平方和除以数据总个数得到方差，最后按要求精确到0.01即可。计算过程中要注意数值运算的准确性，避免出现计算错误。
【解析】
第一步：计算数据总和，确定数据个数
这组数据共有8个，总和为：$70+29+71+72+81+73+105+69=570$
第二步：计算平均数$\overline{x}$
$\overline{x}=\frac{570}{8}=71.25$
第三步：计算每个数据与平均数的差的平方和
$\begin{aligned}&(70-71.25)^2+ (29-71.25)^2+ (71-71.25)^2+ (72-71.25)^2+ (81-71.25)^2+ (73-71.25)^2+ (105-71.25)^2+ (69-71.25)^2\\=&1.5625+1785.0625+0.0625+0.5625+95.0625+3.0625+1139.0625+5.0625\\=&3029.5\end{aligned}$
第四步：计算方差$s^2$
$s^2=\frac{3029.5}{8}=378.6875\approx378.69$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
方差的计算；平均数的计算；近似数取值
【点评】
本题属于基础计算类题型，重点考查方差的计算流程，解题时需严格按照“求平均数→算差的平方→求平方和→除以数据个数”的步骤进行，计算过程中要注意数值运算的准确性，取近似数时要遵循四舍五入的规则。
【难度系数】
0.7
5. 某排球队6名场上队员的身高(单位：cm)是180，184，188，190，192，194. 现用一名身高为186 cm的队员换下场上身高为192 cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（
A.平均数变小，方差变小
B.平均数变小，方差变大
C.平均数变大，方差变小
D.平均数变大，方差变大
A
）A.平均数变小，方差变小
B.平均数变小，方差变大
C.平均数变大，方差变小
D.平均数变大，方差变大
答案
5. A
解析
【分析】
要解决本题，需分别计算换人前后队员身高的平均数与方差，再比较两者的变化。首先，平均数为所有数据之和除以数据个数，替换的队员身高186cm小于被替换的192cm，可先初步判断平均数的变化趋势；再根据方差是衡量数据波动大小的统计量，通过计算或观察数据与平均数的差距变化判断方差的变化，最终选出正确选项。
【解析】
1. 计算换人前的平均数：
原数据总和 = $180 + 184 + 188 + 190 + 192 + 194 = 1128$
原平均数 $\overline{x}_1 = 1128 ÷ 6 = 188$
2. 计算换人后的平均数：
新数据总和 = $1128 - 192 + 186 = 1122$
新平均数 $\overline{x}_2 = 1122 ÷ 6 = 187$
对比得$187 ＜ 188$，平均数变小。
3. 计算换人前的方差：
$s^2_1 = \frac{1}{6}×[(180-188)^2 + (184-188)^2 + (188-188)^2 + (190-188)^2 + (192-188)^2 + (194-188)^2]$
$= \frac{1}{6}×(64 + 16 + 0 + 4 + 16 + 36) = \frac{136}{6} \approx 22.67$
4. 计算换人后的方差：
$s^2_2 = \frac{1}{6}×[(180-187)^2 + (184-187)^2 + (188-187)^2 + (190-187)^2 + (186-187)^2 + (194-187)^2]$
$= \frac{1}{6}×(49 + 9 + 1 + 9 + 1 + 49) = \frac{118}{6} \approx 19.67$
对比得$19.67 ＜ 22.67$，方差变小。
综上，平均数变小，方差变小，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，数据的离散程度
【点评】
本题考查平均数和方差的基本运算与意义，既可以通过精确计算得出结论，也可以通过数据变化的特点快速判断：替换的数据小于原数据时，数据总和减少，平均数必然降低；替换后的数据与平均数的差距更小，数据波动更小，方差也就更小。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需分别计算换人前后队员身高的平均数与方差，再比较两者的变化。首先，平均数为所有数据之和除以数据个数，替换的队员身高186cm小于被替换的192cm，可先初步判断平均数的变化趋势；再根据方差是衡量数据波动大小的统计量，通过计算或观察数据与平均数的差距变化判断方差的变化，最终选出正确选项。
【解析】
1. 计算换人前的平均数：
原数据总和 = $180 + 184 + 188 + 190 + 192 + 194 = 1128$
原平均数 $\overline{x}_1 = 1128 ÷ 6 = 188$
2. 计算换人后的平均数：
新数据总和 = $1128 - 192 + 186 = 1122$
新平均数 $\overline{x}_2 = 1122 ÷ 6 = 187$
对比得$187 ＜ 188$，平均数变小。
3. 计算换人前的方差：
$s^2_1 = \frac{1}{6}×[(180-188)^2 + (184-188)^2 + (188-188)^2 + (190-188)^2 + (192-188)^2 + (194-188)^2]$
$= \frac{1}{6}×(64 + 16 + 0 + 4 + 16 + 36) = \frac{136}{6} \approx 22.67$
4. 计算换人后的方差：
$s^2_2 = \frac{1}{6}×[(180-187)^2 + (184-187)^2 + (188-187)^2 + (190-187)^2 + (186-187)^2 + (194-187)^2]$
$= \frac{1}{6}×(49 + 9 + 1 + 9 + 1 + 49) = \frac{118}{6} \approx 19.67$
对比得$19.67 ＜ 22.67$，方差变小。
综上，平均数变小，方差变小，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，数据的离散程度
【点评】
本题考查平均数和方差的基本运算与意义，既可以通过精确计算得出结论，也可以通过数据变化的特点快速判断：替换的数据小于原数据时，数据总和减少，平均数必然降低；替换后的数据与平均数的差距更小，数据波动更小，方差也就更小。
【难度系数】
0.7
6. 下表是某校慧慧、聪聪两名同学10次比赛的1 min跳绳成绩(单位：个)：
用计算器分别计算慧慧和聪聪成绩的方差.
用计算器分别计算慧慧和聪聪成绩的方差.
答案
6. 慧慧成绩的方差是13.2,聪聪成绩的方差是17.2
解析
【分析】
要计算两人成绩的方差，遵循方差的标准计算步骤即可：首先分别求出慧慧、聪聪10次跳绳成绩的平均数，再分别计算每个成绩与对应平均数的差的平方，最后求这些平方值的平均数，所得结果就是对应成绩的方差，也可直接借助计算器的统计功能输入数据快速得出结果。
【解析】
1. 计算慧慧成绩的方差：
首先求慧慧的平均成绩：
$\overline{x}_\mathrm{慧}=\frac{1}{10}×(116+124+130+126+121+127+126+122+125+123)=\frac{1240}{10}=124$
再根据方差公式计算：
$s^2_\mathrm{慧}=\frac{1}{10}×[(116-124)^2+(124-124)^2+(130-124)^2+(126-124)^2+(121-124)^2+(127-124)^2+(126-124)^2+(122-124)^2+(125-124)^2+(123-124)^2]$
$=\frac{1}{10}×(64+0+36+4+9+9+4+4+1+1)=\frac{132}{10}=13.2$
2. 计算聪聪成绩的方差：
首先求聪聪的平均成绩：
$\overline{x}_\mathrm{聪}=\frac{1}{10}×(122+124+125+128+119+120+121+128+114+119)=\frac{1220}{10}=122$
再根据方差公式计算：
$s^2_\mathrm{聪}=\frac{1}{10}×[(122-122)^2+(124-122)^2+(125-122)^2+(128-122)^2+(119-122)^2+(120-122)^2+(121-122)^2+(128-122)^2+(114-122)^2+(119-122)^2]$
$=\frac{1}{10}×(0+4+9+36+9+4+1+36+64+9)=\frac{172}{10}=17.2$
【答案】
慧慧成绩的方差是13.2，聪聪成绩的方差是17.2
【知识点】
平均数计算，方差计算
【点评】
本题核心考查方差的计算方法，熟记方差的计算步骤是解题的关键，计算过程中要注意运算准确性，借助计算器统计功能可有效提升计算效率。
【难度系数】
0.7
要计算两人成绩的方差，遵循方差的标准计算步骤即可：首先分别求出慧慧、聪聪10次跳绳成绩的平均数，再分别计算每个成绩与对应平均数的差的平方，最后求这些平方值的平均数，所得结果就是对应成绩的方差，也可直接借助计算器的统计功能输入数据快速得出结果。
【解析】
1. 计算慧慧成绩的方差：
首先求慧慧的平均成绩：
$\overline{x}_\mathrm{慧}=\frac{1}{10}×(116+124+130+126+121+127+126+122+125+123)=\frac{1240}{10}=124$
再根据方差公式计算：
$s^2_\mathrm{慧}=\frac{1}{10}×[(116-124)^2+(124-124)^2+(130-124)^2+(126-124)^2+(121-124)^2+(127-124)^2+(126-124)^2+(122-124)^2+(125-124)^2+(123-124)^2]$
$=\frac{1}{10}×(64+0+36+4+9+9+4+4+1+1)=\frac{132}{10}=13.2$
2. 计算聪聪成绩的方差：
首先求聪聪的平均成绩：
$\overline{x}_\mathrm{聪}=\frac{1}{10}×(122+124+125+128+119+120+121+128+114+119)=\frac{1220}{10}=122$
再根据方差公式计算：
$s^2_\mathrm{聪}=\frac{1}{10}×[(122-122)^2+(124-122)^2+(125-122)^2+(128-122)^2+(119-122)^2+(120-122)^2+(121-122)^2+(128-122)^2+(114-122)^2+(119-122)^2]$
$=\frac{1}{10}×(0+4+9+36+9+4+1+36+64+9)=\frac{172}{10}=17.2$
【答案】
慧慧成绩的方差是13.2，聪聪成绩的方差是17.2
【知识点】
平均数计算，方差计算
【点评】
本题核心考查方差的计算方法，熟记方差的计算步骤是解题的关键，计算过程中要注意运算准确性，借助计算器统计功能可有效提升计算效率。
【难度系数】
0.7
