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7. 某校准备挑选一名跳高运动员参加中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩如下(单位：cm)：
甲：170，165，168，169，172，173，168，167.
乙：160，173，172，161，162，171，170，175.
（1）哪名运动员的成绩更为稳定？为什么？
（2）若预测跳过165 cm就很可能获得冠军，则该校为了获得冠军，应选哪位运动员参赛？若预测跳过170 cm才能获得冠军呢？
甲：170，165，168，169，172，173，168，167.
乙：160，173，172，161，162，171，170，175.
（1）哪名运动员的成绩更为稳定？为什么？
（2）若预测跳过165 cm就很可能获得冠军，则该校为了获得冠军，应选哪位运动员参赛？若预测跳过170 cm才能获得冠军呢？
答案
7. (1) $s_甲^2=6$，$s_乙^2=31.5$，
∴甲的成绩更为稳定 （2）若跳过165 cm就很可能获得冠军，则在8次成绩中，甲8次都跳过了165 cm，而乙只有5次，所以应选甲参加；若跳过170 cm才能得冠军，则在8次成绩中，甲只有3次跳过了170 cm，而乙有5次，所以应选乙参加
∴甲的成绩更为稳定 （2）若跳过165 cm就很可能获得冠军，则在8次成绩中，甲8次都跳过了165 cm，而乙只有5次，所以应选甲参加；若跳过170 cm才能得冠军，则在8次成绩中，甲只有3次跳过了170 cm，而乙有5次，所以应选乙参加
解析
【分析】
（1）要判断哪名运动员成绩更稳定，需比较两人成绩的方差，方差越小成绩越稳定。解题步骤为：先分别计算甲、乙两人8次成绩的平均数，再根据方差公式计算两人成绩的方差，最后比较方差大小得出结论。
（2）要判断选哪位运动员参赛，只需统计两人分别跳过165cm、170cm的次数，次数越多说明夺冠可能性越大，对应选择该运动员即可。
【解析】
（1）先计算甲、乙的平均成绩：
$\overline{x}_甲=\frac{1}{8}×(170+165+168+169+172+173+168+167)=169\ (\mathrm{cm})$
$\overline{x}_乙=\frac{1}{8}×(160+173+172+161+162+171+170+175)=168\ (\mathrm{cm})$
再计算方差：
$s^2_甲=\frac{1}{8}×[(170-169)^2+(165-169)^2+(168-169)^2+(169-169)^2+(172-169)^2+(173-169)^2+(168-169)^2+(167-169)^2]=\frac{1}{8}×48=6$
$s^2_乙=\frac{1}{8}×[(160-168)^2+(173-168)^2+(172-168)^2+(161-168)^2+(162-168)^2+(171-168)^2+(170-168)^2+(175-168)^2]=\frac{1}{8}×252=31.5$
$\because s^2_甲＜s^2_乙$，$\therefore$甲运动员的成绩更为稳定。
（2）①若跳过165cm就可能夺冠：统计得甲8次成绩全部≥165cm，乙仅有5次成绩≥165cm，甲达标次数更多，故选甲参赛；
②若跳过170cm才能夺冠：统计得甲有3次成绩≥170cm，乙有5次成绩≥170cm，乙达标次数更多，故选乙参赛。
【答案】
(1) 甲运动员的成绩更为稳定，因为甲的方差$s_甲^2=6$小于乙的方差$s_乙^2=31.5$，方差越小成绩越稳定；
(2) 预测跳过165cm获得冠军选甲运动员参赛，预测跳过170cm获得冠军选乙运动员参赛。
【知识点】
方差的计算与应用；用样本估计总体；方差的意义
【点评】
本题考查统计知识在实际问题中的应用，解题时需根据实际需求选择合适的统计量分析：判断稳定性看方差，判断夺冠可能性看对应成绩的达标次数，灵活运用统计量解决实际问题是解题关键。
【难度系数】
0.7
（1）要判断哪名运动员成绩更稳定，需比较两人成绩的方差，方差越小成绩越稳定。解题步骤为：先分别计算甲、乙两人8次成绩的平均数，再根据方差公式计算两人成绩的方差，最后比较方差大小得出结论。
（2）要判断选哪位运动员参赛，只需统计两人分别跳过165cm、170cm的次数，次数越多说明夺冠可能性越大，对应选择该运动员即可。
【解析】
（1）先计算甲、乙的平均成绩：
$\overline{x}_甲=\frac{1}{8}×(170+165+168+169+172+173+168+167)=169\ (\mathrm{cm})$
$\overline{x}_乙=\frac{1}{8}×(160+173+172+161+162+171+170+175)=168\ (\mathrm{cm})$
再计算方差：
$s^2_甲=\frac{1}{8}×[(170-169)^2+(165-169)^2+(168-169)^2+(169-169)^2+(172-169)^2+(173-169)^2+(168-169)^2+(167-169)^2]=\frac{1}{8}×48=6$
$s^2_乙=\frac{1}{8}×[(160-168)^2+(173-168)^2+(172-168)^2+(161-168)^2+(162-168)^2+(171-168)^2+(170-168)^2+(175-168)^2]=\frac{1}{8}×252=31.5$
$\because s^2_甲＜s^2_乙$，$\therefore$甲运动员的成绩更为稳定。
（2）①若跳过165cm就可能夺冠：统计得甲8次成绩全部≥165cm，乙仅有5次成绩≥165cm，甲达标次数更多，故选甲参赛；
②若跳过170cm才能夺冠：统计得甲有3次成绩≥170cm，乙有5次成绩≥170cm，乙达标次数更多，故选乙参赛。
【答案】
(1) 甲运动员的成绩更为稳定，因为甲的方差$s_甲^2=6$小于乙的方差$s_乙^2=31.5$，方差越小成绩越稳定；
(2) 预测跳过165cm获得冠军选甲运动员参赛，预测跳过170cm获得冠军选乙运动员参赛。
【知识点】
方差的计算与应用；用样本估计总体；方差的意义
【点评】
本题考查统计知识在实际问题中的应用，解题时需根据实际需求选择合适的统计量分析：判断稳定性看方差，判断夺冠可能性看对应成绩的达标次数，灵活运用统计量解决实际问题是解题关键。
【难度系数】
0.7
8. 用计算器分别计算下面各组数据的平均数和方差：
（1）比较这两组数据，它们的对应关系是什么？它们的平均数和方差各有什么关系？
（2）根据(1)中的结论，直接写出数据0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数和方差，并用计算器检验。
（1）比较这两组数据，它们的对应关系是什么？它们的平均数和方差各有什么关系？
（2）根据(1)中的结论，直接写出数据0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数和方差，并用计算器检验。
答案
8. （1）乙组每个数据是甲组对应数据的100倍，乙组的平均数是甲组平均数的100倍，乙组方差是甲组方差的10 000倍 （2）平均数为0.03，方差为0.000 2
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，先回忆平均数、方差的计算公式，分别计算甲组和乙组数据的平均数与方差；第二步，对比两组数据的数值对应关系，再对比两组平均数、方差的倍数关系，总结出通用规律；第三步，观察第二问的新数据和甲组数据的倍数关系，直接套用总结的规律计算结果，最后用计算器验证即可。
【解析】
步骤1：计算甲组数据的平均数和方差
甲组数据：1，2，3，4，5
平均数：$\bar{x}_甲=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$
方差：$s^2_甲=\frac{1}{5}[(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2]=\frac{1}{5}×(4+1+0+1+4)=2$
步骤2：计算乙组数据的平均数和方差
乙组数据：100，200，300，400，500
平均数：$\bar{x}_乙=\frac{100+200+300+400+500}{5}=300$
方差：$s^2_乙=\frac{1}{5}[(100-300)^2+(200-300)^2+(300-300)^2+(400-300)^2+(500-300)^2]=\frac{1}{5}×(40000+10000+0+10000+40000)=20000$
步骤3：解答(1)问
观察对比两组数据：乙组每个数据是甲组对应数据的100倍；
对比平均数：$\bar{x}_乙=300=100×\bar{x}_甲$，即乙组平均数是甲组平均数的100倍；
对比方差：$s^2_乙=20000=100^2× s^2_甲$，即乙组方差是甲组方差的10000倍。
步骤4：解答(2)问
数据0.01，0.02，0.03，0.04，0.05是甲组对应数据的$\frac{1}{100}$倍，根据(1)的规律：
平均数为$3×\frac{1}{100}=0.03$
方差为$2×(\frac{1}{100})^2=0.0002$，经计算器检验结果正确。
【答案】
（1）乙组每个数据是甲组对应数据的100倍，乙组的平均数是甲组平均数的100倍，乙组方差是甲组方差的10000倍；（2）平均数为0.03，方差为0.0002
【知识点】
平均数计算、方差计算、数据变化与统计量的关系
【点评】
本题重点考查统计量的变化规律，当一组数据全部扩大为原来的n倍时，平均数也扩大为原来的n倍，方差扩大为原来的$n^2$倍，掌握该规律可大幅简化同类题的计算过程。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步，先回忆平均数、方差的计算公式，分别计算甲组和乙组数据的平均数与方差；第二步，对比两组数据的数值对应关系，再对比两组平均数、方差的倍数关系，总结出通用规律；第三步，观察第二问的新数据和甲组数据的倍数关系，直接套用总结的规律计算结果，最后用计算器验证即可。
【解析】
步骤1：计算甲组数据的平均数和方差
甲组数据：1，2，3，4，5
平均数：$\bar{x}_甲=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$
方差：$s^2_甲=\frac{1}{5}[(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2]=\frac{1}{5}×(4+1+0+1+4)=2$
步骤2：计算乙组数据的平均数和方差
乙组数据：100，200，300，400，500
平均数：$\bar{x}_乙=\frac{100+200+300+400+500}{5}=300$
方差：$s^2_乙=\frac{1}{5}[(100-300)^2+(200-300)^2+(300-300)^2+(400-300)^2+(500-300)^2]=\frac{1}{5}×(40000+10000+0+10000+40000)=20000$
步骤3：解答(1)问
观察对比两组数据：乙组每个数据是甲组对应数据的100倍；
对比平均数：$\bar{x}_乙=300=100×\bar{x}_甲$，即乙组平均数是甲组平均数的100倍；
对比方差：$s^2_乙=20000=100^2× s^2_甲$，即乙组方差是甲组方差的10000倍。
步骤4：解答(2)问
数据0.01，0.02，0.03，0.04，0.05是甲组对应数据的$\frac{1}{100}$倍，根据(1)的规律：
平均数为$3×\frac{1}{100}=0.03$
方差为$2×(\frac{1}{100})^2=0.0002$，经计算器检验结果正确。
【答案】
（1）乙组每个数据是甲组对应数据的100倍，乙组的平均数是甲组平均数的100倍，乙组方差是甲组方差的10000倍；（2）平均数为0.03，方差为0.0002
【知识点】
平均数计算、方差计算、数据变化与统计量的关系
【点评】
本题重点考查统计量的变化规律，当一组数据全部扩大为原来的n倍时，平均数也扩大为原来的n倍，方差扩大为原来的$n^2$倍，掌握该规律可大幅简化同类题的计算过程。
【难度系数】
0.7
