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活动一:忆一忆 写一写
1.
2. 请你分别写出两个无理数与有理数.
3. 说说实数如何分类.
1.
2. 请你分别写出两个无理数与有理数.
3. 说说实数如何分类.
答案
1. 如果一个数的平方等于a,那么这个数叫作a的平方根,也称为二次方根,正数a的平方根是±√a.一个数a(a≥0)的正的平方根叫作这个数的算术平方根,记作√a.性质:√a≥0(a≥0);√a²=|a|;(√a)²=a(a≥0).如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫作a的立方根,且任何数都有立方根.算术平方根只有一个数且是非负数;平方根有两个,且互为相反数.正数和0有平方根,负数没有平方根,正数有两个平方根,平方根等于本身的数是0,任何数都有立方根,立方根只有一个,立方根等于本身的数有±1,0,开方与乘方是互逆关系
2. 略
3. 略
2. 略
3. 略
解析
【分析】
这道题围绕实数的知识体系展开，解题时首先回忆实数章节的核心知识点：1. 先梳理实数的分类，除有理数外的类别是无理数，对应记住无理数的定义；再回忆实数和数轴的对应关系；然后回忆开平方相关的平方根、算术平方根的性质，开立方对应的立方根的性质，逐一完成框架填空。2. 写有理数和无理数时，紧扣两者的定义：有理数是整数和分数（可化为有限或无限循环小数），无理数是无限不循环小数，据此举例即可。3. 实数分类可从定义和正负性两个维度梳理。
【解析】
1. 知识框架填空：
（1）分类板块：第二个类别为无理数，定义：无限不循环小数叫做无理数；
（2）表示板块：实数与数轴上的点一一对应；
（3）开平方-平方根性质：一个正数有$\boldsymbol{2}$个平方根，这两个平方根互为相反数；0的平方根是$\boldsymbol{0}$；负数没有平方根；
（4）开立方板块：对应概念为立方根，性质：正数的立方根是正数；$\boldsymbol{0}$的立方根是0；负数的立方根是负数。
补充核心性质：如果一个数的平方等于$a$，那么这个数叫做$a$的平方根，正数$a$的平方根记为$\pm\sqrt{a}$；非负数$a$的正的平方根叫做它的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，算术平方根具有非负性；开平方与平方互为逆运算，只有非负数有平方根。如果一个数的立方等于$a$，那么这个数叫做$a$的立方根，记为$\sqrt[3]{a}$，任何实数都有唯一的立方根，开立方与立方互为逆运算。
2. 举例示例：有理数：$3$，$-\frac{1}{2}$（只要是整数或分数即可，答案不唯一）；无理数：$π$，$\sqrt{2}$（只要是无限不循环小数即可，答案不唯一）。
3. 实数有两种常见分类方式：
① 按定义分类：$\mathrm{实数}\begin{cases}\mathrm{有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）}\\\mathrm{无理数：无限不循环小数}\end{cases}$
② 按正负性分类：$\mathrm{实数}\begin{cases}\mathrm{正实数}\\\quad0\\\mathrm{负实数}\end{cases}$
【答案】
1. 知识框架填空依次为：无理数；无限不循环小数叫做无理数；一一对应；2；相反数；0；负数；立方根；正数；0；负数；其余核心性质见解析内容。
2. 示例：有理数：$1$，$0.5$；无理数：$\sqrt{3}$，$π$（答案不唯一）
3. 实数可按定义分为有理数和无理数，也可按正负分为正实数、0、负实数（分类合理即可）
【知识点】
实数的概念；平方根与立方根的性质；实数的分类
【点评】
本题围绕实数章节的核心基础知识设置，侧重考察对基础概念的理解和记忆，能够帮助学生梳理整章的知识框架，巩固基础，为后续实数的运算和应用做好铺垫。
【难度系数】
0.8
这道题围绕实数的知识体系展开，解题时首先回忆实数章节的核心知识点：1. 先梳理实数的分类，除有理数外的类别是无理数，对应记住无理数的定义；再回忆实数和数轴的对应关系；然后回忆开平方相关的平方根、算术平方根的性质，开立方对应的立方根的性质，逐一完成框架填空。2. 写有理数和无理数时，紧扣两者的定义：有理数是整数和分数（可化为有限或无限循环小数），无理数是无限不循环小数，据此举例即可。3. 实数分类可从定义和正负性两个维度梳理。
【解析】
1. 知识框架填空：
（1）分类板块：第二个类别为无理数，定义：无限不循环小数叫做无理数；
（2）表示板块：实数与数轴上的点一一对应；
（3）开平方-平方根性质：一个正数有$\boldsymbol{2}$个平方根，这两个平方根互为相反数；0的平方根是$\boldsymbol{0}$；负数没有平方根；
（4）开立方板块：对应概念为立方根，性质：正数的立方根是正数；$\boldsymbol{0}$的立方根是0；负数的立方根是负数。
补充核心性质：如果一个数的平方等于$a$，那么这个数叫做$a$的平方根，正数$a$的平方根记为$\pm\sqrt{a}$；非负数$a$的正的平方根叫做它的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，算术平方根具有非负性；开平方与平方互为逆运算，只有非负数有平方根。如果一个数的立方等于$a$，那么这个数叫做$a$的立方根，记为$\sqrt[3]{a}$，任何实数都有唯一的立方根，开立方与立方互为逆运算。
2. 举例示例：有理数：$3$，$-\frac{1}{2}$（只要是整数或分数即可，答案不唯一）；无理数：$π$，$\sqrt{2}$（只要是无限不循环小数即可，答案不唯一）。
3. 实数有两种常见分类方式：
① 按定义分类：$\mathrm{实数}\begin{cases}\mathrm{有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）}\\\mathrm{无理数：无限不循环小数}\end{cases}$
② 按正负性分类：$\mathrm{实数}\begin{cases}\mathrm{正实数}\\\quad0\\\mathrm{负实数}\end{cases}$
【答案】
1. 知识框架填空依次为：无理数；无限不循环小数叫做无理数；一一对应；2；相反数；0；负数；立方根；正数；0；负数；其余核心性质见解析内容。
2. 示例：有理数：$1$，$0.5$；无理数：$\sqrt{3}$，$π$（答案不唯一）
3. 实数可按定义分为有理数和无理数，也可按正负分为正实数、0、负实数（分类合理即可）
【知识点】
实数的概念；平方根与立方根的性质；实数的分类
【点评】
本题围绕实数章节的核心基础知识设置，侧重考察对基础概念的理解和记忆，能够帮助学生梳理整章的知识框架，巩固基础，为后续实数的运算和应用做好铺垫。
【难度系数】
0.8
活动二:想一想 做一做
1. 我们在学习“实数”时,画了这样一个图,即“以数轴上的单位长度为‘1’的线段画一个正方形,然后以原点为圆心,正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A”.
图2-2
请根据图2-2,回答下列问题:
(1) 线段OA的长是
(2) 画这个图形是为了说明什么?
(3) 这种研究和解决问题的方式,体现的数学思想方法是 （
A. 数形结合 B. 代入 C. 换元 D. 归纳
1. 我们在学习“实数”时,画了这样一个图,即“以数轴上的单位长度为‘1’的线段画一个正方形,然后以原点为圆心,正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A”.
图2-2
请根据图2-2,回答下列问题:
(1) 线段OA的长是
√2
.(2) 画这个图形是为了说明什么?
(3) 这种研究和解决问题的方式,体现的数学思想方法是 （
A
）A. 数形结合 B. 代入 C. 换元 D. 归纳
答案
1.(1) √2
(2) 实数与数轴上的点一一对应
(3) A
(2) 实数与数轴上的点一一对应
(3) A
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：
1. 求解OA长度：首先明确OA是圆的半径，和正方形对角线OB长度相等，再用勾股定理计算边长为1的正方形对角线长度即可得到OA的长；
2. 分析作图意图：√2是无理数，该作图将无理数对应到数轴上的确定点，可由此推导要说明的结论；
3. 判断数学思想：该过程将抽象的数（实数）和直观的图形（数轴、正方形、圆弧）结合起来分析问题，对应对应的思想方法即可。
【解析】
(1) 已知正方形的边长为1，根据勾股定理，正方形的对角线OB的长度为：
$OB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
又
∵OA、OB都是以原点O为圆心的圆弧的半径，
∴$OA=OB=\sqrt{2}$。
(2) √2是无理数，通过该作图可以在数轴上找到唯一的点A与√2对应，说明任意实数（包括有理数和无理数）都可以用数轴上的点来表示，即实数与数轴上的点一一对应。
(3) 该研究过程将实数的概念和数轴、几何图形的作图结合起来分析问题，体现了数形结合的数学思想，故选A。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$
(2) 实数与数轴上的点一一对应
(3) A
【知识点】
勾股定理的应用，实数与数轴的关系，数形结合思想
【点评】
本题是实数章节的基础作图应用题，通过几何作图直观展示了无理数在数轴上的表示，既考查了勾股定理的基础计算，也考查了对实数和数轴对应关系的理解，以及对常用数学思想的辨识。
【难度系数】
0.85
解题思路可分三步梳理：
1. 求解OA长度：首先明确OA是圆的半径，和正方形对角线OB长度相等，再用勾股定理计算边长为1的正方形对角线长度即可得到OA的长；
2. 分析作图意图：√2是无理数，该作图将无理数对应到数轴上的确定点，可由此推导要说明的结论；
3. 判断数学思想：该过程将抽象的数（实数）和直观的图形（数轴、正方形、圆弧）结合起来分析问题，对应对应的思想方法即可。
【解析】
(1) 已知正方形的边长为1，根据勾股定理，正方形的对角线OB的长度为：
$OB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
又
∵OA、OB都是以原点O为圆心的圆弧的半径，
∴$OA=OB=\sqrt{2}$。
(2) √2是无理数，通过该作图可以在数轴上找到唯一的点A与√2对应，说明任意实数（包括有理数和无理数）都可以用数轴上的点来表示，即实数与数轴上的点一一对应。
(3) 该研究过程将实数的概念和数轴、几何图形的作图结合起来分析问题，体现了数形结合的数学思想，故选A。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$
(2) 实数与数轴上的点一一对应
(3) A
【知识点】
勾股定理的应用，实数与数轴的关系，数形结合思想
【点评】
本题是实数章节的基础作图应用题，通过几何作图直观展示了无理数在数轴上的表示，既考查了勾股定理的基础计算，也考查了对实数和数轴对应关系的理解，以及对常用数学思想的辨识。
【难度系数】
0.85
