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活动一:做一做 议一议
如图1-7,在△ABC中,∠B=40°,∠C=80°,它们所夹的边BC为2.5 cm.
(1) 你能画一个三角形,使它的两个内角分别是40°和80°,且这两个内角所夹的边为2.5 cm吗?
(2) 你画的三角形与△ABC全等吗? 各位同学所画的三角形是否全等? 先猜一猜,再剪下所画的三角形验证.
(3) 从以上操作中,你能得到什么结论?
图1-7
如图1-7,在△ABC中,∠B=40°,∠C=80°,它们所夹的边BC为2.5 cm.
(1) 你能画一个三角形,使它的两个内角分别是40°和80°,且这两个内角所夹的边为2.5 cm吗?
(2) 你画的三角形与△ABC全等吗? 各位同学所画的三角形是否全等? 先猜一猜,再剪下所画的三角形验证.
(3) 从以上操作中,你能得到什么结论?
图1-7
答案
(1)略 (2)全等 (3)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
解析
【分析】
解决这道题可按以下思路思考：
1. 第(1)问画图可按“先定夹边，再定夹角”的思路操作：先画出长度为2.5cm的线段作为两个角的夹边，再分别在线段的两个端点画出40°和80°的角，两条角边的交点就是三角形的第三个顶点，即可得到符合要求的三角形。
2. 第(2)问判断全等可通过叠合法验证：由于所有人画图的条件完全一致，画出的三角形形状、大小都相同，和原△ABC叠放能完全重合，所以是全等的。
3. 第(3)问只需将操作中全等的共同条件提炼总结，即可得到对应的全等判定结论。
【解析】
(1) 画图步骤：①画线段BC'=2.5cm；②以B为顶点、BC'为一边作∠MBC'=40°，以C'为顶点、C'B为一边作∠NC'B=80°，BM与C'N交于点A'，△A'BC'即为所求三角形。
(2) 将画好的△A'BC'与题中△ABC叠放，二者可完全重合，因此两个三角形全等；所有同学按相同条件画出的三角形都可完全重合，因此大家画的三角形也全等。
(3) 从操作中可发现：只要两个三角形的两个角及这两个角的夹边分别相等，这两个三角形就一定全等。
【答案】
(1)略
(2)全等
(3)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
【知识点】
尺规作图，全等三角形ASA判定
【点评】
本题通过动手实践的形式探究全等三角形的判定定理，将抽象的判定规则转化为直观的操作体验，有助于加深对“角边角”判定适用条件的理解和记忆。
【难度系数】
0.9
解决这道题可按以下思路思考：
1. 第(1)问画图可按“先定夹边，再定夹角”的思路操作：先画出长度为2.5cm的线段作为两个角的夹边，再分别在线段的两个端点画出40°和80°的角，两条角边的交点就是三角形的第三个顶点，即可得到符合要求的三角形。
2. 第(2)问判断全等可通过叠合法验证：由于所有人画图的条件完全一致，画出的三角形形状、大小都相同，和原△ABC叠放能完全重合，所以是全等的。
3. 第(3)问只需将操作中全等的共同条件提炼总结，即可得到对应的全等判定结论。
【解析】
(1) 画图步骤：①画线段BC'=2.5cm；②以B为顶点、BC'为一边作∠MBC'=40°，以C'为顶点、C'B为一边作∠NC'B=80°，BM与C'N交于点A'，△A'BC'即为所求三角形。
(2) 将画好的△A'BC'与题中△ABC叠放，二者可完全重合，因此两个三角形全等；所有同学按相同条件画出的三角形都可完全重合，因此大家画的三角形也全等。
(3) 从操作中可发现：只要两个三角形的两个角及这两个角的夹边分别相等，这两个三角形就一定全等。
【答案】
(1)略
(2)全等
(3)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
【知识点】
尺规作图，全等三角形ASA判定
【点评】
本题通过动手实践的形式探究全等三角形的判定定理，将抽象的判定规则转化为直观的操作体验，有助于加深对“角边角”判定适用条件的理解和记忆。
【难度系数】
0.9
1. 如图1-8，∠CBE=∠DBE. 你能补充一个条件，使△ABC≌△ABD吗？说明你的理由. 
答案
1. ∠CAB=∠DAB(不唯一)
解析
【分析】
要证明△ABC≌△ABD，首先梳理可推导的已知条件：由题目给出的∠CBE=∠DBE，结合邻补角的性质可推出∠ABC=∠ABD，同时AB是两个三角形的公共边，即已有一组公共边相等、一组对应角相等。根据全等三角形的判定定理，只需再补充一组对应角相等（可选用ASA或AAS判定），或补充夹该等角的另一组对应边相等（可选用SAS判定）即可，本题可选择补充∠CAB=∠DAB，通过ASA判定全等。
【解析】
解：补充条件：$\boldsymbol{∠CAB=∠DAB}$（答案不唯一），理由如下：
∵$∠ CBE=∠ DBE$，$∠ ABC+∠ CBE=180°$，$∠ ABD+∠ DBE=180°$，
∴$∠ ABC=∠ ABD$（等角的补角相等）。
在$△ ABC$和$△ ABD$中：
$\begin{cases}∠ CAB=∠ DAB, \\AB=AB\quad (\mathrm{公共边}), \\∠ ABC=∠ ABD,\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ ABD$（ASA）。
*注：也可补充$BC=BD$（用SAS判定）或$∠ C=∠ D$（用AAS判定）。
【答案】
∠CAB=∠DAB（答案不唯一）
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 补角的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，需要先从已知条件推导得出隐含的对应角相等，再结合全等三角形的判定定理补充合适的条件，侧重考查对全等判定定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC≌△ABD，首先梳理可推导的已知条件：由题目给出的∠CBE=∠DBE，结合邻补角的性质可推出∠ABC=∠ABD，同时AB是两个三角形的公共边，即已有一组公共边相等、一组对应角相等。根据全等三角形的判定定理，只需再补充一组对应角相等（可选用ASA或AAS判定），或补充夹该等角的另一组对应边相等（可选用SAS判定）即可，本题可选择补充∠CAB=∠DAB，通过ASA判定全等。
【解析】
解：补充条件：$\boldsymbol{∠CAB=∠DAB}$（答案不唯一），理由如下：
∵$∠ CBE=∠ DBE$，$∠ ABC+∠ CBE=180°$，$∠ ABD+∠ DBE=180°$，
∴$∠ ABC=∠ ABD$（等角的补角相等）。
在$△ ABC$和$△ ABD$中：
$\begin{cases}∠ CAB=∠ DAB, \\AB=AB\quad (\mathrm{公共边}), \\∠ ABC=∠ ABD,\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ ABD$（ASA）。
*注：也可补充$BC=BD$（用SAS判定）或$∠ C=∠ D$（用AAS判定）。
【答案】
∠CAB=∠DAB（答案不唯一）
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 补角的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，需要先从已知条件推导得出隐含的对应角相等，再结合全等三角形的判定定理补充合适的条件，侧重考查对全等判定定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
2. 如图1-9，$△ ABC ≌ △ ABD$，连接CD，交射线AB于点E. 你能证明$CD ⊥ AE$吗？
答案
2. 根据“SAS”证明△ACE≌△ADE(或证明△BCE≌△BDE)
解析
【分析】
要证明$CD⊥AE$，只需证明两条直线的夹角为$90°$，即证$∠ AEC=∠ AED=90°$。首先由已知$△ ABC ≌ △ ABD$，可得到对应边$AC=AD$、对应角$∠ CAE=∠ DAE$，结合$AE$是$△ ACE$和$△ ADE$的公共边，可通过SAS判定定理证明两个三角形全等，再利用全等三角形对应角相等得到$∠ AEC=∠ AED$，最后结合平角为$180°$即可推出夹角为$90°$，证得垂直；也可通过证明$△ BCE≌△ BDE$得到相同结论。
【解析】
证明：
$\because △ ABC ≌ △ ABD$
$\therefore AC=AD$，$∠ CAE=∠ DAE$
在$△ ACE$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}AC=AD（已证）\\∠ CAE=∠ DAE（已证）\\AE=AE（公共边）\end{cases}$
$\therefore △ ACE ≌ △ ADE（SAS）$
$\therefore ∠ AEC=∠ AED$（全等三角形的对应角相等）
$\because ∠ AEC+∠ AED=180°$（平角的定义）
$\therefore ∠ AEC=∠ AED=\frac{1}{2}×180°=90°$
$\therefore CD ⊥ AE$
（或另一种证法：由$△ ABC ≌ △ ABD$得$BC=BD$，$∠ CBE=∠ DBE$，结合$BE=BE$，可证$△ BCE ≌ △ BDE（SAS）$，同理可得$∠ BEC=90°$，即$CD ⊥ AE$）
【答案】
能证明$CD⊥AE$，证明过程如上。
【知识点】
全等三角形的判定（SAS），全等三角形的性质，垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形判定和性质的基础应用题型，解题时需要先从已知的全等关系中挖掘边、角相等的条件，再结合公共边构造新的全等三角形，通过证明角为直角得到垂直关系，能有效锻炼学生对全等相关知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明$CD⊥AE$，只需证明两条直线的夹角为$90°$，即证$∠ AEC=∠ AED=90°$。首先由已知$△ ABC ≌ △ ABD$，可得到对应边$AC=AD$、对应角$∠ CAE=∠ DAE$，结合$AE$是$△ ACE$和$△ ADE$的公共边，可通过SAS判定定理证明两个三角形全等，再利用全等三角形对应角相等得到$∠ AEC=∠ AED$，最后结合平角为$180°$即可推出夹角为$90°$，证得垂直；也可通过证明$△ BCE≌△ BDE$得到相同结论。
【解析】
证明：
$\because △ ABC ≌ △ ABD$
$\therefore AC=AD$，$∠ CAE=∠ DAE$
在$△ ACE$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}AC=AD（已证）\\∠ CAE=∠ DAE（已证）\\AE=AE（公共边）\end{cases}$
$\therefore △ ACE ≌ △ ADE（SAS）$
$\therefore ∠ AEC=∠ AED$（全等三角形的对应角相等）
$\because ∠ AEC+∠ AED=180°$（平角的定义）
$\therefore ∠ AEC=∠ AED=\frac{1}{2}×180°=90°$
$\therefore CD ⊥ AE$
（或另一种证法：由$△ ABC ≌ △ ABD$得$BC=BD$，$∠ CBE=∠ DBE$，结合$BE=BE$，可证$△ BCE ≌ △ BDE（SAS）$，同理可得$∠ BEC=90°$，即$CD ⊥ AE$）
【答案】
能证明$CD⊥AE$，证明过程如上。
【知识点】
全等三角形的判定（SAS），全等三角形的性质，垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形判定和性质的基础应用题型，解题时需要先从已知的全等关系中挖掘边、角相等的条件，再结合公共边构造新的全等三角形，通过证明角为直角得到垂直关系，能有效锻炼学生对全等相关知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
