登录
1. 如图，$∠1=∠2$，$∠3=∠4$，要证明$BD=CD$，证明中判定两个三角形全等的依据是 （
A.角角角
B.角边角
C.边角边
D.角角边
（第1题）
B
）A.角角角
B.角边角
C.边角边
D.角角边
（第1题）答案
1.B
解析
【分析】
要证明BD=CD，根据全等三角形对应边相等的性质，需先证明△ABD和△ACD全等。首先梳理两个三角形的已知相等条件：题目给出∠1=∠2、∠3=∠4，且AD是两个三角形的公共边，可直接得到AD=AD。观察三个相等条件的位置：∠1和∠3的夹边是AD，∠2和∠4的夹边也是AD，即两个三角形中存在两角及其夹边对应相等，对应全等判定的角边角定理，即可得出答案。
【解析】
要证BD=CD，需先证△ABD≌△ACD。
在△ABD和△ACD中：
$\begin{cases}∠1=∠2 \quad (\mathrm{已知}),\\AD=AD \quad (\mathrm{公共边相等}),\\∠3=∠4 \quad (\mathrm{已知}),\end{cases}$
因此△ABD≌△ACD（角边角，即ASA），根据全等三角形对应边相等可得BD=CD。
所以判定两个三角形全等的依据是角边角，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
角边角判定定理，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，重点考查对角边角（ASA）判定定理的理解和应用，解题关键是准确识别相等边角的位置关系，区分不同全等判定定理的适用条件。
【难度系数】
0.85
要证明BD=CD，根据全等三角形对应边相等的性质，需先证明△ABD和△ACD全等。首先梳理两个三角形的已知相等条件：题目给出∠1=∠2、∠3=∠4，且AD是两个三角形的公共边，可直接得到AD=AD。观察三个相等条件的位置：∠1和∠3的夹边是AD，∠2和∠4的夹边也是AD，即两个三角形中存在两角及其夹边对应相等，对应全等判定的角边角定理，即可得出答案。
【解析】
要证BD=CD，需先证△ABD≌△ACD。
在△ABD和△ACD中：
$\begin{cases}∠1=∠2 \quad (\mathrm{已知}),\\AD=AD \quad (\mathrm{公共边相等}),\\∠3=∠4 \quad (\mathrm{已知}),\end{cases}$
因此△ABD≌△ACD（角边角，即ASA），根据全等三角形对应边相等可得BD=CD。
所以判定两个三角形全等的依据是角边角，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
角边角判定定理，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，重点考查对角边角（ASA）判定定理的理解和应用，解题关键是准确识别相等边角的位置关系，区分不同全等判定定理的适用条件。
【难度系数】
0.85
2. 如图，在$△ ABC$和$△ DEF$中，$AB=DE$，$∠ B=∠ DEF$. 下列选项中，添加为已知条件后仍无法使$△ ABC≌△ DEF$的是（
A.$BC=EF$
B.$∠ A=∠ D$
C.$AC=DF$
D.$BE=CF$
C
）A.$BC=EF$
B.$∠ A=∠ D$
C.$AC=DF$
D.$BE=CF$
答案
2.C
解析
【分析】
已知△ABC和△DEF中已有条件：AB=DE，∠B=∠DEF，即一组边和一组夹边的角对应相等。我们可以结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS）逐一验证每个选项的条件能否证明两三角形全等，注意“SSA（两边及其中一边的对角对应相等）”不能判定三角形全等。
【解析】
已知在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠DEF，逐一分析选项：
1. 若添加$BC=EF$，满足“SAS（两边及其夹角对应相等）”的判定条件，可证明$△ ABC≌△ DEF$，不符合题意；
2. 若添加$∠A=∠D$，满足“ASA（两角及其夹边对应相等）”的判定条件，可证明$△ ABC≌△ DEF$，不符合题意；
3. 若添加$AC=DF$，此时条件为$AB=DE$，$∠B=∠DEF$，$AC=DF$，属于“SSA”，无对应全等判定定理，无法证明$△ ABC≌△ DEF$，符合题意；
4. 若添加$BE=CF$，根据等式性质可得$BE+EC=CF+EC$，即$BC=EF$，同选项1满足“SAS”，可证明$△ ABC≌△ DEF$，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题核心是熟练掌握全等三角形的各类判定定理，明确“SSA”不能作为三角形全等的判定依据，避免混淆判定条件出错。
【难度系数】
0.7
已知△ABC和△DEF中已有条件：AB=DE，∠B=∠DEF，即一组边和一组夹边的角对应相等。我们可以结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS）逐一验证每个选项的条件能否证明两三角形全等，注意“SSA（两边及其中一边的对角对应相等）”不能判定三角形全等。
【解析】
已知在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠DEF，逐一分析选项：
1. 若添加$BC=EF$，满足“SAS（两边及其夹角对应相等）”的判定条件，可证明$△ ABC≌△ DEF$，不符合题意；
2. 若添加$∠A=∠D$，满足“ASA（两角及其夹边对应相等）”的判定条件，可证明$△ ABC≌△ DEF$，不符合题意；
3. 若添加$AC=DF$，此时条件为$AB=DE$，$∠B=∠DEF$，$AC=DF$，属于“SSA”，无对应全等判定定理，无法证明$△ ABC≌△ DEF$，符合题意；
4. 若添加$BE=CF$，根据等式性质可得$BE+EC=CF+EC$，即$BC=EF$，同选项1满足“SAS”，可证明$△ ABC≌△ DEF$，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题核心是熟练掌握全等三角形的各类判定定理，明确“SSA”不能作为三角形全等的判定依据，避免混淆判定条件出错。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$AE=AD$，要使$△ ABD ≌ △ ACE$，需要添加的一个条件是
答案不唯一,如∠AEC=∠ADB
答案
3. 答案不唯一,如∠AEC=∠ADB
解析
【分析】
要判断△ABD≌△ACE，首先梳理已有条件：已知AE=AD，且∠A是△ABD和△ACE的公共角，因此已有一组边相等、一组角相等。接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS等），补充缺少的对应相等的边或角即可：若用SAS判定，可补充AB=AC；若用ASA判定，可补充∠ADB=∠AEC；若用AAS判定，可补充∠B=∠C，任选其一即可。
【解析】
我们以添加∠AEC=∠ADB为例证明：
在△ABD和△ACE中：
$\begin{cases}∠A=∠A \quad (\mathrm{公共角相等})\\AD=AE \quad (\mathrm{已知})\\∠ADB=∠AEC \quad (\mathrm{添加的条件})\end{cases}$
根据ASA（角-边-角）全等判定定理，可得△ABD≌△ACE。
也可添加AB=AC（利用SAS判定）、∠B=∠C（利用AAS判定）等，均符合要求。
【答案】
答案不唯一，如∠AEC=∠ADB
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 公共角的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对全等三角形判定定理的掌握和灵活运用能力，解题时要注意挖掘图形中隐含的公共角条件，结合已知条件匹配对应的判定规则即可得到答案。
【难度系数】
0.7
要判断△ABD≌△ACE，首先梳理已有条件：已知AE=AD，且∠A是△ABD和△ACE的公共角，因此已有一组边相等、一组角相等。接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS等），补充缺少的对应相等的边或角即可：若用SAS判定，可补充AB=AC；若用ASA判定，可补充∠ADB=∠AEC；若用AAS判定，可补充∠B=∠C，任选其一即可。
【解析】
我们以添加∠AEC=∠ADB为例证明：
在△ABD和△ACE中：
$\begin{cases}∠A=∠A \quad (\mathrm{公共角相等})\\AD=AE \quad (\mathrm{已知})\\∠ADB=∠AEC \quad (\mathrm{添加的条件})\end{cases}$
根据ASA（角-边-角）全等判定定理，可得△ABD≌△ACE。
也可添加AB=AC（利用SAS判定）、∠B=∠C（利用AAS判定）等，均符合要求。
【答案】
答案不唯一，如∠AEC=∠ADB
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 公共角的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对全等三角形判定定理的掌握和灵活运用能力，解题时要注意挖掘图形中隐含的公共角条件，结合已知条件匹配对应的判定规则即可得到答案。
【难度系数】
0.7
4. 已知:如图,∠1=∠2,∠3=∠4,点E在BD上,连接AE,CE.
求证:AE=CE.
求证:AE=CE.
答案
4. 在△ABD和△CBD中,因为∠1=∠2,BD=BD,∠3=∠4,所以△ABD≌△CBD.所以AB=CB. 在△ABE和△CBE中,因为AB=CB,∠1=∠2,BE=BE,所以△ABE≌△CBE.所以AE=CE
解析
【分析】
要证明AE=CE，可通过证明AE、CE所在的△ABE和△CBE全等来实现。目前已知两个三角形有一组角相等（∠1=∠2）和公共边BE，还缺少一组对应边AB=CB的条件。要得到AB=CB，可利用已知的∠1=∠2、∠3=∠4以及公共边BD，先证明△ABD≌△CBD，得到AB=CB后，即可证明△ABE≌△CBE，进而推出AE=CE。
【解析】
证明：在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases}∠1=∠2, \\BD=BD(\mathrm{公共边}), \\∠3=∠4,\end{cases}$
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB=CB。
在△ABE和△CBE中，
$\begin{cases}AB=CB, \\∠1=∠2, \\BE=BE(\mathrm{公共边}),\end{cases}$
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE。
【答案】
AE=CE
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的典型题型，需要通过两次全等推导得到结论，解题时可采用逆向思维从待证结论反推所需条件，再结合已知正向推导，能有效考查对全等三角形判定和性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明AE=CE，可通过证明AE、CE所在的△ABE和△CBE全等来实现。目前已知两个三角形有一组角相等（∠1=∠2）和公共边BE，还缺少一组对应边AB=CB的条件。要得到AB=CB，可利用已知的∠1=∠2、∠3=∠4以及公共边BD，先证明△ABD≌△CBD，得到AB=CB后，即可证明△ABE≌△CBE，进而推出AE=CE。
【解析】
证明：在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases}∠1=∠2, \\BD=BD(\mathrm{公共边}), \\∠3=∠4,\end{cases}$
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB=CB。
在△ABE和△CBE中，
$\begin{cases}AB=CB, \\∠1=∠2, \\BE=BE(\mathrm{公共边}),\end{cases}$
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE。
【答案】
AE=CE
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的典型题型，需要通过两次全等推导得到结论，解题时可采用逆向思维从待证结论反推所需条件，再结合已知正向推导，能有效考查对全等三角形判定和性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图，一块三角形的玻璃被打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，只要（
A.带碎片①去
B.带碎片②去
C.带碎片③去
D.带碎片①和②去
C
）A.带碎片①去
B.带碎片②去
C.带碎片③去
D.带碎片①和②去
答案
1.C
解析
【分析】
要配一块和原三角形完全一样的玻璃，本质是构造与原三角形全等的三角形，因此需要判断哪块碎片保留的原三角形的边、角信息满足全等三角形的判定条件。我们可以逐个分析三块碎片的特征，结合全等判定定理判断其能否唯一确定和原三角形全等的三角形。
【解析】
我们的目标是得到与原三角形全等的三角形，逐一分析三块碎片：
1. 碎片①仅保留了原三角形的1个角和部分边，不满足任何全等三角形的判定条件，无法确定原三角形的形状和大小；
2. 碎片②仅保留了原三角形的部分边，没有完整的角与对应边的组合，也无法判定全等；
3. 碎片③保留了原三角形的两个内角，以及这两个内角所夹的完整边，根据全等三角形判定的“角边角（ASA）”定理，可唯一确定一个和原三角形全等的三角形，因此带碎片③去即可配到完全一样的玻璃。
综上本题选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定、ASA判定定理
【点评】
本题是全等三角形判定的实际应用类题目，解题关键是结合图形分析每块碎片保留的原三角形的边、角元素，再结合全等判定定理判断即可，题目贴近生活，侧重对基础定理应用的考查。
【难度系数】
0.9
要配一块和原三角形完全一样的玻璃，本质是构造与原三角形全等的三角形，因此需要判断哪块碎片保留的原三角形的边、角信息满足全等三角形的判定条件。我们可以逐个分析三块碎片的特征，结合全等判定定理判断其能否唯一确定和原三角形全等的三角形。
【解析】
我们的目标是得到与原三角形全等的三角形，逐一分析三块碎片：
1. 碎片①仅保留了原三角形的1个角和部分边，不满足任何全等三角形的判定条件，无法确定原三角形的形状和大小；
2. 碎片②仅保留了原三角形的部分边，没有完整的角与对应边的组合，也无法判定全等；
3. 碎片③保留了原三角形的两个内角，以及这两个内角所夹的完整边，根据全等三角形判定的“角边角（ASA）”定理，可唯一确定一个和原三角形全等的三角形，因此带碎片③去即可配到完全一样的玻璃。
综上本题选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定、ASA判定定理
【点评】
本题是全等三角形判定的实际应用类题目，解题关键是结合图形分析每块碎片保留的原三角形的边、角元素，再结合全等判定定理判断即可，题目贴近生活，侧重对基础定理应用的考查。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$△ ABC$中，$BE// CF$，$BE$，$CF$与$AE$的交点分别为$E$，$F$.
（1）若$AD$是$△ ABC$的中线，则$BE$与$CF$相等吗？
（2）若$BE=CF$，则$AD$是$△ ABC$的中线吗？为什么？
（1）若$AD$是$△ ABC$的中线，则$BE$与$CF$相等吗？
（2）若$BE=CF$，则$AD$是$△ ABC$的中线吗？为什么？
答案
2. (1) 依据“ASA”,证得△BDE≌△CDF,所以BE=CF (2) 依据“ASA”,证得△BDE≌△CDF,使得BD=CD,即AD是△ABC的中线
解析
【分析】
（1）要判断BE与CF是否相等，可通过证明两条线段所在的△BDE和△CDF全等来推导：首先由AD是△ABC的中线可得BD=CD，再结合BE//CF得到一组内错角相等，加上对顶角相等，即可用ASA判定两个三角形全等，进而得到对应边BE=CF。
（2）要判断AD是否为△ABC的中线，本质是证明BD=CD，同样可证△BDE≌△CDF：已知BE=CF，结合BE//CF得到两组角相等，用ASA判定全等后得到对应边BD=CD，即可证明AD是中线。
【解析】
（1）BE=CF，证明过程如下：
∵AD是△ABC的中线，
∴$BD=CD$。
∵$BE// CF$，
∴$∠ EBD=∠ FCD$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠ EBD=∠ FCD \\BD=CD \\∠ BDE=∠ CDF \quad (\mathrm{对顶角相等})\end{cases}$
∴$△ BDE≌△ CDF(\mathrm{ASA})$，
∴$BE=CF$。
（2）AD是△ABC的中线，理由如下：
∵$BE// CF$，
∴$∠ EBD=∠ FCD$，$∠ BED=∠ CFD$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠ EBD=∠ FCD \\BE=CF \\∠ BED=∠ CFD\end{cases}$
∴$△ BDE≌△ CDF(\mathrm{ASA})$，
∴$BD=CD$，即AD是△ABC的中线。
【答案】
(1) 依据“ASA”，证得$△ BDE≌△ CDF$，所以$BE=CF$；
(2) 依据“ASA”，证得$△ BDE≌△ CDF$，使得$BD=CD$，即AD是$△ ABC$的中线。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形中线的定义
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用类题目，解题的关键是结合平行线性质、对顶角相等找到全等三角形对应相等的角，再结合已知的边相等判定三角形全等，最后利用全等三角形的性质解决线段相等和中线判定的问题，侧重考察全等三角形的基础应用。
【难度系数】
0.8
（1）要判断BE与CF是否相等，可通过证明两条线段所在的△BDE和△CDF全等来推导：首先由AD是△ABC的中线可得BD=CD，再结合BE//CF得到一组内错角相等，加上对顶角相等，即可用ASA判定两个三角形全等，进而得到对应边BE=CF。
（2）要判断AD是否为△ABC的中线，本质是证明BD=CD，同样可证△BDE≌△CDF：已知BE=CF，结合BE//CF得到两组角相等，用ASA判定全等后得到对应边BD=CD，即可证明AD是中线。
【解析】
（1）BE=CF，证明过程如下：
∵AD是△ABC的中线，
∴$BD=CD$。
∵$BE// CF$，
∴$∠ EBD=∠ FCD$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠ EBD=∠ FCD \\BD=CD \\∠ BDE=∠ CDF \quad (\mathrm{对顶角相等})\end{cases}$
∴$△ BDE≌△ CDF(\mathrm{ASA})$，
∴$BE=CF$。
（2）AD是△ABC的中线，理由如下：
∵$BE// CF$，
∴$∠ EBD=∠ FCD$，$∠ BED=∠ CFD$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠ EBD=∠ FCD \\BE=CF \\∠ BED=∠ CFD\end{cases}$
∴$△ BDE≌△ CDF(\mathrm{ASA})$，
∴$BD=CD$，即AD是△ABC的中线。
【答案】
(1) 依据“ASA”，证得$△ BDE≌△ CDF$，所以$BE=CF$；
(2) 依据“ASA”，证得$△ BDE≌△ CDF$，使得$BD=CD$，即AD是$△ ABC$的中线。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形中线的定义
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用类题目，解题的关键是结合平行线性质、对顶角相等找到全等三角形对应相等的角，再结合已知的边相等判定三角形全等，最后利用全等三角形的性质解决线段相等和中线判定的问题，侧重考察全等三角形的基础应用。
【难度系数】
0.8
