登录
活动一:做一做 想一想
如图1-10,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.△ABC与△DEF全等吗?为什么?
如图1-10,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.△ABC与△DEF全等吗?为什么?
答案
解：△ABC与△DEF全等，理由如下：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠A-∠B。
在△DEF中，∠D+∠E+∠F=180°，
∴∠F=180°-∠D-∠E。
∵∠A=∠D，∠B=∠E，
∴∠C=∠F。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠E,\\BC=EF,\\∠C=∠F,\end{array} $
∴△ABC≌△DEF（ASA）。
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠A-∠B。
在△DEF中，∠D+∠E+∠F=180°，
∴∠F=180°-∠D-∠E。
∵∠A=∠D，∠B=∠E，
∴∠C=∠F。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠E,\\BC=EF,\\∠C=∠F,\end{array} $
∴△ABC≌△DEF（ASA）。
解析
【分析】
要判断两个三角形是否全等，先梳理已知条件：已知∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF。我们可以先利用三角形内角和为180°的性质，由两组已知的等角推出第三组角∠C=∠F，此时观察可得：∠B和∠C的夹边是BC，∠E和∠F的夹边是EF，刚好符合全等三角形“角边角（ASA）”的判定要求，因此可以证明两个三角形全等。
【解析】
解：△ABC与△DEF全等，理由如下：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠A-∠B。
在△DEF中，∠D+∠E+∠F=180°，
∴∠F=180°-∠D-∠E。
∵∠A=∠D，∠B=∠E，
∴∠C=∠F。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠E,\\BC=EF,\\∠C=∠F,\end{array} $
∴△ABC≌△DEF（ASA）。
【答案】
△ABC与△DEF全等，理由如下：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠A-∠B。
在△DEF中，∠D+∠E+∠F=180°，
∴∠F=180°-∠D-∠E。
∵∠A=∠D，∠B=∠E，
∴∠C=∠F。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠E,\\BC=EF,\\∠C=∠F,\end{array} $
∴△ABC≌△DEF（ASA）。
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 全等三角形的ASA判定
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题，解题关键是灵活运用三角形内角和定理将已知条件转化为全等判定所需的条件，做题时要注意找准对应角、对应边的对应关系，避免混淆判定定理的使用条件。
【难度系数】
0.8
要判断两个三角形是否全等，先梳理已知条件：已知∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF。我们可以先利用三角形内角和为180°的性质，由两组已知的等角推出第三组角∠C=∠F，此时观察可得：∠B和∠C的夹边是BC，∠E和∠F的夹边是EF，刚好符合全等三角形“角边角（ASA）”的判定要求，因此可以证明两个三角形全等。
【解析】
解：△ABC与△DEF全等，理由如下：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠A-∠B。
在△DEF中，∠D+∠E+∠F=180°，
∴∠F=180°-∠D-∠E。
∵∠A=∠D，∠B=∠E，
∴∠C=∠F。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠E,\\BC=EF,\\∠C=∠F,\end{array} $
∴△ABC≌△DEF（ASA）。
【答案】
△ABC与△DEF全等，理由如下：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠A-∠B。
在△DEF中，∠D+∠E+∠F=180°，
∴∠F=180°-∠D-∠E。
∵∠A=∠D，∠B=∠E，
∴∠C=∠F。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠E,\\BC=EF,\\∠C=∠F,\end{array} $
∴△ABC≌△DEF（ASA）。
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 全等三角形的ASA判定
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题，解题关键是灵活运用三角形内角和定理将已知条件转化为全等判定所需的条件，做题时要注意找准对应角、对应边的对应关系，避免混淆判定定理的使用条件。
【难度系数】
0.8
活动二:试一试 比一比
如图1-11，$AO=DO$，$∠ AOB$与$∠ DOC$是对顶角，还需补充条件
如图1-11，$AO=DO$，$∠ AOB$与$∠ DOC$是对顶角，还需补充条件
∠A
=∠D
，就可根据“ASA”，说明$△ AOB ≌ △ DOC$；或者补充条件∠B
=∠C
，就可根据“AAS”，说明$△ AOB ≌ △ DOC$。答案
∠A ∠D ∠B ∠C
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：①$AO=DO$；②$∠AOB$与$∠DOC$是对顶角，因此$∠AOB=∠DOC$。接下来结合全等判定定理分析缺项：
1. ASA判定要求“两角及其夹边对应相等”，已知夹边$AO=DO$，夹边对应的一组角$∠AOB=∠DOC$，还缺夹边对应的另一组角相等，即$∠A$和$∠D$相等；
2. AAS判定要求“两角及其中一角的对边对应相等”，已知一组角$∠AOB=∠DOC$、一组边$AO=DO$（$AO$是$∠B$的对边，$DO$是$∠C$的对边），还缺另一组角相等，即$∠B$和$∠C$相等。
【解析】
已知$AO=DO$，$∠AOB=∠DOC$（对顶角相等）。
1. 若用“ASA”判定全等：
ASA的判定规则是两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，当前已有夹边$AO=DO$，夹边对应的一组角$∠AOB=∠DOC$，补充$∠A=∠D$后，满足：
$\begin{cases}∠A=∠D \\AO=DO \\∠AOB=∠DOC\end{cases}$
因此$△ AOB ≌ △ DOC$（ASA）。
2. 若用“AAS”判定全等：
AAS的判定规则是两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，当前已有一组角$∠AOB=∠DOC$，边$AO=DO$（$AO$是$△ AOB$中$∠B$的对边，$DO$是$△ DOC$中$∠C$的对边），补充$∠B=∠C$后，满足：
$\begin{cases}∠B=∠C \\∠AOB=∠DOC \\AO=DO\end{cases}$
因此$△ AOB ≌ △ DOC$（AAS）。
【答案】
$∠A$；$∠D$；$∠B$；$∠C$
【知识点】
全等三角形ASA判定；全等三角形AAS判定；对顶角的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，解题时先梳理已有的相等边、相等角，再结合对应判定定理的要求匹配缺失的条件即可，需注意区分ASA和AAS中边的位置差异，避免混淆。
【难度系数】
0.8
首先梳理题目已知条件：①$AO=DO$；②$∠AOB$与$∠DOC$是对顶角，因此$∠AOB=∠DOC$。接下来结合全等判定定理分析缺项：
1. ASA判定要求“两角及其夹边对应相等”，已知夹边$AO=DO$，夹边对应的一组角$∠AOB=∠DOC$，还缺夹边对应的另一组角相等，即$∠A$和$∠D$相等；
2. AAS判定要求“两角及其中一角的对边对应相等”，已知一组角$∠AOB=∠DOC$、一组边$AO=DO$（$AO$是$∠B$的对边，$DO$是$∠C$的对边），还缺另一组角相等，即$∠B$和$∠C$相等。
【解析】
已知$AO=DO$，$∠AOB=∠DOC$（对顶角相等）。
1. 若用“ASA”判定全等：
ASA的判定规则是两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，当前已有夹边$AO=DO$，夹边对应的一组角$∠AOB=∠DOC$，补充$∠A=∠D$后，满足：
$\begin{cases}∠A=∠D \\AO=DO \\∠AOB=∠DOC\end{cases}$
因此$△ AOB ≌ △ DOC$（ASA）。
2. 若用“AAS”判定全等：
AAS的判定规则是两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，当前已有一组角$∠AOB=∠DOC$，边$AO=DO$（$AO$是$△ AOB$中$∠B$的对边，$DO$是$△ DOC$中$∠C$的对边），补充$∠B=∠C$后，满足：
$\begin{cases}∠B=∠C \\∠AOB=∠DOC \\AO=DO\end{cases}$
因此$△ AOB ≌ △ DOC$（AAS）。
【答案】
$∠A$；$∠D$；$∠B$；$∠C$
【知识点】
全等三角形ASA判定；全等三角形AAS判定；对顶角的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，解题时先梳理已有的相等边、相等角，再结合对应判定定理的要求匹配缺失的条件即可，需注意区分ASA和AAS中边的位置差异，避免混淆。
【难度系数】
0.8
如图1-12，$△ ABC ≌ △ A'B'C'$.在课本第22页的例4中，我们已经证明了当$AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的高时，$AD=A'D'$.若$AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的中线，则上述结论是否成立？若$AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的角平分线呢？若成立，请写出证明；若不成立，请说明理由.
答案
证明：两种情况结论均成立，即$AD=A'D'$。
一、当$AD$，$A'D'$分别是对应三角形的中线时：
$\because △ ABC ≌ △ A'B'C'$，
$\therefore AB=A'B'$，$BC=B'C'$，$∠ B=∠ B'$。
$\because AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的中线，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$，
$\therefore BD=B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中：
$\begin{cases}AB=A'B' \\∠ B=∠ B' \\BD=B'D'\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ A'B'D'(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD=A'D'$。
---
二、当$AD$，$A'D'$分别是对应三角形的角平分线时：
$\because △ ABC ≌ △ A'B'C'$，
$\therefore AB=A'B'$，$∠ B=∠ B'$，$∠ BAC=∠ B'A'C'$。
$\because AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的角平分线，
$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ B'A'D'=\frac{1}{2}∠ B'A'C'$，
$\therefore ∠ BAD=∠ B'A'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中：
$\begin{cases}∠ BAD=∠ B'A'D' \\AB=A'B' \\∠ B=∠ B'\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ A'B'D'(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AD=A'D'$。
一、当$AD$，$A'D'$分别是对应三角形的中线时：
$\because △ ABC ≌ △ A'B'C'$，
$\therefore AB=A'B'$，$BC=B'C'$，$∠ B=∠ B'$。
$\because AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的中线，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$，
$\therefore BD=B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中：
$\begin{cases}AB=A'B' \\∠ B=∠ B' \\BD=B'D'\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ A'B'D'(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD=A'D'$。
---
二、当$AD$，$A'D'$分别是对应三角形的角平分线时：
$\because △ ABC ≌ △ A'B'C'$，
$\therefore AB=A'B'$，$∠ B=∠ B'$，$∠ BAC=∠ B'A'C'$。
$\because AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的角平分线，
$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ B'A'D'=\frac{1}{2}∠ B'A'C'$，
$\therefore ∠ BAD=∠ B'A'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中：
$\begin{cases}∠ BAD=∠ B'A'D' \\AB=A'B' \\∠ B=∠ B'\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ A'B'D'(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AD=A'D'$。
解析
【分析】
要判断全等三角形的对应中线、对应角平分线是否相等，核心思路是证明待证线段所在的小三角形全等：首先利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等，再结合中线、角平分线的定义，推导得到小三角形的全等条件，证明△ABD和△A'B'D'全等后，即可得到对应边AD=A'D'。其中证明中线相等时用SAS判定全等，证明角平分线相等时用ASA判定全等。
【解析】
两种情况结论均成立，证明如下：
一、当AD，A'D'分别是对应三角形的中线时：
$\because △ ABC ≌ △ A'B'C'$，
$\therefore AB=A'B'$，$BC=B'C'$，$∠ B=∠ B'$。
$\because AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的中线，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$，
$\therefore BD=B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中：
$\begin{cases}AB=A'B' \\∠ B=∠ B' \\BD=B'D'\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ A'B'D'(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD=A'D'$。
二、当$AD$，$A'D'$分别是对应三角形的角平分线时：
$\because △ ABC ≌ △ A'B'C'$，
$\therefore AB=A'B'$，$∠ B=∠ B'$，$∠ BAC=∠ B'A'C'$。
$\because AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的角平分线，
$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ B'A'D'=\frac{1}{2}∠ B'A'C'$，
$\therefore ∠ BAD=∠ B'A'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中：
$\begin{cases}∠ BAD=∠ B'A'D' \\AB=A'B' \\∠ B=∠ B'\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ A'B'D'(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AD=A'D'$。
【答案】
两种情况结论均成立，即$AD=A'D'$。
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 全等三角形的判定
3. 三角形中线、角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形性质与判定的基础综合应用题，通过证明待证线段所在的小三角形全等来推导线段相等，是几何中证明线段相等的常用方法，同时也拓展了全等三角形的性质：全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线均相等。
【难度系数】
0.7
要判断全等三角形的对应中线、对应角平分线是否相等，核心思路是证明待证线段所在的小三角形全等：首先利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等，再结合中线、角平分线的定义，推导得到小三角形的全等条件，证明△ABD和△A'B'D'全等后，即可得到对应边AD=A'D'。其中证明中线相等时用SAS判定全等，证明角平分线相等时用ASA判定全等。
【解析】
两种情况结论均成立，证明如下：
一、当AD，A'D'分别是对应三角形的中线时：
$\because △ ABC ≌ △ A'B'C'$，
$\therefore AB=A'B'$，$BC=B'C'$，$∠ B=∠ B'$。
$\because AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的中线，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$，
$\therefore BD=B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中：
$\begin{cases}AB=A'B' \\∠ B=∠ B' \\BD=B'D'\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ A'B'D'(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD=A'D'$。
二、当$AD$，$A'D'$分别是对应三角形的角平分线时：
$\because △ ABC ≌ △ A'B'C'$，
$\therefore AB=A'B'$，$∠ B=∠ B'$，$∠ BAC=∠ B'A'C'$。
$\because AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的角平分线，
$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ B'A'D'=\frac{1}{2}∠ B'A'C'$，
$\therefore ∠ BAD=∠ B'A'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中：
$\begin{cases}∠ BAD=∠ B'A'D' \\AB=A'B' \\∠ B=∠ B'\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ A'B'D'(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AD=A'D'$。
【答案】
两种情况结论均成立，即$AD=A'D'$。
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 全等三角形的判定
3. 三角形中线、角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形性质与判定的基础综合应用题，通过证明待证线段所在的小三角形全等来推导线段相等，是几何中证明线段相等的常用方法，同时也拓展了全等三角形的性质：全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线均相等。
【难度系数】
0.7
1. 如图，$∠ A=∠ C$，要得到$△ ABD$和$△ CDB$全等，可以添加的条件是（
A.$AB=CD$
B.$AD// BC$
C.$AD=BC$
D.$BA=BC$
B
）A.$AB=CD$
B.$AD// BC$
C.$AD=BC$
D.$BA=BC$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断添加哪个条件可证△ABD和△CDB全等，首先梳理已知条件：已知∠A=∠C，两个三角形有公共边BD=DB，接下来结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），逐一验证每个选项的条件是否能满足判定要求，注意SSA不能作为全等判定的依据。
【解析】
已知∠A=∠C，BD是△ABD和△CDB的公共边，即BD=DB，逐一分析选项：
1. 选项A：添加$AB=CD$，此时有条件$∠ A=∠ C$，$AB=CD$，$BD=DB$，属于SSA，不符合全等三角形判定定理，无法证明全等，排除；
2. 选项B：添加$AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”可得$∠ ADB=∠ CBD$，在$△ ABD$和$△ CDB$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ C \\∠ ADB=∠ CBD \\BD=DB\end{cases}$
符合AAS全等判定定理，可证明$△ ABD≌△ CDB$，符合要求；
3. 选项C：添加$AD=BC$，此时有条件$∠ A=∠ C$，$AD=BC$，$BD=DB$，属于SSA，不符合全等判定定理，无法证明全等，排除；
4. 选项D：添加$BA=BC$，边对应关系不匹配，无法构成全等判定的有效条件，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定；平行线的性质；公共边的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定的实际应用，解题时要先明确已有条件，再结合选项推导新的条件，需特别注意SSA不能作为全等三角形的判定依据，熟练掌握平行线的性质和全等判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断添加哪个条件可证△ABD和△CDB全等，首先梳理已知条件：已知∠A=∠C，两个三角形有公共边BD=DB，接下来结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），逐一验证每个选项的条件是否能满足判定要求，注意SSA不能作为全等判定的依据。
【解析】
已知∠A=∠C，BD是△ABD和△CDB的公共边，即BD=DB，逐一分析选项：
1. 选项A：添加$AB=CD$，此时有条件$∠ A=∠ C$，$AB=CD$，$BD=DB$，属于SSA，不符合全等三角形判定定理，无法证明全等，排除；
2. 选项B：添加$AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”可得$∠ ADB=∠ CBD$，在$△ ABD$和$△ CDB$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ C \\∠ ADB=∠ CBD \\BD=DB\end{cases}$
符合AAS全等判定定理，可证明$△ ABD≌△ CDB$，符合要求；
3. 选项C：添加$AD=BC$，此时有条件$∠ A=∠ C$，$AD=BC$，$BD=DB$，属于SSA，不符合全等判定定理，无法证明全等，排除；
4. 选项D：添加$BA=BC$，边对应关系不匹配，无法构成全等判定的有效条件，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定；平行线的性质；公共边的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定的实际应用，解题时要先明确已有条件，再结合选项推导新的条件，需特别注意SSA不能作为全等三角形的判定依据，熟练掌握平行线的性质和全等判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
