2. 如图，$∠ D=∠ C$，添加一个条件________后，利用“AAS”可证得$OC=OD$.

2. $∠ DBA=∠ CAB$

【分析】
要证明OC=OD，可通过证明△ADO≌△BCO得到。已知∠D=∠C，再结合对顶角相等可得∠DOA=∠COB，要使用“AAS”判定两个三角形全等，还需要一组对应边相等。若添加∠DBA=∠CAB，可先由等角对等边得到OA=OB，即可凑齐AAS判定的全部条件，进而证得全等得到OC=OD。
【解析】
添加条件：$\boldsymbol{∠DBA=∠CAB}$
证明如下：
1. 在$△ AOB$中，$\because ∠DBA=∠CAB$，即$∠OAB=∠OBA$，
$\therefore OA=OB$（等角对等边）。
2. 在$△ ADO$和$△ BCO$中：
$\begin{cases}∠D=∠C（已知）\\∠DOA=∠COB（对顶角相等）\\OA=OB（已证）\end{cases}$
$\therefore △ ADO ≌ △ BCO（AAS）$，
$\therefore OC=OD$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$∠DBA=∠CAB$
【知识点】
AAS判定三角形全等、等角对等边、全等三角形的性质
【点评】
本题属于开放性的全等三角形判定应用题，需要结合已知条件和图形特征推导所需的补充条件，解题时要明确AAS判定的要求，即两个角及其中一个角的对边对应相等，即可判定三角形全等。
【难度系数】
0.6

3. 如图，$△ ABC$的面积是18，AD平分$∠ BAC$，且$AD⊥ BD$，垂足为D，则$△ ADC$的面积为。

3. 9

【分析】
当题目中同时出现角平分线和角平分线上的垂线时，可通过延长垂线构造全等三角形转化面积。本题我们延长BD交AC于点E，先证明△ABD与△AED全等，得到BD=DE，再利用等底同高的三角形面积相等，可推出△ADC的面积为△ABC面积的一半，进而求解。
【解析】
延长BD交AC于点E。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
在△ABD和△AED中：
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠EAD \\AD=AD \\∠ADB=∠ADE\end{array} $
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD=DE，
根据等底同高的三角形面积相等可得：$S_{△ABD}=S_{△AED}$，$S_{△BDC}=S_{△EDC}$，
∴$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△BDC}=S_{△AED}+S_{△EDC}=2S_{△ADC}$，
已知$S_{△ABC}=18$，
∴$S_{△ADC}=\frac{1}{2}×18=9$。
【答案】
9
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，角平分线的性质
【点评】
本题是典型的角平分线类辅助线应用题型，核心是通过构造全等三角形实现边和面积的转化，解题时要熟练掌握常见的辅助线构造方法，建立已知条件和所求结论之间的关联。
【难度系数】
0.7

4. 如图,已知点$A,F,E,C$在一条直线上,$AB// CD$,$∠ ABE=∠ CDF$,$AF=CE$.
（1）从图中任意找两组全等三角形；
（2）从第(1)题中所找的全等三角形中任选一组进行证明.

4. (1) $△ ABE ≌ △ CDF$,$△ AFD ≌ △ CEB$ (2) 利用“AAS”证明$△ ABE ≌ △ CDF$

【分析】
解决第一问时，先梳理已知条件：首先AB//CD可推出内错角相等，AF=CE可通过等式性质推导得到相等的线段，再结合已知角相等的条件，匹配全等三角形的判定定理就能找到对应全等的三角形。第二问证明时，先把已知条件转化为全等判定需要的边角相等条件，再代入对应判定定理即可完成证明。
【解析】
（1）结合已知条件可找到两组全等三角形：$△ ABE ≌ △ CDF$，$△ AFD ≌ △ CEB$（答案不唯一，合理即可）
（2）选$△ ABE ≌ △ CDF$证明，步骤如下：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ BAE=∠ DCF$（两直线平行，内错角相等）。
$\because AF=CE$，
$\therefore AF+EF=CE+EF$，即$AE=CF$。
在$△ ABE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠ ABE=∠ CDF \\∠ BAE=∠ DCF \\AE=CF\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CDF \ (\mathrm{AAS})$
【答案】
(1) $△ ABE ≌ △ CDF$，$△ AFD ≌ △ CEB$（答案合理即可）
(2) 选$△ ABE ≌ △ CDF$，可通过“AAS”判定全等，证明过程见解析。
【知识点】
平行线的性质，全等三角形AAS判定，等式的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，核心是根据已知条件推导得到证明全等所需的边角相等关系，掌握全等三角形的判定定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,动直线MN经过点C,且AD⊥MN,BE⊥MN,垂足分别为D,E.
(1) 若直线MN在图①位置,① 求证:△ADC≌△CEB;② 求证:DE=AD+BE.
(2) 若直线MN绕点C旋转到图②位置,求证:DE=AD−BE.
(3) 若直线MN绕点C旋转到图③位置,DE,AD,BE之间有怎样的等量关系?请直接写出这个等量关系.

(1) ① 由$∠ ACB=90°, AD ⊥ MN, BE ⊥ MN$,证得$∠ ACD=∠ CBE$,再用“AAS”证明$△ ADC ≌ △ CEB$ ② $DE=DC+CE=BE+AD$ (2) 同理,用“AAS”可证$△ ADC ≌ △ CEB$,则$DE=CE-CD=AD-BE$ (3)$DE=BE-AD$

【分析】
本题是基于等腰直角三角形的动直线全等探究题，核心解题思路统一：第一步先利用垂直条件和已知的直角，通过“同角的余角相等”推导一组锐角相等，结合已知的AC=BC、两个直角相等，用AAS判定△ADC和△CEB全等；第二步根据全等三角形对应边相等，将DE的组成线段用AD、BE替换，结合不同图形中DE的和差构成得到三者的数量关系。
1）问中图①的DE由DC和CE两段拼接而成，替换后即可得到DE=AD+BE；
2）问中图②的DE是CE减去CD的差，替换后得到DE=AD-BE；
3）问中图③类比前两问的推导逻辑，就能得出对应线段关系。
【解析】
(1) ① 证明：
∵$AD⊥MN$，$BE⊥MN$，
∴$∠ADC=∠CEB=90°$，
∵$∠ACB=90°$，
∴$∠ACD+∠BCE=90°$，
又
∵在$Rt△CEB$中，$∠CBE+∠BCE=90°$，
∴$∠ACD=∠CBE$（同角的余角相等），
在$△ ADC$和$△ CEB$中：
$\{\begin{array}{l}∠ADC=∠CEB \\∠ACD=∠CBE \\AC=BC\end{array} $
∴$△ ADC≌△ CEB$（AAS）。
② 证明：
由①得$△ ADC≌△ CEB$，
∴$AD=CE$，$DC=BE$，
∵$DE=DC+CE$，
∴$DE=BE+AD$，即$DE=AD+BE$。
(2) 证明：
∵$AD⊥MN$，$BE⊥MN$，
∴$∠ADC=∠CEB=90°$，
∵$∠ACB=90°$，
∴$∠ACD+∠BCE=90°$，
又
∵在$Rt△CEB$中，$∠CBE+∠BCE=90°$，
∴$∠ACD=∠CBE$，
在$△ ADC$和$△ CEB$中：
$\{\begin{array}{l}∠ADC=∠CEB \\∠ACD=∠CBE \\AC=BC\end{array} $
∴$△ ADC≌△ CEB$（AAS），
∴$AD=CE$，$CD=BE$，
∵$DE=CE-CD$，
∴$DE=AD-BE$。
(3) 类比上述证明方法，可证$△ ADC≌△ CEB$，得$AD=CE$，$CD=BE$，
∵$DE=CD-CE$，
∴$DE=BE-AD$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{△ADC≌△CEB}$，证明见解析；②$\boldsymbol{DE=AD+BE}$，证明见解析；
(2)$\boldsymbol{DE=AD-BE}$，证明见解析；
(3)$\boldsymbol{DE=BE-AD}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 同角的余角相等
3. 线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形的经典动态探究题，虽然直线MN的位置发生旋转变化，但核心的全等判定逻辑不变，解题的关键是抓住不变的角相等关系证明全等，再结合图形位置分析线段的和差关系，能够锻炼动态问题中的不变量分析能力。
【难度系数】
0.7