1. 如图，$AB=AD$，若要用“SAS”说明$△ ABC ≌ △ ADC$，则需要添加的条件是。

1. $∠ BAC=∠ DAC$

【分析】
要解决这个问题，首先回忆“SAS”判定三角形全等的规则：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。接下来梳理△ABC和△ADC中已有的相等条件：题目已知AB=AD，同时两个三角形共享边AC，所以AC=AC是天然的相等条件。此时已经有两组对应边相等，要满足SAS的要求，需要这两组边的夹角对应相等，即AB与AC的夹角∠BAC、AD与AC的夹角∠DAC相等，因此需要添加的条件就是这两个角相等。
【解析】
解：SAS判定三角形全等的条件是：有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
在△ABC和△ADC中：
已知$AB=AD$，
AC是两个三角形的公共边，因此$AC=AC$，
若要符合SAS的判定要求，需要两组相等边的夹角对应相等，即AB、AC的夹角∠BAC与AD、AC的夹角∠DAC相等，也就是$∠BAC=∠DAC$。
此时可列条件：
$\begin{cases}AB=AD \\∠BAC=∠DAC \\AC=AC\end{cases}$
可根据SAS判定$△ ABC ≌ △ ADC$。
【答案】
$∠ BAC=∠ DAC$
【知识点】
全等三角形SAS判定，公共边的性质
【点评】
本题考查全等三角形“SAS”判定定理的应用，解题时需注意“SAS”中的角必须是两组对应相等边的夹角，不能混淆边和角的对应位置，属于基础考查题。
【难度系数】
0.85

2. 在$△ ABC$和$△ FED$中，已知$∠ A=∠ F,AC=FD$，要根据“SAS”说明这两个三角形全等，还需要添加的条件是（）

A.$AB=DE$
B.$BC=EF$
C.$AB=FE$
D.$∠ C=∠ D$

2. C

【分析】
首先回忆全等三角形“SAS”判定定理的内容：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。解题时先明确已知等角对应的夹边：在△ABC中，∠A是边AB和AC的夹角；在△FED中，∠F是边FE和FD的夹角。已知∠A=∠F，AC=FD，要满足SAS的条件，只需要添加两个夹角的另一条对应边相等即可，再逐一核对选项就能得出答案。
【解析】
全等三角形“SAS”判定指：如果两个三角形有两组对应边相等，且这两组边的夹角也对应相等，那么这两个三角形全等。
已知条件：①∠A=∠F（两个三角形的一组对应夹角相等）；②AC=FD（∠A的一条夹边和∠F的一条夹边对应相等）。
要满足SAS判定，还需要∠A的另一条夹边和∠F的另一条夹边对应相等，即AB=FE。
逐一分析选项：
A. AB=DE，AB的对应边应为FE不是DE，不符合要求；
B. BC=EF，此时相等的边不是夹角的夹边，属于边边角，不能用SAS判定，不符合要求；
C. AB=FE，刚好满足夹角的另一组夹边相等，符合SAS判定要求；
D. ∠C=∠D，此时是两角及夹边相等，属于ASA判定，不是SAS判定，不符合要求。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形SAS判定；全等三角形对应元素识别
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题的核心是准确理解SAS判定中“相等的角必须是两组对应边的夹角”这一要求，避免混淆不同的全等判定条件。
【难度系数】
0.8

3. 如图是“小孔成像”实验，实验过程中学生发现:当小孔O为AC，BD的中点时(即$AO=CO$，$BO=DO$)，像CD与烛火AB高度相等，从数学角度分析，证明$△ AOB ≌ △ COD$的依据是 ()

A.SSS
B.AAS
C.ASA
D.SAS

3. D

【分析】
要判断证明$△ AOB ≌ △ COD$的依据，首先梳理已知条件：已知O是AC、BD的中点，可得到$AO=CO$、$BO=DO$两组边相等；再观察两个三角形的夹角，$∠ AOB$和$∠ COD$是对顶角，根据对顶角性质可知二者相等。对照全等三角形的判定定理，两边及其夹角对应相等符合SAS的判定条件，即可得出答案。
【解析】
$\because$ O是AC、BD的中点，
$\therefore AO=CO$，$BO=DO$。
$\because ∠ AOB$与$∠ COD$是对顶角，
$\therefore ∠ AOB=∠ COD$。
在$△ AOB$和$△ COD$中：
$\{\begin{array}{l}AO=CO\\∠ AOB=∠ COD\\BO=DO\end{array} $
$\therefore △ AOB ≌ △ COD$（SAS）。
【答案】
D
【知识点】
SAS判定定理，对顶角的性质，中点的定义
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题关键是结合题目给出的边相等的条件和图形隐含的对顶角相等的性质，准确匹配对应的全等判定定理。
【难度系数】
0.9

4. 如图，已知点A,F,C,D在同一条直线上，且$AF=DC$，$AB=DE$，$∠ A=∠ D$.
求证: $△ ABC≌△ DEF$.

4. $\because AF=DC,\therefore AF+FC=DC+FC,即AC=DF,\because AB=DE,∠ A=∠ D,\therefore △ ABC≌△ DEF(SAS)$

【分析】
要证明△ABC≌△DEF，首先梳理已知条件：题目已给出AB=DE、∠A=∠D，根据全等三角形的SAS判定定理，还需要证明∠A的夹边AC与∠D的夹边DF相等。已知AF=DC，观察线段A、F、C、D的位置关系，给AF和DC同时加上公共线段FC，即可得到AC=DF，满足SAS的判定条件，就能完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AF=DC$，
∴ $AF+FC=DC+FC$，即 $AC=DF$。
在△ABC和△DEF中：
$\begin{cases}AB=DE(已知) \\∠A=∠D(已知) \\AC=DF(已证)\end{cases}$
∴ $△ABC≌△DEF(SAS)$
【答案】
$\because AF=DC,\therefore AF+FC=DC+FC,即AC=DF,\because AB=DE,∠ A=∠ D,\therefore △ ABC≌△ DEF(SAS)$
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题，主要考查SAS判定定理的运用，解题的关键是通过线段和差推导得到全等所需的对应边相等，是全等证明类题目的常考基础类型。
【难度系数】
0.8

5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$平分$∠ BAC$.
（1）写出图中全等的三角形,并加以证明.
（2）$AD$与$BC$有怎样的位置关系?为什么?

5. (1) $△ ABD≌△ ACD$,根据“SAS”证明
(2) $AD⊥ BC$. 由$△ ABD≌△ ACD$,得$∠ ADB=∠ ADC$. 因为$∠ ADB+∠ ADC=180°,所以∠ ADB=∠ ADC=90°,即AD⊥ BC$

【分析】
（1）要找出全等三角形，先梳理已知条件：已知$AB=AC$，$AD$平分$∠BAC$可得$∠BAD=∠CAD$，且$AD$是两个三角形的公共边，满足两边及其夹角对应相等，可根据SAS判定两个三角形全等。（2）判断$AD$与$BC$的位置关系，可利用全等三角形对应角相等得到$∠ADB=∠ADC$，结合两个角组成平角、和为$180°$，可推出两个角均为$90°$，即可得到垂直关系。
【解析】
（1）全等的三角形是$△ ABD≌△ ACD$，证明如下：
∵$AD$平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAD=∠ CAD$，
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC(\mathrm{已知})\\ ∠ BAD=∠ CAD(\mathrm{已证})\\ AD=AD(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴$△ ABD≌△ ACD(\mathrm{SAS})$。
（2）$AD⊥ BC$，理由如下：
∵$△ ABD≌△ ACD$，
∴$∠ ADB=∠ ADC$（全等三角形的对应角相等），
又
∵$∠ ADB+∠ ADC=180°$（平角的定义），
∴$∠ ADB=∠ ADC=\frac{1}{2}×180°=90°$，
∴$AD⊥ BC$（垂直的定义）。
【答案】
(1) $△ ABD≌△ ACD$，根据“SAS”证明；
(2) $AD⊥ BC$，由$△ ABD≌△ ACD$，得$∠ ADB=∠ ADC$，因为$∠ ADB+∠ ADC=180°$，所以$∠ ADB=∠ ADC=90°$，即$AD⊥ BC$。
【知识点】
全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质；垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握SAS的全等判定方法，能结合平角的定义推导角的度数，同时本题也是等腰三角形“三线合一”性质的推导过程，为后续等腰三角形的学习奠定基础。
【难度系数】
0.8

两把大小不同的含$45°$角的三角板$ABC$,$ADE$按如图所示方式放置,其中$∠ BAC=∠ DAE=90°$,点$B$,$C$,$E$在一条直线上,连接$DC$.
(1) 请找出图中的全等三角形,并说明理由.
(2) 求证:$DC\bot BE$.

（1）根据“SAS”,可证得$△ ABE≌△ ACD$
（2）因为$△ ABE≌△ ACD,所以∠ ACD=∠ ABE=45°.所以∠ DCB=∠ ACD+∠ ACB=90°,即DC⊥ BE$

【分析】
(1) 找全等三角形先分析已知条件：两个三角板都是含45°的直角三角板，因此△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，可得AB=AC、AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°；两个直角同时加公共角∠CAE，可推出夹角∠BAE=∠CAD，满足SAS全等判定的条件，即可证明三角形全等。
(2) 证明DC⊥BE只需证明∠DCB=90°即可：借助第一问的全等结论，可得对应角∠ACD=∠ABE=45°，结合△ABC中∠ACB=45°，两角相加得∠DCB=90°，即可推出垂直关系。
【解析】
(1) 全等三角形为$△ ABE ≌ △ ACD$，理由如下：
∵ $△ ABC$和$△ ADE$都是含45°角的直角三角板，$∠ BAC=∠ DAE=90°$
∴ $AB=AC$，$AD=AE$，$∠ ABE=∠ ACB=45°$
∵ $∠ BAC+∠ CAE=∠ DAE+∠ CAE$
∴ $∠ BAE=∠ CAD$
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠ BAE=∠ CAD \\AE=AD\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ACD$（SAS）
(2) 证明：
由(1)得$△ ABE ≌ △ ACD$
∴ $∠ ACD=∠ ABE=45°$
又
∵ $∠ ACB=45°$
∴ $∠ DCB=∠ ACD+∠ ACB=45°+45°=90°$
∴ $DC⊥ BE$
【答案】
(1) $△ ABE≌△ ACD$，理由：根据“SAS”可证得两三角形全等；
(2) 因为$△ ABE≌△ ACD$，所以$∠ ACD=∠ ABE=45°$，所以$∠ DCB=∠ ACD+∠ ACB=90°$，即$DC⊥ BE$。
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 等腰直角三角形性质
3. 垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题型，解题关键是利用等腰直角三角形的边角特征推导全等所需条件，再通过全等性质推导角的数量关系得到垂直结论，能够有效巩固全等三角形的相关知识。
【难度系数】
0.7