5. 学科特色
分类讨论思想「★★☆」如图,二次函数$y=-x^2+mx+3$的图象与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B,点B的坐标为$(-3,0)$.若点P在x轴正半轴上,且$△ ABP$是等腰三角形,则点P的坐标为.

答案 $(3,0)$或$(3\sqrt{2}-3,0)$
解析 当 $x=0$ 时,$y=3$,$\therefore A(0,3)$,$\because B(-3,0)$,$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$,$\because △ ABP$ 是等腰三角形,$\therefore$ 分类进行讨论:①当 $AB=AP$ 时,$OP=OB=3$,此时点 $P$ 的坐标为$(3,0)$.②当 $AB=BP=3\sqrt{2}$ 时,点 $P$ 的坐标为$(3\sqrt{2}-3,0)$.③当 $AP=BP$ 时,设 $P(x,0)$,则 $AP=\sqrt{(x-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{x^2+9}$,$BP=|x+3|$,$\therefore \sqrt{x^2+9}=|x+3|$,整理,得 $x^2+9=x^2+6x+9$,解得 $x=0$(不合题意,舍去).综上所述,点 $P$ 的坐标为$(3,0)$或$(3\sqrt{2}-3,0)$.

6. 学科特色 分类讨论思想「2026广西南宁西乡塘期中，★★」如图，已知抛物线$y=-x^2+4x+5$与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)写出点A,B,C的坐标.
(2)点P为第一象限内抛物线上一动点，求$△ BCP$面积的最大值.
(3)若M为抛物线的对称轴上的一个动点，且$△ MBC$为直角三角形，请求出点M的坐标.

解析 (1)令 $y=0$,则$-x^2+4x+5=0$,解得 $x=-1$ 或 $x=5$,令 $x=0$,则 $y=5$,$\therefore$ 点 $A,B,C$ 的坐标分别为$(-1,0)$,$(5,0)$,$(0,5)$.
(2)设点 $P(m,-m^2+4m+5)$,其中 $0＜m＜5$,如图,过点 $P$ 作 $PE ⊥ x$ 轴交直线 $BC$ 于点 $E$,设直线 $BC$:$y=kx+b(k ≠ 0)$,将 $(5,0)$,$(0,5)$代入,得$\begin{cases}5k+b=0,\\b=5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=5,\end{cases}$ $\therefore y=-x+5$,
$\therefore E(m,-m+5)$,
$\therefore PE=-m^2+4m+5-(-m+5)=-m^2+5m$,
$\therefore S_{△ BCP}=\dfrac{1}{2}PE · OB=\dfrac{5}{2}(-m^2+5m)=-\dfrac{5}{2}m^2+\dfrac{25}{2}m=-\dfrac{5}{2}(m-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{125}{8}$.
$\because -\dfrac{5}{2}＜0$,$\therefore$ 当 $m=\dfrac{5}{2}$ 时,$S_{△ BCP}$ 取得最大值$\dfrac{125}{8}$.

(3)抛物线 $y=-x^2+4x+5$ 的对称轴为直线 $x=-\dfrac{4}{2×(-1)}=2$,
$\therefore$ 设点 $M(2,n)$,$\because B(5,0)$,$C(0,5)$,
$\therefore MB^2=9+n^2$,$MC^2=4+(n-5)^2$,$BC^2=50$,
①当 $MB$ 为斜边时,$9+n^2=4+(n-5)^2+50$,解得 $n=7$.
②当 $MC$ 为斜边时,$9+n^2+50=4+(n-5)^2$,解得 $n=-3$.
③当 $BC$ 为斜边时,$9+n^2+4+(n-5)^2=50$,解得 $n=6$ 或 $-1$.
综上,点 $M$ 的坐标为$(2,7)$或$(2,-3)$或$(2,6)$或$(2,-1)$.