3.「2026北京朝阳月考，★★★」如图，抛物线$y=x^2+x-2$与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，若点M是直线AC下方抛物线上一动点，则四边形ABCM面积的最大值为。

答案 4
解析 如图,连接 $AC$,过点 $M$ 作 $MN ⊥ x$ 轴交 $AC$ 于点 $N$,当 $y=0$ 时,$x^2+x-2=0$,解得 $x_1=-2$,$x_2=1$,当 $x=0$ 时,$y=-2$,
$\therefore A(-2,0)$,$B(1,0)$,$C(0,-2)$,设直线 $AC$ 的解析式为 $y=kx+b(k ≠ 0)$,$\therefore \begin{cases}-2k+b=0,\\b=-2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-2,\end{cases}$ $\therefore y=-x-2$.设$M(m,m^2+m-2)(-2＜m＜0)$,则 $N(m,-m-2)$,$\therefore MN=-m-2-(m^2+m-2)=-m^2-2m$,设四边形 $ABCM$ 的面积为 $S$,则 $S=S_{△ ABC}+S_{△ ACM}=\dfrac{1}{2}×[1-(-2)]×2+\dfrac{1}{2}×(-m^2-2m)×2=-m^2-2m+3=-(m+1)^2+4$,$\because -1＜0$,$\therefore$ 当 $m=-1$ 时,$S$ 取得最大值 4.

4.「2026浙江宁波余姚期中节选，★★☆」如图，直线$y=-x+3$与$x$轴、$y$轴分别交于点$B(3,0)$和点$C(0,3)$，经过$B,C$两点的抛物线$y=x^2+bx+c$与$x$轴的另一个公共点为$A$，顶点为$P$.
(1)求该抛物线的解析式与点$P$的坐标.
(2)在直线$BC$下方的抛物线上求一点$E$，使$△ CBE$的面积最大.

解析 (1)将点 $B,C$ 的坐标代入解析式,得$\begin{cases}9+3b+c=0,\\c=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=-4,\\c=3,\end{cases}$ $\therefore y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$,
$\therefore$ 顶点 $P$ 的坐标为$(2,-1)$.
(2)如图,在直线 $BC$ 下方的抛物线上取点 $E$,连接 $CE,BE$,过点 $E$ 作 $x$ 轴的垂线,交 $BC$ 于点 $F$,
设点 $F(x,-x+3)(0＜x＜3)$,则点 $E(x,x^2-4x+3)$,
$\therefore EF=-x+3-(x^2-4x+3)=-x^2+3x$,
$\therefore S_{△ CBE}=\dfrac{1}{2}EF · OB=-\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{9}{2}x=-\dfrac{3}{2}(x-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{27}{8}$,
$\because -\dfrac{3}{2}＜0$,$\therefore$ 当 $x=\dfrac{3}{2}$ 时,$△ CBE$ 的面积最大,此时点 $E$ 的坐标为$(\dfrac{3}{2},-\dfrac{3}{4})$.