登录
1.「2026广西柳州鹿寨月考，★☆」如图，二次函数$y=\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x-4$的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点M是第四象限内二次函数图象上的一点，过点M作$MQ// y$轴交BC于点Q，则MQ的长的最大值是
4
.答案
答案 4
解析 令$x=0$,则$y=-4$,$\therefore C(0,-4)$,令$y=0$,则$\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x-4=0$, 解得 $x=8$ 或 $x=-2$,$\because$ 点 $A$ 在点 $B$ 的左侧, $\therefore A(-2,0),B(8,0)$, 设直线 $BC$ 的解析式为 $y=kx+b(k ≠ 0)$,将 $B,C$ 的坐标代入,得$\begin{cases}8k+b=0,\\b=-4,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}k=\dfrac{1}{2},\\b=-4,\end{cases}$ $\therefore y=\dfrac{1}{2}x-4$,
设 $M(m,\dfrac{1}{4}m^2-\dfrac{3}{2}m-4)(0＜m＜8)$, 则 $Q(m,\dfrac{1}{2}m-4)$,
$\therefore MQ=\dfrac{1}{2}m-4-(\dfrac{1}{4}m^2-\dfrac{3}{2}m-4)=-\dfrac{1}{4}m^2+2m=-\dfrac{1}{4}(m-4)^2+4$,$\because -\dfrac{1}{4}＜0$,$\therefore$ 当 $m=4$ 时,$MQ$ 的长取最大值 4.
解析 令$x=0$,则$y=-4$,$\therefore C(0,-4)$,令$y=0$,则$\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x-4=0$, 解得 $x=8$ 或 $x=-2$,$\because$ 点 $A$ 在点 $B$ 的左侧, $\therefore A(-2,0),B(8,0)$, 设直线 $BC$ 的解析式为 $y=kx+b(k ≠ 0)$,将 $B,C$ 的坐标代入,得$\begin{cases}8k+b=0,\\b=-4,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}k=\dfrac{1}{2},\\b=-4,\end{cases}$ $\therefore y=\dfrac{1}{2}x-4$,
设 $M(m,\dfrac{1}{4}m^2-\dfrac{3}{2}m-4)(0＜m＜8)$, 则 $Q(m,\dfrac{1}{2}m-4)$,
$\therefore MQ=\dfrac{1}{2}m-4-(\dfrac{1}{4}m^2-\dfrac{3}{2}m-4)=-\dfrac{1}{4}m^2+2m=-\dfrac{1}{4}(m-4)^2+4$,$\because -\dfrac{1}{4}＜0$,$\therefore$ 当 $m=4$ 时,$MQ$ 的长取最大值 4.
2.「2025山东潍坊中考，★☆」如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+bx(a＜0)$与正比例函数$y=kx$的图象都经过点$A(3,3)$,点$P$为二次函数图象上点$O$与点$A$之间的一点,过点$P$作$x$轴的垂线,交$OA$于点$C$,交$x$轴于点$D$.
(1)若点$A$为该二次函数图象的顶点.
①求二次函数的表达式.
②求线段$PC$长度的最大值.
(2)若该二次函数图象与$x$轴的一个公共点为$B(m,0)$,且$m＞4$,求$a$的取值范围.
(1)若点$A$为该二次函数图象的顶点.
①求二次函数的表达式.
②求线段$PC$长度的最大值.
(2)若该二次函数图象与$x$轴的一个公共点为$B(m,0)$,且$m＞4$,求$a$的取值范围.
答案
解析 (1)①$\because A(3,3)$为二次函数图象的顶点,
$\therefore \begin{cases}9a+3b=3,\\-\dfrac{b}{2a}=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{3},\\b=2,\end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y=-\dfrac{1}{3}x^2+2x$.
②$\because$ 正比例函数 $y=kx$ 的图象经过点 $A(3,3)$,
$\therefore 3k=3$,$\therefore k=1$,
$\therefore$ 正比例函数的表达式为 $y=x$.
设 $P(t,-\dfrac{1}{3}t^2+2t)(0＜t＜3)$,则 $C(t,t)$,
$\therefore PC=-\dfrac{1}{3}t^2+2t-t=-\dfrac{1}{3}t^2+t=-\dfrac{1}{3}(t-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{3}{4}$,
$\because -\dfrac{1}{3}＜0$,$\therefore$ 当 $t=\dfrac{3}{2}$ 时,线段 $PC$ 的长度取得最大值$\dfrac{3}{4}$.
(2)$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx$ 经过点 $A(3,3)$,
$\therefore 9a+3b=3$,即 $b=1-3a$,
令 $ax^2+bx=0$,解得 $x_1=0$,$x_2=-\dfrac{b}{a}$,
$\because$ 抛物线与 $x$ 轴的一个公共点为 $B(m,0)$,
$\therefore m=-\dfrac{b}{a}$,$\therefore -\dfrac{b}{a}＞4$,
$\because a＜0$,$\therefore b＞-4a$,$\therefore 1-3a＞-4a$,$\therefore a＞-1$,
$\therefore a$ 的取值范围是$-1＜a＜0$.
$\therefore \begin{cases}9a+3b=3,\\-\dfrac{b}{2a}=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{3},\\b=2,\end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y=-\dfrac{1}{3}x^2+2x$.
②$\because$ 正比例函数 $y=kx$ 的图象经过点 $A(3,3)$,
$\therefore 3k=3$,$\therefore k=1$,
$\therefore$ 正比例函数的表达式为 $y=x$.
设 $P(t,-\dfrac{1}{3}t^2+2t)(0＜t＜3)$,则 $C(t,t)$,
$\therefore PC=-\dfrac{1}{3}t^2+2t-t=-\dfrac{1}{3}t^2+t=-\dfrac{1}{3}(t-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{3}{4}$,
$\because -\dfrac{1}{3}＜0$,$\therefore$ 当 $t=\dfrac{3}{2}$ 时,线段 $PC$ 的长度取得最大值$\dfrac{3}{4}$.
(2)$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx$ 经过点 $A(3,3)$,
$\therefore 9a+3b=3$,即 $b=1-3a$,
令 $ax^2+bx=0$,解得 $x_1=0$,$x_2=-\dfrac{b}{a}$,
$\because$ 抛物线与 $x$ 轴的一个公共点为 $B(m,0)$,
$\therefore m=-\dfrac{b}{a}$,$\therefore -\dfrac{b}{a}＞4$,
$\because a＜0$,$\therefore b＞-4a$,$\therefore 1-3a＞-4a$,$\therefore a＞-1$,
$\therefore a$ 的取值范围是$-1＜a＜0$.
