7.「2026湖北十堰竹溪期中，★★★」如图，已知抛物线$y=ax^2+bx+4(a≠0)$经过点$B(-2,0)$和点$A(4,0)$，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点M.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)若点D是线段AC上的一个动点(不与点A,C重合)，$DE⊥x$轴交抛物线于点E，连接CE,AE，求$△ ACE$的面积最大时，点E的坐标.
(3)点C关于点M的对称点为P，在该抛物线上是否存在点R，使得$△ ABR$与$△ ABP$全等？若存在，请求出所有满足条件的点R的坐标；若不存在，请说明理由.

解析 (1)$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+4(a ≠ 0)$ 经过点 $B(-2,0)$ 和点 $A(4,0)$,$\therefore \begin{cases}4a-2b+4=0,\\16a+4b+4=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=1,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+x+4$.
(2)当 $x=0$ 时,$y=4$,$\therefore C(0,4)$,$\therefore OC=4$,
如图,连接 $OE$,设 $E(m,-\dfrac{1}{2}m^2+m+4)$,则 $S_{△ ACE}=S_{△ OCE}+S_{△ AOE}-S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}×4× m+\dfrac{1}{2}×4×(-\dfrac{1}{2}m^2+m+4)-\dfrac{1}{2}×4×4=-m^2+4m=-(m-2)^2+4$,$\because -1＜0$,$\therefore$ 当 $m=2$ 时,$△ ACE$ 的面积最大,此时点 $E$ 的坐标为$(2,4)$.

(3)存在点 $R$,使得 $△ ABR$ 与 $△ ABP$ 全等.由(1)得抛物线的对称轴为直线 $x=-\dfrac{1}{2×(-\dfrac{1}{2})}=1$,$\therefore M(1,0)$,$\because$ 点 $P$ 与点 $C(0,4)$ 关于点 $M$ 对称,$\therefore$ 点 $P(2,-4)$,在 $x$ 轴下方的抛物线上不存在符合题意的点 $R$,点 $R$ 只可能在 $x$ 轴上方的抛物线上,如图,当点 $R$ 在对称轴右侧时,点 $R$ 位于 $R_1$ 处,点 $R_1$ 为点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点,$\therefore$ 点 $R_1(2,4)$,经过验证可知点 $R_1(2,4)$ 在抛物线上,符合题意.

当点 $R$ 在对称轴左侧时,点 $R$ 位于 $R_2$ 处,此时 $R_2$ 与 $C$ 重合,即 $R_2(0,4)$.综上,点 $R$ 的坐标为$(0,4)$或$(2,4)$.