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1. [2026 邯郸期末] 下列图形中,不是相似图形的一组是 (
D
)答案
1 D 选项A,B,C中的两个图形都具有相同的形状,是相似图形;选项D中的两个图形不具有相同的形状,不是相似图形.
解析
【分析】
要判断哪组不是相似图形，首先明确相似图形的定义：形状相同的图形叫做相似图形，判断时仅需看两个图形的形状是否一致，与大小、位置无关。解题时逐一分析每个选项中的两个图形，对比形状是否相同即可得出结论。
【解析】
根据相似图形的定义逐一判断：
选项A：两个图形均为花瓣造型，仅大小不同，形状完全相同，属于相似图形；
选项B：两个图形均为祥云纹样，仅大小不同，形状完全相同，属于相似图形；
选项C：两个图形均为带“9”的环形标识，仅大小不同，形状完全相同，属于相似图形；
选项D：左侧为排球图案，右侧为足球图案，二者表面纹路的形状存在明显差异，形状不相同，不属于相似图形。
【答案】
D
【知识点】
相似图形的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是抓住相似图形“形状相同”的本质特征，做题时注意区分不同图案的形状差异，不要被图形大小的区别误导。
【难度系数】
0.9
要判断哪组不是相似图形，首先明确相似图形的定义：形状相同的图形叫做相似图形，判断时仅需看两个图形的形状是否一致，与大小、位置无关。解题时逐一分析每个选项中的两个图形，对比形状是否相同即可得出结论。
【解析】
根据相似图形的定义逐一判断：
选项A：两个图形均为花瓣造型，仅大小不同，形状完全相同，属于相似图形；
选项B：两个图形均为祥云纹样，仅大小不同，形状完全相同，属于相似图形；
选项C：两个图形均为带“9”的环形标识，仅大小不同，形状完全相同，属于相似图形；
选项D：左侧为排球图案，右侧为足球图案，二者表面纹路的形状存在明显差异，形状不相同，不属于相似图形。
【答案】
D
【知识点】
相似图形的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是抓住相似图形“形状相同”的本质特征，做题时注意区分不同图案的形状差异，不要被图形大小的区别误导。
【难度系数】
0.9
2. [2026长春东北师大附中月考]如图,网格中小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁,其中是相似图形的是（
A.甲和乙
B.丙和丁
C.乙和丙
D.甲和丁
D
）A.甲和乙
B.丙和丁
C.乙和丙
D.甲和丁
答案
2 D
解析
【分析】
要判断两个图形是否为相似图形，需同时满足两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例，二者缺一不可。解题时我们可以先利用勾股定理计算甲、乙、丙、丁四个图形各条边的长度，再结合网格特征判断对应角是否相等，最后验证对应边的比值是否相等，即可找出相似的一组图形。
【解析】
设网格中小正方形的边长为1，四个图形均为轴对称图形，我们分别计算相关图形的边长和对应角：
1. 计算甲的各边长度：甲的两组长边长度均为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，四组短边长度均为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，各边倾斜角度固定，对应角大小确定。
2. 计算丁的各边长度：丁的两组长边长度均为$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，四组短边长度均为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，各边倾斜角度与甲完全相同，对应角相等。
3. 验证相似条件：甲与丁的对应边比值均为$\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，对应边成比例，且对应角相等，因此甲和丁是相似图形。
其余组合的图形对应边比值不相等，不符合相似图形的判定条件。
【答案】
D
【知识点】
相似图形的判定，勾股定理
【点评】
本题结合网格考查相似图形的判定，解题关键是熟练掌握相似图形的判定条件，能准确计算网格中斜线段的长度，同时可利用图形的对称性简化计算过程。
【难度系数】
0.7
要判断两个图形是否为相似图形，需同时满足两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例，二者缺一不可。解题时我们可以先利用勾股定理计算甲、乙、丙、丁四个图形各条边的长度，再结合网格特征判断对应角是否相等，最后验证对应边的比值是否相等，即可找出相似的一组图形。
【解析】
设网格中小正方形的边长为1，四个图形均为轴对称图形，我们分别计算相关图形的边长和对应角：
1. 计算甲的各边长度：甲的两组长边长度均为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，四组短边长度均为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，各边倾斜角度固定，对应角大小确定。
2. 计算丁的各边长度：丁的两组长边长度均为$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，四组短边长度均为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，各边倾斜角度与甲完全相同，对应角相等。
3. 验证相似条件：甲与丁的对应边比值均为$\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，对应边成比例，且对应角相等，因此甲和丁是相似图形。
其余组合的图形对应边比值不相等，不符合相似图形的判定条件。
【答案】
D
【知识点】
相似图形的判定，勾股定理
【点评】
本题结合网格考查相似图形的判定，解题关键是熟练掌握相似图形的判定条件，能准确计算网格中斜线段的长度，同时可利用图形的对称性简化计算过程。
【难度系数】
0.7
3. 已知线段AB,在BA的延长线上取一点C,使CA=3AB,则线段CA与线段CB的比为(
A.3:4
B.2:3
C.3:5
D.1:2
A
)A.3:4
B.2:3
C.3:5
D.1:2
答案
3 A
∵点C在线段BA的延长线上,且CA=3AB,
∴CB=CA+AB=4AB,
∴CA:CB=3:4.
∵点C在线段BA的延长线上,且CA=3AB,
∴CB=CA+AB=4AB,
∴CA:CB=3:4.
解析
【分析】
解题时首先明确点C的位置：点C在BA的延长线上，说明三点的顺序为C、A、B，因此线段CB的长度等于CA与AB的长度之和。已知CA与AB的倍数关系，我们可以将AB的长度看作1份，先表示出CA的份数，再计算CB的总份数，最终求出两条线段的比值即可。
【解析】
∵点C在线段BA的延长线上，且CA=3AB，
∴CB = CA + AB = 3AB + AB = 4AB，
∴CA:CB = 3AB:4AB = 3:4，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
线段和差计算、成比例线段
【点评】
本题属于基础题，解题核心是根据点的位置准确梳理各线段的数量和差关系，再结合已知的线段倍数关系代入求比值即可，注意不要混淆线段延长线的位置导致和差关系判断错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确点C的位置：点C在BA的延长线上，说明三点的顺序为C、A、B，因此线段CB的长度等于CA与AB的长度之和。已知CA与AB的倍数关系，我们可以将AB的长度看作1份，先表示出CA的份数，再计算CB的总份数，最终求出两条线段的比值即可。
【解析】
∵点C在线段BA的延长线上，且CA=3AB，
∴CB = CA + AB = 3AB + AB = 4AB，
∴CA:CB = 3AB:4AB = 3:4，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
线段和差计算、成比例线段
【点评】
本题属于基础题，解题核心是根据点的位置准确梳理各线段的数量和差关系，再结合已知的线段倍数关系代入求比值即可，注意不要混淆线段延长线的位置导致和差关系判断错误。
【难度系数】
0.8
4. 教材习题变式 已知两地的实际距离为10 000米，画在地图上的距离(图距)为2厘米，在这样的地图上，图距为5厘米的两地间的实际距离为
25
千米。答案
4 25 设图距为5厘米的两地间的实际距离为x厘米.
∵10 000米=1 000 000厘米,
∴2:1 000 000=5:x,
∴x=2 500 000,2 500 000厘米=25千米(注意换算单位).
避坑指南
比例尺实际上是两条线段长度的比,表示比例尺时顺序不能颠倒,必须是图上距离与实际距离的比,且求比例尺时,图上距离与实际距离的单位必须统一.
∵10 000米=1 000 000厘米,
∴2:1 000 000=5:x,
∴x=2 500 000,2 500 000厘米=25千米(注意换算单位).
避坑指南
比例尺实际上是两条线段长度的比,表示比例尺时顺序不能颠倒,必须是图上距离与实际距离的比,且求比例尺时,图上距离与实际距离的单位必须统一.
解析
【分析】
这道题是比例尺相关的比例应用问题，解题核心是同一幅地图的比例尺恒定，即图上距离与实际距离的比值固定。首先要统一单位，将已知实际距离的单位换算为和图距一致的厘米，再根据比例尺不变列出比例式，求解出对应实际距离后换算为题目要求的千米单位即可。解题时需注意列比例式时图上距离和实际距离的顺序不能颠倒，全程要保证单位统一。
【解析】
设图距为5厘米的两地间的实际距离为$ x $厘米。
第一步：统一单位
$ 10000米=10000×100厘米=1000000厘米 $
第二步：根据比例尺不变列比例式
同一地图的图上距离与实际距离成比例，可得：
$ 2:1000000=5:x $
第三步：利用比例的基本性质求解
根据比例内项之积等于外项之积，得：
$ 2x=5×1000000 $
解得：$ x=2500000 $
第四步：换算单位得到最终结果
$ 2500000厘米=2500000÷100000千米=25千米 $
【答案】
25
【知识点】
比例尺的应用；成比例线段；单位换算
【点评】
本题属于基础的比例应用类题目，易错点在于单位换算和比例式的顺序，解题时要先统一所有长度的单位，列比例式时明确图上距离和实际距离的对应关系，最后按题目要求转换结果单位，避免非知识性失分。
【难度系数】
0.8
这道题是比例尺相关的比例应用问题，解题核心是同一幅地图的比例尺恒定，即图上距离与实际距离的比值固定。首先要统一单位，将已知实际距离的单位换算为和图距一致的厘米，再根据比例尺不变列出比例式，求解出对应实际距离后换算为题目要求的千米单位即可。解题时需注意列比例式时图上距离和实际距离的顺序不能颠倒，全程要保证单位统一。
【解析】
设图距为5厘米的两地间的实际距离为$ x $厘米。
第一步：统一单位
$ 10000米=10000×100厘米=1000000厘米 $
第二步：根据比例尺不变列比例式
同一地图的图上距离与实际距离成比例，可得：
$ 2:1000000=5:x $
第三步：利用比例的基本性质求解
根据比例内项之积等于外项之积，得：
$ 2x=5×1000000 $
解得：$ x=2500000 $
第四步：换算单位得到最终结果
$ 2500000厘米=2500000÷100000千米=25千米 $
【答案】
25
【知识点】
比例尺的应用；成比例线段；单位换算
【点评】
本题属于基础的比例应用类题目，易错点在于单位换算和比例式的顺序，解题时要先统一所有长度的单位，列比例式时明确图上距离和实际距离的对应关系，最后按题目要求转换结果单位，避免非知识性失分。
【难度系数】
0.8
5. 易错题 [2026清远清城区期末] 若线段$a,b,c,d$是成比例线段，其中$a=2\ \mathrm{cm},c=3\ \mathrm{cm},d=9\ \mathrm{cm}$，则线段$b$的长为（
A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$5\ \mathrm{cm}$
D.$6\ \mathrm{cm}$
D
）A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$5\ \mathrm{cm}$
D.$6\ \mathrm{cm}$
答案
5 D 根据题意可得$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$("线段a,b,c,d是成比例线段"说明线段a,b,c,d是有顺序的,不能写错顺序).
∵a=2 cm,c=3 cm,d=9 cm,
∴$\frac{2}{b}=\frac{3}{9}$,
∴b=6 cm,
∴线段b的长为6 cm.
∵a=2 cm,c=3 cm,d=9 cm,
∴$\frac{2}{b}=\frac{3}{9}$,
∴b=6 cm,
∴线段b的长为6 cm.
解析
【分析】
首先明确成比例线段的定义：若四条线段$a,b,c,d$是成比例线段，需按给定顺序满足$a:b=c:d$，顺序不可随意调换。本题已知$a、c、d$的长度，解题时先根据成比例线段的定义列出比例式，再将已知线段长度代入，利用比例的基本性质求解$b$的长度即可。
【解析】
解：
∵线段$a,b,c,d$是成比例线段，
∴$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
又
∵$a=2\ \mathrm{cm},c=3\ \mathrm{cm},d=9\ \mathrm{cm}$，
代入得$\frac{2}{b}=\frac{3}{9}$，
根据比例的基本性质交叉相乘得：$3b=2×9$，
解得$b=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】D
【知识点】
成比例线段的定义；比例的基本性质
【点评】
本题是易错题，核心易错点是忽略成比例线段的顺序性，随意调换线段位置列比例式导致计算错误，只要严格按照题目给出的线段顺序列比例式计算，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
首先明确成比例线段的定义：若四条线段$a,b,c,d$是成比例线段，需按给定顺序满足$a:b=c:d$，顺序不可随意调换。本题已知$a、c、d$的长度，解题时先根据成比例线段的定义列出比例式，再将已知线段长度代入，利用比例的基本性质求解$b$的长度即可。
【解析】
解：
∵线段$a,b,c,d$是成比例线段，
∴$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
又
∵$a=2\ \mathrm{cm},c=3\ \mathrm{cm},d=9\ \mathrm{cm}$，
代入得$\frac{2}{b}=\frac{3}{9}$，
根据比例的基本性质交叉相乘得：$3b=2×9$，
解得$b=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】D
【知识点】
成比例线段的定义；比例的基本性质
【点评】
本题是易错题，核心易错点是忽略成比例线段的顺序性，随意调换线段位置列比例式导致计算错误，只要严格按照题目给出的线段顺序列比例式计算，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
6. [2025成都锦江区期中] 下列各组线段(单位:m)中,是成比例线段的是 (
A.3,4,5,6
B.1,3,5,7
C.2,3,4,6
D.0.2,0.3,0.4,0.5
C
)A.3,4,5,6
B.1,3,5,7
C.2,3,4,6
D.0.2,0.3,0.4,0.5
答案
6 C
∵3×6≠4×5,1×7≠3×5,2×6=3×4,0.2×0.5≠0.3×0.4,
∴选项C符合题意.
解题通法
判断四条线段能否组成成比例线段
解析
【分析】
要判断四条线段是否为成比例线段，首先确认单位是否统一，本题所有线段单位均为m，无需换算。我们可以用简便判断方法：根据比例的基本性质，若四条线段成比例，则最小数与最大数的乘积等于中间两个数的乘积，只需逐个验证四个选项即可得到答案。
【解析】
我们根据比例的基本性质逐一验证各选项：
选项A：四个数为3,4,5,6，最小数和最大数的乘积为$3×6=18$，中间两数的乘积为$4×5=20$，$18≠20$，不是成比例线段；
选项B：四个数为1,3,5,7，最小数和最大数的乘积为$1×7=7$，中间两数的乘积为$3×5=15$，$7≠15$，不是成比例线段；
选项C：四个数为2,3,4,6，最小数和最大数的乘积为$2×6=12$，中间两数的乘积为$3×4=12$，$12=12$，满足$2:3=4:6$，是成比例线段；
选项D：四个数为0.2,0.3,0.4,0.5，最小数和最大数的乘积为$0.2×0.5=0.1$，中间两数的乘积为$0.3×0.4=0.12$，$0.1≠0.12$，不是成比例线段。
综上只有选项C符合要求。
【答案】
6 C
∵3×6≠4×5,1×7≠3×5,2×6=3×4,0.2×0.5≠0.3×0.4,
∴选项C符合题意.
解题通法
判断四条线段能否组成成比例线段
【知识点】
成比例线段的判定、比例的基本性质
【点评】
本题是成比例线段判定的基础题型，熟练运用比例的基本性质可以快速得出结论，无需额外排序计算比值，能有效提升解题速度，是对成比例线段基础概念的考察。
【难度系数】
0.8
要判断四条线段是否为成比例线段，首先确认单位是否统一，本题所有线段单位均为m，无需换算。我们可以用简便判断方法：根据比例的基本性质，若四条线段成比例，则最小数与最大数的乘积等于中间两个数的乘积，只需逐个验证四个选项即可得到答案。
【解析】
我们根据比例的基本性质逐一验证各选项：
选项A：四个数为3,4,5,6，最小数和最大数的乘积为$3×6=18$，中间两数的乘积为$4×5=20$，$18≠20$，不是成比例线段；
选项B：四个数为1,3,5,7，最小数和最大数的乘积为$1×7=7$，中间两数的乘积为$3×5=15$，$7≠15$，不是成比例线段；
选项C：四个数为2,3,4,6，最小数和最大数的乘积为$2×6=12$，中间两数的乘积为$3×4=12$，$12=12$，满足$2:3=4:6$，是成比例线段；
选项D：四个数为0.2,0.3,0.4,0.5，最小数和最大数的乘积为$0.2×0.5=0.1$，中间两数的乘积为$0.3×0.4=0.12$，$0.1≠0.12$，不是成比例线段。
综上只有选项C符合要求。
【答案】
6 C
∵3×6≠4×5,1×7≠3×5,2×6=3×4,0.2×0.5≠0.3×0.4,
∴选项C符合题意.
解题通法
判断四条线段能否组成成比例线段
【知识点】
成比例线段的判定、比例的基本性质
【点评】
本题是成比例线段判定的基础题型，熟练运用比例的基本性质可以快速得出结论，无需额外排序计算比值，能有效提升解题速度，是对成比例线段基础概念的考察。
【难度系数】
0.8
7. [2025深圳宝安区期中]已知$4a=3b(b≠0)$，则下列关系式中成立的是（
A.$\frac{a}{4}=\frac{b}{3}$
B.$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$
C.$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$
D.$\frac{a}{4}=\frac{3}{b}$
B
）A.$\frac{a}{4}=\frac{b}{3}$
B.$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$
C.$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$
D.$\frac{a}{4}=\frac{3}{b}$
答案
7 B 选项A中,
∵$\frac{a}{4}=\frac{b}{3}$,
∴3a=4b;选项B中,
∵$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$,
∴4a=3b;选项C中,
∵$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$,
∴3a=4b;选项D中,
∵$\frac{a}{4}=\frac{3}{b}$,
∴ab=12.
∵4a=3b(b≠0),
∴选项B正确.
∵$\frac{a}{4}=\frac{b}{3}$,
∴3a=4b;选项B中,
∵$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$,
∴4a=3b;选项C中,
∵$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$,
∴3a=4b;选项D中,
∵$\frac{a}{4}=\frac{3}{b}$,
∴ab=12.
∵4a=3b(b≠0),
∴选项B正确.
解析
【分析】
本题可利用比例的基本性质（比例的两外项之积等于两内项之积）解题，解题思路为：将每个选项的比例式交叉相乘转化为等积式，再与题干给出的已知条件$4a=3b(b≠0)$进行对比，等积式一致的即为正确选项；也可直接将已知等积式转化为比例式，匹配对应选项。
【解析】
根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，对各选项逐一验证：
A. 由$\frac{a}{4}=\frac{b}{3}$，交叉相乘得$3a=4b$，与已知$4a=3b$不符，故A错误；
B. 由$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$，交叉相乘得$4a=3b$，与已知条件一致，故B正确；
C. 由$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$，交叉相乘得$3a=4b$，与已知$4a=3b$不符，故C错误；
D. 由$\frac{a}{4}=\frac{3}{b}$，交叉相乘得$ab=12$，与已知$4a=3b$不符，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1.比例的基本性质 2.比例式与等积式的互化
【点评】
本题属于基础题型，核心考查比例基本性质的应用，解题时通过将比例式转化为等积式和已知条件对比，即可快速判断选项正误，计算量小，掌握对应知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
本题可利用比例的基本性质（比例的两外项之积等于两内项之积）解题，解题思路为：将每个选项的比例式交叉相乘转化为等积式，再与题干给出的已知条件$4a=3b(b≠0)$进行对比，等积式一致的即为正确选项；也可直接将已知等积式转化为比例式，匹配对应选项。
【解析】
根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，对各选项逐一验证：
A. 由$\frac{a}{4}=\frac{b}{3}$，交叉相乘得$3a=4b$，与已知$4a=3b$不符，故A错误；
B. 由$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$，交叉相乘得$4a=3b$，与已知条件一致，故B正确；
C. 由$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$，交叉相乘得$3a=4b$，与已知$4a=3b$不符，故C错误；
D. 由$\frac{a}{4}=\frac{3}{b}$，交叉相乘得$ab=12$，与已知$4a=3b$不符，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1.比例的基本性质 2.比例式与等积式的互化
【点评】
本题属于基础题型，核心考查比例基本性质的应用，解题时通过将比例式转化为等积式和已知条件对比，即可快速判断选项正误，计算量小，掌握对应知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
8. 如果$\frac{x+y}{x}=\frac{5}{3}$，那么$\frac{y}{x}$等于（
A.$\frac{8}{5}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
D
）A.$\frac{8}{5}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
8 D 通解
∵$\frac{x+y}{x}=\frac{5}{3}$,
∴3x+3y=5x,
∴3y=2x,
∴$\frac{y}{x}=\frac{2}{3}$.
另解1 已知$\frac{x+y}{x}=\frac{5}{3}$,
∴$\frac{x+y}{x}=1+\frac{y}{x}=\frac{5}{3}$,
∴$\frac{y}{x}=\frac{2}{3}$.
另解2(合比性质) 已知$\frac{x+y}{x}=\frac{5}{3}$,
∴$\frac{x+y-x}{x}=\frac{5-3}{3}$,
∴$\frac{y}{x}=\frac{2}{3}$.
∵$\frac{x+y}{x}=\frac{5}{3}$,
∴3x+3y=5x,
∴3y=2x,
∴$\frac{y}{x}=\frac{2}{3}$.
另解1 已知$\frac{x+y}{x}=\frac{5}{3}$,
∴$\frac{x+y}{x}=1+\frac{y}{x}=\frac{5}{3}$,
∴$\frac{y}{x}=\frac{2}{3}$.
另解2(合比性质) 已知$\frac{x+y}{x}=\frac{5}{3}$,
∴$\frac{x+y-x}{x}=\frac{5-3}{3}$,
∴$\frac{y}{x}=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
这是一道求分式比值的基础题，解题可从三个常见方向入手：1. 利用比例的基本性质交叉相乘去分母，整理得到x、y的数量关系后推导比值；2. 将左侧分式拆分为常数加目标式的形式，直接变形求解；3. 运用合比性质直接推导结果，可根据自己对知识点的熟悉程度选择解法。
【解析】
方法一（交叉相乘法）：
∵ $\frac{x+y}{x}=\frac{5}{3}$
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，交叉相乘得：$3(x+y)=5x$
展开得：$3x+3y=5x$
移项合并同类项得：$3y=2x$
x不为0，两边同时除以3x得：$\frac{y}{x}=\frac{2}{3}$
方法二（拆分分式法）：
将左侧分式拆分可得：$\frac{x+y}{x}=\frac{x}{x}+\frac{y}{x}=1+\frac{y}{x}$
代入已知条件得：$1+\frac{y}{x}=\frac{5}{3}$
移项计算得：$\frac{y}{x}=\frac{5}{3}-1=\frac{2}{3}$
方法三（合比性质法）：
根据合比性质：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$
将$\frac{x+y}{x}=\frac{5}{3}$代入性质得：$\frac{(x+y)-x}{x}=\frac{5-3}{3}$
化简后得：$\frac{y}{x}=\frac{2}{3}$
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质、分式运算、合比性质
【点评】
本题是比例模块的基础典型题，考查对比例相关性质的灵活运用，多种解法均围绕基础知识点设计，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
这是一道求分式比值的基础题，解题可从三个常见方向入手：1. 利用比例的基本性质交叉相乘去分母，整理得到x、y的数量关系后推导比值；2. 将左侧分式拆分为常数加目标式的形式，直接变形求解；3. 运用合比性质直接推导结果，可根据自己对知识点的熟悉程度选择解法。
【解析】
方法一（交叉相乘法）：
∵ $\frac{x+y}{x}=\frac{5}{3}$
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，交叉相乘得：$3(x+y)=5x$
展开得：$3x+3y=5x$
移项合并同类项得：$3y=2x$
x不为0，两边同时除以3x得：$\frac{y}{x}=\frac{2}{3}$
方法二（拆分分式法）：
将左侧分式拆分可得：$\frac{x+y}{x}=\frac{x}{x}+\frac{y}{x}=1+\frac{y}{x}$
代入已知条件得：$1+\frac{y}{x}=\frac{5}{3}$
移项计算得：$\frac{y}{x}=\frac{5}{3}-1=\frac{2}{3}$
方法三（合比性质法）：
根据合比性质：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$
将$\frac{x+y}{x}=\frac{5}{3}$代入性质得：$\frac{(x+y)-x}{x}=\frac{5-3}{3}$
化简后得：$\frac{y}{x}=\frac{2}{3}$
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质、分式运算、合比性质
【点评】
本题是比例模块的基础典型题，考查对比例相关性质的灵活运用，多种解法均围绕基础知识点设计，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
9. 教材练习变式 [2026 衡阳衡山段考]若线段$a=2$，$b=8$，线段$c$是线段$a$和$b$的比例中项，则线段$c$的长为
4
。答案
9 4
∵线段c是线段a和b的比例中项,
∴$c^2=ab=2×8=16$.
∵c＞0,
∴c=4.
∵线段c是线段a和b的比例中项,
∴$c^2=ab=2×8=16$.
∵c＞0,
∴c=4.
解析
【分析】
解题时首先回忆比例中项的定义：若线段c是线段a、b的比例中项，则满足$c^2=ab$。接下来代入a、b的数值计算ab的乘积，最后注意线段的长度是正数，对计算结果开方时取正的算术平方根即可得到c的长度。
【解析】
∵线段c是线段a和b的比例中项，
∴$c^2=ab$，
将$a=2$，$b=8$代入得：$c^2=2×8=16$，
又
∵线段长度为正数，即$c＞0$，
∴$c=\sqrt{16}=4$。
【答案】
4
【知识点】
比例中项的定义；算术平方根的计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查比例中项的相关概念，易错点是容易忽略线段长度的非负性，误将结果写为±4，解题时牢记线段的长度恒为正即可避开易错点。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆比例中项的定义：若线段c是线段a、b的比例中项，则满足$c^2=ab$。接下来代入a、b的数值计算ab的乘积，最后注意线段的长度是正数，对计算结果开方时取正的算术平方根即可得到c的长度。
【解析】
∵线段c是线段a和b的比例中项，
∴$c^2=ab$，
将$a=2$，$b=8$代入得：$c^2=2×8=16$，
又
∵线段长度为正数，即$c＞0$，
∴$c=\sqrt{16}=4$。
【答案】
4
【知识点】
比例中项的定义；算术平方根的计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查比例中项的相关概念，易错点是容易忽略线段长度的非负性，误将结果写为±4，解题时牢记线段的长度恒为正即可避开易错点。
【难度系数】
0.8
10. 一题多解|教材复习题变式 [2026北京昌平一中教育集团期中]已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{m}{5}$，且$x + y - m = 2$，求$x$，$y$，$m$的值。
答案
10 解:通解
∵$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{m}{5}$,
∴$x=\frac{2m}{5}$,$y=\frac{4m}{5}$.
∵x+y-m=2,
∴$\frac{2m}{5}+\frac{4m}{5}-m=2$,解得m=10,
∴x=4,y=8,m=10.
另解1(设参法) 令$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{m}{5}=k$,
∴x=2k,y=4k,m=5k.
∵x+y-m=2,
∴2k+4k-5k=2,解得k=2,
∴x=4,y=8,m=10.
另解2(等比性质)
∵$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{m}{5}$,
∴$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{-m}{-5}=\frac{x+y-m}{2+4-5}=x+y-m$.
∵x+y-m=2,
∴$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{m}{5}=2$,
∴x=4,y=8,m=10.
得分要点
(1)比例的基本性质:①如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,那么ad=bc;②如果ad=bc,那么$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.(2)合比性质:如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,那么$\frac{a±b}{b}=\frac{c±d}{d}$.(3)等比性质:如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=…=\frac{m}{n}$,那么$\frac{a+c+…+m}{b+d+…+n}=\frac{a}{b}$.
∵$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{m}{5}$,
∴$x=\frac{2m}{5}$,$y=\frac{4m}{5}$.
∵x+y-m=2,
∴$\frac{2m}{5}+\frac{4m}{5}-m=2$,解得m=10,
∴x=4,y=8,m=10.
另解1(设参法) 令$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{m}{5}=k$,
∴x=2k,y=4k,m=5k.
∵x+y-m=2,
∴2k+4k-5k=2,解得k=2,
∴x=4,y=8,m=10.
另解2(等比性质)
∵$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{m}{5}$,
∴$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{-m}{-5}=\frac{x+y-m}{2+4-5}=x+y-m$.
∵x+y-m=2,
∴$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{m}{5}=2$,
∴x=4,y=8,m=10.
得分要点
(1)比例的基本性质:①如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,那么ad=bc;②如果ad=bc,那么$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.(2)合比性质:如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,那么$\frac{a±b}{b}=\frac{c±d}{d}$.(3)等比性质:如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=…=\frac{m}{n}$,那么$\frac{a+c+…+m}{b+d+…+n}=\frac{a}{b}$.
解析
【分析】
本题已知三个未知数的连等比例关系和一个三元一次方程，求解三个未知数的值，解题核心是利用比例的性质将多个未知数转化为同一个未知数表示，再代入方程求解。常见解题思路有三种：①将x、y用含m的代数式表示，代入已知方程解出m，再求x、y；②使用设参法，设比例的比值为k，将x、y、m都用含k的代数式表示，代入方程解出k后求三个未知数，该方法通用性强、不易出错；③利用等比性质，将分子分母分别对应加减，直接得到比值，快速求出各未知数。
【解析】
方法一（设参法，推荐）：
令$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{m}{5}=k$，根据比例的基本性质可得：
$x=2k$，$y=4k$，$m=5k$
将上述式子代入$x + y - m = 2$，得：
$2k + 4k - 5k = 2$
合并同类项得$k=2$
代回计算得：$x=2×2=4$，$y=4×2=8$，$m=5×2=10$
方法二（代入消元法）：
由$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{m}{5}$，推导得$x=\frac{2}{5}m$，$y=\frac{4}{5}m$
代入$x + y - m = 2$，得：$\frac{2m}{5}+\frac{4m}{5}-m=2$
化简得$\frac{m}{5}=2$，解得$m=10$
代回计算得：$x=\frac{2}{5}×10=4$，$y=\frac{4}{5}×10=8$
方法三（等比性质法）：
根据等比性质，由$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{m}{5}$可得：
$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{-m}{-5}=\frac{x+y-m}{2+4-5}=x+y-m$
已知$x+y-m=2$，因此$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{m}{5}=2$
计算得：$x=2×2=4$，$y=4×2=8$，$m=5×2=10$
【答案】
$x=4$，$y=8$，$m=10$
【知识点】
比例的性质，设参法，代入消元法
【点评】
本题是比例性质的典型应用题型，通过一题多解可以加深对比例各类性质的理解，其中设参法是解决连比类问题的通用方法，适用范围广、不易出错，需重点掌握。
【难度系数】
0.8
本题已知三个未知数的连等比例关系和一个三元一次方程，求解三个未知数的值，解题核心是利用比例的性质将多个未知数转化为同一个未知数表示，再代入方程求解。常见解题思路有三种：①将x、y用含m的代数式表示，代入已知方程解出m，再求x、y；②使用设参法，设比例的比值为k，将x、y、m都用含k的代数式表示，代入方程解出k后求三个未知数，该方法通用性强、不易出错；③利用等比性质，将分子分母分别对应加减，直接得到比值，快速求出各未知数。
【解析】
方法一（设参法，推荐）：
令$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{m}{5}=k$，根据比例的基本性质可得：
$x=2k$，$y=4k$，$m=5k$
将上述式子代入$x + y - m = 2$，得：
$2k + 4k - 5k = 2$
合并同类项得$k=2$
代回计算得：$x=2×2=4$，$y=4×2=8$，$m=5×2=10$
方法二（代入消元法）：
由$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{m}{5}$，推导得$x=\frac{2}{5}m$，$y=\frac{4}{5}m$
代入$x + y - m = 2$，得：$\frac{2m}{5}+\frac{4m}{5}-m=2$
化简得$\frac{m}{5}=2$，解得$m=10$
代回计算得：$x=\frac{2}{5}×10=4$，$y=\frac{4}{5}×10=8$
方法三（等比性质法）：
根据等比性质，由$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{m}{5}$可得：
$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{-m}{-5}=\frac{x+y-m}{2+4-5}=x+y-m$
已知$x+y-m=2$，因此$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{m}{5}=2$
计算得：$x=2×2=4$，$y=4×2=8$，$m=5×2=10$
【答案】
$x=4$，$y=8$，$m=10$
【知识点】
比例的性质，设参法，代入消元法
【点评】
本题是比例性质的典型应用题型，通过一题多解可以加深对比例各类性质的理解，其中设参法是解决连比类问题的通用方法，适用范围广、不易出错，需重点掌握。
【难度系数】
0.8
11. 跨学科·音乐 [2026银川景博学校期末] 实验发现，玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符. 如图，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金分割比时(AC ＞ BC)，可以敲击出音符“sol”. 若AB =8 cm，敲击时发出音符“sol”，则液面高度AC为
$(4\sqrt{5}-4)$
cm.（结果保留根号）答案
11 $(4\sqrt{5}-4)$
∵点C是AB的一个黄金分割点,且AC＞BC,
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×8=(4\sqrt{5}-4)$cm.
∵点C是AB的一个黄金分割点,且AC＞BC,
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×8=(4\sqrt{5}-4)$cm.
解析
【分析】
本题考查黄金分割的实际应用，解题思路如下：首先回忆黄金分割的定义：若一点将一条线段分为两段，较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点为这条线段的黄金分割点。题目中明确AC＞BC，且AC与AB的比为黄金分割比，可知AC是AB被黄金分割后的较长线段，直接代入黄金比的公式，结合已知的AB长度，即可计算出AC的数值。
【解析】
解：
∵点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又
∵AB=8 cm，
∴$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×8=4(\sqrt{5}-1)=(4\sqrt{5}-4)$cm。
【答案】
$4\sqrt{5}-4$
【知识点】
黄金分割；成比例线段
【点评】
本题结合敲击玻璃瓶发音的跨学科情境考查黄金分割的基础应用，只要掌握黄金分割的比例关系即可顺利求解，侧重对基础概念的理解和运用。
【难度系数】
0.8
本题考查黄金分割的实际应用，解题思路如下：首先回忆黄金分割的定义：若一点将一条线段分为两段，较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点为这条线段的黄金分割点。题目中明确AC＞BC，且AC与AB的比为黄金分割比，可知AC是AB被黄金分割后的较长线段，直接代入黄金比的公式，结合已知的AB长度，即可计算出AC的数值。
【解析】
解：
∵点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又
∵AB=8 cm，
∴$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×8=4(\sqrt{5}-1)=(4\sqrt{5}-4)$cm。
【答案】
$4\sqrt{5}-4$
【知识点】
黄金分割；成比例线段
【点评】
本题结合敲击玻璃瓶发音的跨学科情境考查黄金分割的基础应用，只要掌握黄金分割的比例关系即可顺利求解，侧重对基础概念的理解和运用。
【难度系数】
0.8
12. 一题多解 [2026张掖临泽期中] 校园里一片小小的枫树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，A，P，B三点共线，点P为AB的黄金分割点(AP ＞ PB)，若AB = 6 cm，则PB的长为
$(9-3\sqrt{5})$
cm.答案
12 $(9-3\sqrt{5})$ 通解 根据题意可得$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6=(3\sqrt{5}-3)$cm,
∴PB=AB-AP=6-(3√5-3)=$(9-3\sqrt{5})$cm.
另解(比例中项)
∵点P为AB的黄金分割点,
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{PB}{AP}$.
∵AB=6 cm,AP=6-PB,
∴$\frac{6-PB}{6}=\frac{PB}{6-PB}$.令PB=x,整理可得$x^2-18x+36=0$,解得$x_1=9-3\sqrt{5}$,$x_2=9+3\sqrt{5}$(舍去)(PB＜AB),
∴PB=$(9-3\sqrt{5})$cm.
得分要点
将一条线段AB分成两条线段AP和PB(AP＞PB),使$AP^2=AB·PB$,称AP为AB和PB的比例中项,点P为线段AB的黄金分割点,且$\frac{AP}{AB}=\frac{PB}{AP}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}≈0.618$.
∴$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6=(3\sqrt{5}-3)$cm,
∴PB=AB-AP=6-(3√5-3)=$(9-3\sqrt{5})$cm.
另解(比例中项)
∵点P为AB的黄金分割点,
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{PB}{AP}$.
∵AB=6 cm,AP=6-PB,
∴$\frac{6-PB}{6}=\frac{PB}{6-PB}$.令PB=x,整理可得$x^2-18x+36=0$,解得$x_1=9-3\sqrt{5}$,$x_2=9+3\sqrt{5}$(舍去)(PB＜AB),
∴PB=$(9-3\sqrt{5})$cm.
得分要点
将一条线段AB分成两条线段AP和PB(AP＞PB),使$AP^2=AB·PB$,称AP为AB和PB的比例中项,点P为线段AB的黄金分割点,且$\frac{AP}{AB}=\frac{PB}{AP}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}≈0.618$.
解析
【分析】
解题时首先回忆黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题已知AP＞PB，因此AP是AB的较长分割段，可先根据黄金分割比求出AP的长度，再利用PB=AB-AP计算结果，也可通过比例中项列方程求解。
【解析】
方法1（通解）：
∵点P为AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
已知AB=6cm，代入得：
$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6=(3\sqrt{5}-3)$cm，
∴$PB=AB-AP=6-(3\sqrt{5}-3)=9-3\sqrt{5}$cm。
方法2（比例中项法）：
∵点P为AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴$AP^2=AB·PB$，
设PB=x cm，则AP=(6-x)cm，代入得：
$(6-x)^2=6x$，
整理得$x^2-18x+36=0$，
解得$x_1=9-3\sqrt{5}$，$x_2=9+3\sqrt{5}$，
∵PB＜AB=6cm，$9+3\sqrt{5}＞6$，不符合实际故舍去，
∴$PB=(9-3\sqrt{5})$cm。
【答案】
$9-3\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割、比例计算、线段和差计算
【点评】
本题结合生活情境考查黄金分割的实际应用，解题核心是准确把握黄金分割的线段比例关系，注意区分较长线段和较短线段，避免比例对应错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题已知AP＞PB，因此AP是AB的较长分割段，可先根据黄金分割比求出AP的长度，再利用PB=AB-AP计算结果，也可通过比例中项列方程求解。
【解析】
方法1（通解）：
∵点P为AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
已知AB=6cm，代入得：
$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6=(3\sqrt{5}-3)$cm，
∴$PB=AB-AP=6-(3\sqrt{5}-3)=9-3\sqrt{5}$cm。
方法2（比例中项法）：
∵点P为AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴$AP^2=AB·PB$，
设PB=x cm，则AP=(6-x)cm，代入得：
$(6-x)^2=6x$，
整理得$x^2-18x+36=0$，
解得$x_1=9-3\sqrt{5}$，$x_2=9+3\sqrt{5}$，
∵PB＜AB=6cm，$9+3\sqrt{5}＞6$，不符合实际故舍去，
∴$PB=(9-3\sqrt{5})$cm。
【答案】
$9-3\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割、比例计算、线段和差计算
【点评】
本题结合生活情境考查黄金分割的实际应用，解题核心是准确把握黄金分割的线段比例关系，注意区分较长线段和较短线段，避免比例对应错误。
【难度系数】
0.7
