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13. [2026 漳州一中期中]已知线段AB,延长AB至点C,使得$BC=2AB$,若点D是线段AC上的一点,$BD=\frac{1}{3}AB$,则$\frac{AC}{AD}$的值是 (
A.$\frac{9}{2}$
B.$5$
C.$\frac{9}{2}$或$\frac{9}{4}$
D.$\frac{9}{2}$或$5$
C
)A.$\frac{9}{2}$
B.$5$
C.$\frac{9}{2}$或$\frac{9}{4}$
D.$\frac{9}{2}$或$5$
答案
13 C 如图,
∵BC=2AB,
∴AC=AB+BC=3AB.①当点D在线段AB上时,
∵$BD=\frac{1}{3}AB$,
∴$AD=\frac{2}{3}AB$,
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{3AB}{\frac{2}{3}AB}=\frac{9}{2}$.②当点D在线段BC上时,
∵$BD'=\frac{1}{3}AB$,
∴$AD'=\frac{4}{3}AB$,
∴$\frac{AC}{AD'}=\frac{3AB}{\frac{4}{3}AB}=\frac{9}{4}$.
解析
【分析】
本题是线段比例求值问题，解题时首先根据已知的BC与AB的数量关系，先将AC用AB表示，得到固定的AC长度；由于题目仅说明点D在线段AC上，未明确D与AB、BC的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①点D在线段AB上；②点D在线段BC上，分别计算两种情况下AD的长度，再代入AC与AD的比值计算即可，注意不要漏解。
【解析】
∵ $BC=2AB$，
∴ $AC = AB + BC = AB + 2AB = 3AB$。
分两种情况讨论：
① 当点D在线段AB上时：
∵ $BD=\frac{1}{3}AB$，
∴ $AD = AB - BD = AB - \frac{1}{3}AB = \frac{2}{3}AB$，
∴ $\frac{AC}{AD}=\frac{3AB}{\frac{2}{3}AB}=\frac{9}{2}$；
② 当点D在线段BC上时（即图中的$D'$）：
∵ $BD'=\frac{1}{3}AB$，
∴ $AD' = AB + BD' = AB + \frac{1}{3}AB = \frac{4}{3}AB$，
∴ $\frac{AC}{AD'}=\frac{3AB}{\frac{4}{3}AB}=\frac{9}{4}$。
综上，$\frac{AC}{AD}$的值为$\frac{9}{2}$或$\frac{9}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
线段和差计算，分类讨论思想，线段比例求值
【点评】
本题的易错点是忽略点D的位置有两种可能，仅计算其中一种情况导致漏解，解题时遇到没有明确点位置的线段问题，要结合图形分析所有符合条件的情况，通过分类讨论完整求解。
【难度系数】
0.6
本题是线段比例求值问题，解题时首先根据已知的BC与AB的数量关系，先将AC用AB表示，得到固定的AC长度；由于题目仅说明点D在线段AC上，未明确D与AB、BC的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①点D在线段AB上；②点D在线段BC上，分别计算两种情况下AD的长度，再代入AC与AD的比值计算即可，注意不要漏解。
【解析】
∵ $BC=2AB$，
∴ $AC = AB + BC = AB + 2AB = 3AB$。
分两种情况讨论：
① 当点D在线段AB上时：
∵ $BD=\frac{1}{3}AB$，
∴ $AD = AB - BD = AB - \frac{1}{3}AB = \frac{2}{3}AB$，
∴ $\frac{AC}{AD}=\frac{3AB}{\frac{2}{3}AB}=\frac{9}{2}$；
② 当点D在线段BC上时（即图中的$D'$）：
∵ $BD'=\frac{1}{3}AB$，
∴ $AD' = AB + BD' = AB + \frac{1}{3}AB = \frac{4}{3}AB$，
∴ $\frac{AC}{AD'}=\frac{3AB}{\frac{4}{3}AB}=\frac{9}{4}$。
综上，$\frac{AC}{AD}$的值为$\frac{9}{2}$或$\frac{9}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
线段和差计算，分类讨论思想，线段比例求值
【点评】
本题的易错点是忽略点D的位置有两种可能，仅计算其中一种情况导致漏解，解题时遇到没有明确点位置的线段问题，要结合图形分析所有符合条件的情况，通过分类讨论完整求解。
【难度系数】
0.6
14. 教材练习变式|一题多解 [2026衡阳石鼓船山实验中学月考] 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{3}(2b+4d-6f≠0)$，则$\frac{a+2c-3e}{2b+4d-6f}$的值为（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{3}{2}$
C
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{3}{2}$
答案
14 C 通解
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{3}$,
∴$a=\frac{1}{3}b$,$c=\frac{1}{3}d$,$e=\frac{1}{3}f$,
∴$\frac{a+2c-3e}{2b+4d-6f}=\frac{\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}d-f}{2b+4d-6f}=\frac{\frac{1}{6}(2b+4d-6f)}{2b+4d-6f}=\frac{1}{6}$.
另解
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{3}$,
∴$\frac{a}{2b}=\frac{2c}{4d}=\frac{-3e}{-6f}=\frac{1}{6}$,
∴$\frac{a+2c-3e}{2b+4d-6f}=\frac{1}{6}$(等比性质).
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{3}$,
∴$a=\frac{1}{3}b$,$c=\frac{1}{3}d$,$e=\frac{1}{3}f$,
∴$\frac{a+2c-3e}{2b+4d-6f}=\frac{\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}d-f}{2b+4d-6f}=\frac{\frac{1}{6}(2b+4d-6f)}{2b+4d-6f}=\frac{1}{6}$.
另解
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{3}$,
∴$\frac{a}{2b}=\frac{2c}{4d}=\frac{-3e}{-6f}=\frac{1}{6}$,
∴$\frac{a+2c-3e}{2b+4d-6f}=\frac{1}{6}$(等比性质).
解析
【分析】
本题给出连等的比例式，求特定分式的比值，可从两种思路入手：思路一：参数代入法，根据已知的比例关系，将a、c、e分别用含b、d、f的式子表示，代入待求分式的分子，化简后与分母约分即可得到结果；思路二：等比性质法，利用比例的基本性质，将已知的三个比例变形为分子、分母分别对应待求分式分子、分母各项的比例，再结合等比性质直接求解，注意题目已给出分母和不为0，满足等比性质的使用条件。
【解析】
解法一：
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{3}$，
∴$a=\frac{1}{3}b$，$c=\frac{1}{3}d$，$e=\frac{1}{3}f$，
将上述关系代入待求分式得：
$\frac{a+2c-3e}{2b+4d-6f}=\frac{\frac{1}{3}b+2×\frac{1}{3}d-3×\frac{1}{3}f}{2b+4d-6f}=\frac{\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}d-f}{2b+4d-6f}$
对分子提取公因式$\frac{1}{6}$，可得分子=$\frac{1}{6}(2b+4d-6f)$，
∵$2b+4d-6f≠0$，
∴原式=$\frac{\frac{1}{6}(2b+4d-6f)}{2b+4d-6f}=\frac{1}{6}$。
解法二：
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{3}$，
根据比例的基本性质，对三个比例分别变形：
$\frac{a}{2b}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，$\frac{2c}{4d}=\frac{c}{2d}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，$\frac{-3e}{-6f}=\frac{e}{2f}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，
即$\frac{a}{2b}=\frac{2c}{4d}=\frac{-3e}{-6f}=\frac{1}{6}$，
又
∵$2b+4d-6f≠0$，根据等比性质可得：
$\frac{a+2c-3e}{2b+4d-6f}=\frac{1}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质，等比性质
【点评】
本题是比例性质应用的典型习题，两种解题方法均需熟练掌握，参数代入法思路直观易理解，等比性质法计算更快捷，应用等比性质时要注意验证分母之和不为0的前提条件，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
本题给出连等的比例式，求特定分式的比值，可从两种思路入手：思路一：参数代入法，根据已知的比例关系，将a、c、e分别用含b、d、f的式子表示，代入待求分式的分子，化简后与分母约分即可得到结果；思路二：等比性质法，利用比例的基本性质，将已知的三个比例变形为分子、分母分别对应待求分式分子、分母各项的比例，再结合等比性质直接求解，注意题目已给出分母和不为0，满足等比性质的使用条件。
【解析】
解法一：
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{3}$，
∴$a=\frac{1}{3}b$，$c=\frac{1}{3}d$，$e=\frac{1}{3}f$，
将上述关系代入待求分式得：
$\frac{a+2c-3e}{2b+4d-6f}=\frac{\frac{1}{3}b+2×\frac{1}{3}d-3×\frac{1}{3}f}{2b+4d-6f}=\frac{\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}d-f}{2b+4d-6f}$
对分子提取公因式$\frac{1}{6}$，可得分子=$\frac{1}{6}(2b+4d-6f)$，
∵$2b+4d-6f≠0$，
∴原式=$\frac{\frac{1}{6}(2b+4d-6f)}{2b+4d-6f}=\frac{1}{6}$。
解法二：
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{3}$，
根据比例的基本性质，对三个比例分别变形：
$\frac{a}{2b}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，$\frac{2c}{4d}=\frac{c}{2d}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，$\frac{-3e}{-6f}=\frac{e}{2f}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，
即$\frac{a}{2b}=\frac{2c}{4d}=\frac{-3e}{-6f}=\frac{1}{6}$，
又
∵$2b+4d-6f≠0$，根据等比性质可得：
$\frac{a+2c-3e}{2b+4d-6f}=\frac{1}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质，等比性质
【点评】
本题是比例性质应用的典型习题，两种解题方法均需熟练掌握，参数代入法思路直观易理解，等比性质法计算更快捷，应用等比性质时要注意验证分母之和不为0的前提条件，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
15. [2026长春南关区期末] 晓慧同学在学习了九年级上册“22.1成比例线段”后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程。
答案
15 2
∵$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2}$,
∴$a=\sqrt{2}b$,$b=\sqrt{2}c$,
∴a=2c,
∴$\frac{a}{c}=2$.
∵$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2}$,
∴$a=\sqrt{2}b$,$b=\sqrt{2}c$,
∴a=2c,
∴$\frac{a}{c}=2$.
解析
【分析】
要推导$\frac{a}{c}$的取值，我们可以利用已知的等比关系$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2}$，先通过比例的基本性质分别得到a与b、b与c的数量关系，再通过代换得到a和c的关系，最终求出$\frac{a}{c}$的数值。
【解析】
已知$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2}$，
根据比例的基本性质交叉相乘可得：
$a=\sqrt{2}b$，$b=\sqrt{2}c$，
将$b=\sqrt{2}c$代入$a=\sqrt{2}b$中，得：
$a=\sqrt{2}×\sqrt{2}c=2c$，
因此$\frac{a}{c}=\frac{2c}{c}=2$。
【答案】
2
【知识点】
成比例线段，比例的基本性质，比例中项
【点评】
本题通过逐步特殊化的设置，考查比例相关性质的理解与应用，只需掌握比例的基本变形方法即可顺利求解，是巩固比例基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.8
要推导$\frac{a}{c}$的取值，我们可以利用已知的等比关系$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2}$，先通过比例的基本性质分别得到a与b、b与c的数量关系，再通过代换得到a和c的关系，最终求出$\frac{a}{c}$的数值。
【解析】
已知$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2}$，
根据比例的基本性质交叉相乘可得：
$a=\sqrt{2}b$，$b=\sqrt{2}c$，
将$b=\sqrt{2}c$代入$a=\sqrt{2}b$中，得：
$a=\sqrt{2}×\sqrt{2}c=2c$，
因此$\frac{a}{c}=\frac{2c}{c}=2$。
【答案】
2
【知识点】
成比例线段，比例的基本性质，比例中项
【点评】
本题通过逐步特殊化的设置，考查比例相关性质的理解与应用，只需掌握比例的基本变形方法即可顺利求解，是巩固比例基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.8
16. 新趋势·尺规作图 [2026 南阳第二十二中学校月考] 如图,画线段AB的垂直平分线交AB于点O,在这条垂直平分线上截取OC = OA,以点A为圆心、AC的长为半径画弧交AB于点P,则$\frac{AP}{AB}$的值为
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
.答案
16 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 根据题意可得AC=AP,
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AC}{AB}$.
∵OC垂直平分线段AB,
∴∠AOC=90°,AB=2OA.如图,连接AC,
∵OC=OA,
∴在Rt△AOC中,由勾股定理得$AC=\sqrt{OA^2+OA^2}=\sqrt{2}OA$,
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}OA}{2OA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
解题时先根据尺规作图的规则梳理各线段关系：①AB的垂直平分线过点O，可得O是AB中点，$∠ AOC=90°$，$AB=2OA$；②截取$OC=OA$，可知$△ AOC$是等腰直角三角形；③以A为圆心、AC长为半径画弧交AB于P，可得$AP=AC$。接下来设OA为参数，利用勾股定理求出AC的长度，代入$\frac{AP}{AB}$化简即可，参数在计算中会直接约去，无需赋值。
【解析】
根据尺规作图的性质可得：$AP=AC$，
∴ $\frac{AP}{AB}=\frac{AC}{AB}$。
∵ OC是线段AB的垂直平分线，
∴ $∠ AOC=90°$，且O为AB的中点，即$AB=2OA$。
连接AC，已知$OC=OA$，
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{OA^2+OA^2}=\sqrt{2}OA$，
将$AC=\sqrt{2}OA$、$AB=2OA$代入比值计算：
$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{2}OA}{2OA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
垂直平分线的性质；勾股定理；比例线段计算
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何知识的应用，解题核心是从作图步骤中提取线段的位置和数量关系，是几何部分的常见基础考题，掌握相关性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
解题时先根据尺规作图的规则梳理各线段关系：①AB的垂直平分线过点O，可得O是AB中点，$∠ AOC=90°$，$AB=2OA$；②截取$OC=OA$，可知$△ AOC$是等腰直角三角形；③以A为圆心、AC长为半径画弧交AB于P，可得$AP=AC$。接下来设OA为参数，利用勾股定理求出AC的长度，代入$\frac{AP}{AB}$化简即可，参数在计算中会直接约去，无需赋值。
【解析】
根据尺规作图的性质可得：$AP=AC$，
∴ $\frac{AP}{AB}=\frac{AC}{AB}$。
∵ OC是线段AB的垂直平分线，
∴ $∠ AOC=90°$，且O为AB的中点，即$AB=2OA$。
连接AC，已知$OC=OA$，
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{OA^2+OA^2}=\sqrt{2}OA$，
将$AC=\sqrt{2}OA$、$AB=2OA$代入比值计算：
$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{2}OA}{2OA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
垂直平分线的性质；勾股定理；比例线段计算
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何知识的应用，解题核心是从作图步骤中提取线段的位置和数量关系，是几何部分的常见基础考题，掌握相关性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
17. 教材例题变式 [2026开封通许丽星初级中学月考]学习完九上数学华东师大版教材第57页例2的解题方法后,请解决下列问题:
(1)若$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$,则$\frac{a+b}{b}$的值为
(2)若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}(a≠±b,c≠±d)$,求证:$\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$
(1)若$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$,则$\frac{a+b}{b}$的值为
$\frac{8}{5}$
;(2)若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}(a≠±b,c≠±d)$,求证:$\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$
答案
17 (1)解:$\frac{8}{5}$
∵$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$,
∴$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+1=\frac{3}{5}+1=\frac{8}{5}$(或
∵$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$,
∴$a=\frac{3b}{5}$,
∴$\frac{a+b}{b}=\frac{\frac{3b}{5}+b}{b}=\frac{8}{5}$).
(2)证明:
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,
∴$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$,$\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$,
∴$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$,$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$.
∵a≠±b,c≠±d,
∴$\frac{a-b}{b}÷\frac{a+b}{b}=\frac{c-d}{d}÷\frac{c+d}{d}$,
∴$\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$.
∵$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$,
∴$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+1=\frac{3}{5}+1=\frac{8}{5}$(或
∵$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$,
∴$a=\frac{3b}{5}$,
∴$\frac{a+b}{b}=\frac{\frac{3b}{5}+b}{b}=\frac{8}{5}$).
(2)证明:
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,
∴$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$,$\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$,
∴$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$,$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$.
∵a≠±b,c≠±d,
∴$\frac{a-b}{b}÷\frac{a+b}{b}=\frac{c-d}{d}÷\frac{c+d}{d}$,
∴$\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$.
解析
【分析】
(1) 已知$\frac{a}{b}$的比值，求$\frac{a+b}{b}$的值有两种常用思路：一是利用分式拆分，将$\frac{a+b}{b}$拆为$\frac{a}{b}+1$，直接代入已知比值计算即可；二是用含$b$的式子表示$a$，再代入所求分式约分求值。
(2) 要证明$\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$，可从已知的$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$出发，利用等式的性质，在等式两边同时加1、减1，分别得到$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$和$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$，再将两个等式左右两边分别相除，消去公共分母即可得到待证结论，题中$a≠±b,c≠±d$的条件是保证待证式子的分母不为0，除法运算有意义。
【解析】
(1) 方法一：
∵$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$,
∴$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+1=\frac{3}{5}+1=\frac{8}{5}$。
方法二：
∵$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$,
∴$a=\frac{3b}{5}$,
代入$\frac{a+b}{b}$得：$\frac{\frac{3b}{5}+b}{b}=\frac{\frac{8b}{5}}{b}=\frac{8}{5}$。
(2) 证明：
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,
∴根据等式的性质，两边同时减1得$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$，两边同时加1得$\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$,
通分整理得：$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$，$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$,
∵$a≠±b,c≠±d$，即$a+b≠0,c+d≠0$,
∴将上述两个等式左右两边分别相除得：$\frac{a-b}{b}÷\frac{a+b}{b}=\frac{c-d}{d}÷\frac{c+d}{d}$,
约分后可得：$\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$，得证。
【答案】
(1)$\boxed{\frac{8}{5}}$；(2)证明成立
【知识点】
比例的性质，分式运算，等式的性质
【点评】
本题是比例章节的基础题型，第一问侧重考查比例的直接求值应用，第二问考查比例合分比性质的推导，熟练掌握等式性质和分式化简规则即可顺利解题，是后续比例相关复杂计算的基础。
【难度系数】
0.75
(1) 已知$\frac{a}{b}$的比值，求$\frac{a+b}{b}$的值有两种常用思路：一是利用分式拆分，将$\frac{a+b}{b}$拆为$\frac{a}{b}+1$，直接代入已知比值计算即可；二是用含$b$的式子表示$a$，再代入所求分式约分求值。
(2) 要证明$\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$，可从已知的$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$出发，利用等式的性质，在等式两边同时加1、减1，分别得到$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$和$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$，再将两个等式左右两边分别相除，消去公共分母即可得到待证结论，题中$a≠±b,c≠±d$的条件是保证待证式子的分母不为0，除法运算有意义。
【解析】
(1) 方法一：
∵$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$,
∴$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+1=\frac{3}{5}+1=\frac{8}{5}$。
方法二：
∵$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$,
∴$a=\frac{3b}{5}$,
代入$\frac{a+b}{b}$得：$\frac{\frac{3b}{5}+b}{b}=\frac{\frac{8b}{5}}{b}=\frac{8}{5}$。
(2) 证明：
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,
∴根据等式的性质，两边同时减1得$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$，两边同时加1得$\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$,
通分整理得：$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$，$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$,
∵$a≠±b,c≠±d$，即$a+b≠0,c+d≠0$,
∴将上述两个等式左右两边分别相除得：$\frac{a-b}{b}÷\frac{a+b}{b}=\frac{c-d}{d}÷\frac{c+d}{d}$,
约分后可得：$\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$，得证。
【答案】
(1)$\boxed{\frac{8}{5}}$；(2)证明成立
【知识点】
比例的性质，分式运算，等式的性质
【点评】
本题是比例章节的基础题型，第一问侧重考查比例的直接求值应用，第二问考查比例合分比性质的推导，熟练掌握等式性质和分式化简规则即可顺利解题，是后续比例相关复杂计算的基础。
【难度系数】
0.75
18. [2026青岛西海岸新区模拟]已知$a,b,c$是非0实数，且$\frac{-a + b + c}{a} = \frac{a - b + c}{b} = \frac{a + b - c}{c}$，求$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc}$的值。
答案
18 解:①当a+b+c≠0时,$\frac{-a+b+c}{a}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{a+b-c}{c}=\frac{-a+b+c+a-b+c+a+b-c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$,
∴-a+b+c=a,a-b+c=b,a+b-c=c,
∴b+c=2a,a+c=2b,a+b=2c,
∴$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{8abc}{abc}=8$.
或用设参法 当a+b+c≠0时,设$\frac{-a+b+c}{a}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{a+b-c}{c}=k$,则-a+b+c=ak,a-b+c=bk,a+b-c=ck,三式相加,得a+b+c=ak+bk+ck,
∴k=1,
∴b+c=2a,a+c=2b,a+b=2c,
∴$\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}=\frac{8abc}{abc}=8$.
②当a+b+c=0时,a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a,
∴$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1$.
综上,$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$的值为8或-1.
提分大招
运用等比性质的前提条件是各个分母的和不能为0,若题目中没有该条件,则在运用等比性质前应分类讨论.如本题要分a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况.
∴-a+b+c=a,a-b+c=b,a+b-c=c,
∴b+c=2a,a+c=2b,a+b=2c,
∴$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{8abc}{abc}=8$.
或用设参法 当a+b+c≠0时,设$\frac{-a+b+c}{a}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{a+b-c}{c}=k$,则-a+b+c=ak,a-b+c=bk,a+b-c=ck,三式相加,得a+b+c=ak+bk+ck,
∴k=1,
∴b+c=2a,a+c=2b,a+b=2c,
∴$\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}=\frac{8abc}{abc}=8$.
②当a+b+c=0时,a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a,
∴$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1$.
综上,$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$的值为8或-1.
提分大招
运用等比性质的前提条件是各个分母的和不能为0,若题目中没有该条件,则在运用等比性质前应分类讨论.如本题要分a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况.
解析
【分析】
本题给出连等的比例式，求解代数式的值，解题思路如下：1. 看到连等比例，首先想到等比性质，但等比性质要求所有分母的和不为0，本题没有给出a+b+c≠0的条件，因此需要分两类讨论；2. 第一类：当a+b+c≠0时，利用等比性质求出比例的比值，再推导出b+c、a+c、a+b与a、b、c的关系，代入所求代数式计算；3. 第二类：当a+b+c=0时，直接将a+b、b+c、c+a用对应的单个字母表示，代入代数式化简即可得到结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当a+b+c≠0时，根据等比性质可得：
$\frac{-a+b+c}{a}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{a+b-c}{c}=\frac{(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$
因此可得：$-a+b+c=a$，$a-b+c=b$，$a+b-c=c$
整理得：$b+c=2a$，$a+c=2b$，$a+b=2c$
代入所求代数式：
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{2c· 2a· 2b}{abc}=\frac{8abc}{abc}=8$
（也可使用设参法：设比值为k，将三个比例式转化为整式，三式相加后求出k=1，后续计算同上）
② 当a+b+c=0时，可得：
$a+b=-c$，$b+c=-a$，$c+a=-b$
代入所求代数式：
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{(-c)· (-a)· (-b)}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1$
综上，$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$的值为8或-1。
【答案】
8或-1
【知识点】
等比性质，代数式化简，分类讨论思想
【点评】
本题是比例性质应用的典型题型，易错点是容易忽略等比性质的适用前提（分母之和不为0），从而漏掉a+b+c=0的情况导致漏解，遇到连等比例式的求值问题时，务必要注意分类讨论，避免考虑不周出错。
【难度系数】
0.6
本题给出连等的比例式，求解代数式的值，解题思路如下：1. 看到连等比例，首先想到等比性质，但等比性质要求所有分母的和不为0，本题没有给出a+b+c≠0的条件，因此需要分两类讨论；2. 第一类：当a+b+c≠0时，利用等比性质求出比例的比值，再推导出b+c、a+c、a+b与a、b、c的关系，代入所求代数式计算；3. 第二类：当a+b+c=0时，直接将a+b、b+c、c+a用对应的单个字母表示，代入代数式化简即可得到结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当a+b+c≠0时，根据等比性质可得：
$\frac{-a+b+c}{a}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{a+b-c}{c}=\frac{(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$
因此可得：$-a+b+c=a$，$a-b+c=b$，$a+b-c=c$
整理得：$b+c=2a$，$a+c=2b$，$a+b=2c$
代入所求代数式：
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{2c· 2a· 2b}{abc}=\frac{8abc}{abc}=8$
（也可使用设参法：设比值为k，将三个比例式转化为整式，三式相加后求出k=1，后续计算同上）
② 当a+b+c=0时，可得：
$a+b=-c$，$b+c=-a$，$c+a=-b$
代入所求代数式：
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{(-c)· (-a)· (-b)}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1$
综上，$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$的值为8或-1。
【答案】
8或-1
【知识点】
等比性质，代数式化简，分类讨论思想
【点评】
本题是比例性质应用的典型题型，易错点是容易忽略等比性质的适用前提（分母之和不为0），从而漏掉a+b+c=0的情况导致漏解，遇到连等比例式的求值问题时，务必要注意分类讨论，避免考虑不周出错。
【难度系数】
0.6
19. 推理能力 [2026眉山东坡区期中]如图是顶角为$36°$的等腰三角形$ABC$，且$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，称这样的等腰三角形为黄金三角形.若腰$AB = 1$，$△ ABC$为第1个黄金三角形，$△ CDB$为第2个黄金三角形，$△ BED$为第3个黄金三角形……则第2026个黄金三角形的底边长为
$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2026}$
.答案
19 $(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2026}$ 在第1个黄金三角形(△ABC)中,AB=1,$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.在第2个黄金三角形(△CDB)中,$\frac{DB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴$DB=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2$.在第3个黄金三角形(△BED)中,$\frac{DE}{DB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴$DE=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3$……
∴第n个黄金三角形的底边长为$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n$,
∴第2 026个黄金三角形的底边长为$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2026}$.
∴$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.在第2个黄金三角形(△CDB)中,$\frac{DB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴$DB=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2$.在第3个黄金三角形(△BED)中,$\frac{DE}{DB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴$DE=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3$……
∴第n个黄金三角形的底边长为$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n$,
∴第2 026个黄金三角形的底边长为$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2026}$.
解析
【分析】
我们需要推导第2026个黄金三角形的底边长，首先从已知的第1个黄金三角形的条件出发，利用黄金三角形底与腰的比值固定为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的特点，依次计算前几个黄金三角形的底边长，观察数值的变化规律，总结出第$n$个黄金三角形底边长的通用表达式，最后代入$n=2026$即可得到结果。
【解析】
已知第1个黄金三角形$△ ABC$中，腰$AB=1$，且底和腰的比$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
因此第1个黄金三角形的底边长$BC = 1×\frac{\sqrt{5}-1}{2} = (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^1$；
第2个黄金三角形$△ CDB$的腰长为$BC$，同理可得它的底边长$DB = BC×\frac{\sqrt{5}-1}{2} = (\frac{\sqrt{5}-1}{2})×(\frac{\sqrt{5}-1}{2}) = (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2$；
第3个黄金三角形$△ BED$的腰长为$DB$，它的底边长$DE = DB×\frac{\sqrt{5}-1}{2} = (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2×\frac{\sqrt{5}-1}{2} = (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3$；
……
由此可归纳规律：第$n$个黄金三角形的底边长为$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n$；
当$n=2026$时，第2026个黄金三角形的底边长为$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2026}$。
【答案】
$(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2})^{2026}$
【知识点】
成比例线段；规律探究；黄金三角形
【点评】
本题结合黄金三角形的性质考查图形规律探究能力，解题的关键是抓住黄金三角形底与腰的比值固定的特点，通过前几个底边长的推导归纳通用规律，是规律探究类的典型题型。
【难度系数】
0.6
我们需要推导第2026个黄金三角形的底边长，首先从已知的第1个黄金三角形的条件出发，利用黄金三角形底与腰的比值固定为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的特点，依次计算前几个黄金三角形的底边长，观察数值的变化规律，总结出第$n$个黄金三角形底边长的通用表达式，最后代入$n=2026$即可得到结果。
【解析】
已知第1个黄金三角形$△ ABC$中，腰$AB=1$，且底和腰的比$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
因此第1个黄金三角形的底边长$BC = 1×\frac{\sqrt{5}-1}{2} = (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^1$；
第2个黄金三角形$△ CDB$的腰长为$BC$，同理可得它的底边长$DB = BC×\frac{\sqrt{5}-1}{2} = (\frac{\sqrt{5}-1}{2})×(\frac{\sqrt{5}-1}{2}) = (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2$；
第3个黄金三角形$△ BED$的腰长为$DB$，它的底边长$DE = DB×\frac{\sqrt{5}-1}{2} = (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2×\frac{\sqrt{5}-1}{2} = (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3$；
……
由此可归纳规律：第$n$个黄金三角形的底边长为$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n$；
当$n=2026$时，第2026个黄金三角形的底边长为$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2026}$。
【答案】
$(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2})^{2026}$
【知识点】
成比例线段；规律探究；黄金三角形
【点评】
本题结合黄金三角形的性质考查图形规律探究能力，解题的关键是抓住黄金三角形底与腰的比值固定的特点，通过前几个底边长的推导归纳通用规律，是规律探究类的典型题型。
【难度系数】
0.6
