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1. 如图，$AB// CD// EF$,则下列结论正确的是（
A.$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{BF}$
B.$\frac{AC}{AE}=\frac{BD}{DF}$
C.$\frac{BD}{CE}=\frac{AC}{DF}$
D.$\frac{AE}{CE}=\frac{BF}{DF}$
D
）A.$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{BF}$
B.$\frac{AC}{AE}=\frac{BD}{DF}$
C.$\frac{BD}{CE}=\frac{AC}{DF}$
D.$\frac{AE}{CE}=\frac{BF}{DF}$
答案
$\because AB// CD// EF,\therefore \frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF},\frac{AC}{AE}=\frac{BD}{BF},\frac{BD}{AC}=\frac{DF}{CE},\frac{AE}{CE}=\frac{BF}{DF},\therefore$ 选项A,B,C的结论错误,选项D的结论正确.
解析
【分析】
解决本题的核心是熟练掌握平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。首先明确图中三条平行线AB、CD、EF截两条斜线，对应线段为AC与BD对应，CE与DF对应，AE与BF对应，接下来我们根据对应关系逐一推导比例式，和选项对比判断正误即可。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理，由$AB// CD// EF$可得：
1. 上下段对应成比例：$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$，选项A中等式右侧为$\frac{BD}{BF}$，对应关系错误，故A错误；
2. 上段与总段对应成比例：$\frac{AC}{AE}=\frac{BD}{BF}$，选项B中等式右侧为$\frac{BD}{DF}$，对应关系错误，故B错误；
3. 将$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$交叉变形可得$BD· CE=AC· DF$，选项C的比例式$\frac{BD}{CE}=\frac{AC}{DF}$交叉后为$BD· DF=AC· CE$，与推导结果不符，故C错误；
4. 总段与下段对应成比例：$\frac{AE}{CE}=\frac{AC+CE}{CE}=\frac{AC}{CE}+1$，$\frac{BF}{DF}=\frac{BD+DF}{DF}=\frac{BD}{DF}+1$，结合$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$可推出$\frac{AE}{CE}=\frac{BF}{DF}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题关键是准确识别平行线所截得的对应线段，避免混淆线段的对应关系即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是熟练掌握平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。首先明确图中三条平行线AB、CD、EF截两条斜线，对应线段为AC与BD对应，CE与DF对应，AE与BF对应，接下来我们根据对应关系逐一推导比例式，和选项对比判断正误即可。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理，由$AB// CD// EF$可得：
1. 上下段对应成比例：$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$，选项A中等式右侧为$\frac{BD}{BF}$，对应关系错误，故A错误；
2. 上段与总段对应成比例：$\frac{AC}{AE}=\frac{BD}{BF}$，选项B中等式右侧为$\frac{BD}{DF}$，对应关系错误，故B错误；
3. 将$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$交叉变形可得$BD· CE=AC· DF$，选项C的比例式$\frac{BD}{CE}=\frac{AC}{DF}$交叉后为$BD· DF=AC· CE$，与推导结果不符，故C错误；
4. 总段与下段对应成比例：$\frac{AE}{CE}=\frac{AC+CE}{CE}=\frac{AC}{CE}+1$，$\frac{BF}{DF}=\frac{BD+DF}{DF}=\frac{BD}{DF}+1$，结合$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$可推出$\frac{AE}{CE}=\frac{BF}{DF}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题关键是准确识别平行线所截得的对应线段，避免混淆线段的对应关系即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
2. [2025哈尔滨中考]如图，$AB// CD// EF$，若$BC=5$，$CE=8$，则$\frac{AD}{DF}=$（
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{8}{2}$
D.$\frac{5}{8}$
D
）A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{8}{2}$
D.$\frac{5}{8}$
答案
$\because AB// CD// EF,\therefore \frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}.\because BC=5,CE=8,\therefore \frac{AD}{DF}=\frac{5}{8}.$
解析
【分析】
首先观察题目条件：已知$AB// CD// EF$，三条平行线被两条截线所截，符合平行线分线段成比例定理的应用场景。首先回忆该定理的核心：一组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。接下来定位对应线段：左侧截线被平行线截得的线段$BC$对应右侧截线的线段$AD$，左侧截线的$CE$对应右侧截线的$DF$，因此$\frac{AD}{DF}$与$\frac{BC}{CE}$相等，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
$\because AB// CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
$\therefore \frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$，
又$\because BC=5$，$CE=8$，
$\therefore \frac{AD}{DF}=\frac{5}{8}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题是基础应用类题目，解题关键是准确识别两条截线被平行线截得的对应线段，只要对应关系判断正确即可快速得到结果。
【难度系数】
0.85
首先观察题目条件：已知$AB// CD// EF$，三条平行线被两条截线所截，符合平行线分线段成比例定理的应用场景。首先回忆该定理的核心：一组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。接下来定位对应线段：左侧截线被平行线截得的线段$BC$对应右侧截线的线段$AD$，左侧截线的$CE$对应右侧截线的$DF$，因此$\frac{AD}{DF}$与$\frac{BC}{CE}$相等，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
$\because AB// CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
$\therefore \frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$，
又$\because BC=5$，$CE=8$，
$\therefore \frac{AD}{DF}=\frac{5}{8}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题是基础应用类题目，解题关键是准确识别两条截线被平行线截得的对应线段，只要对应关系判断正确即可快速得到结果。
【难度系数】
0.85
3. [2025 乐山中考]如图，$l_1 // l_2 // l_3$，$AB=2$，$DE=3$，$BC=4$，则$EF$的长为（
A.4
B.6
C.8
D.10
B
）A.4
B.6
C.8
D.10
答案
$\because l_1// l_2// l_3,\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}.\because AB=2,DE=3,BC=4,\therefore \frac{2}{4}=\frac{3}{EF},\therefore EF=6.$
解析
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先判断适用定理：观察图形可知两条直线被三条平行线$l_1、l_2、l_3$所截，满足平行线分线段成比例定理的使用条件；其次找准对应线段：截得的线段中AB与DE对应，BC与EF对应，因此可得对应线段成比例的关系式；最后代入已知数值求解比例式即可得到EF的长度，注意列比例式时不要弄混对应线段的位置。
【解析】
解：
∵ $ l_1 // l_2 // l_3 $，根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
∴ $ \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF} $，
将$AB=2$，$BC=4$，$DE=3$代入比例式得：
$ \frac{2}{4}=\frac{3}{EF} $，
交叉相乘得$2EF=12$，
解得$EF=6$。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例；比例式计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握平行线分线段成比例定理，解题的关键是准确识别对应线段，列出正确的比例式，避免因对应线段混淆出错。
【难度系数】
0.8
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先判断适用定理：观察图形可知两条直线被三条平行线$l_1、l_2、l_3$所截，满足平行线分线段成比例定理的使用条件；其次找准对应线段：截得的线段中AB与DE对应，BC与EF对应，因此可得对应线段成比例的关系式；最后代入已知数值求解比例式即可得到EF的长度，注意列比例式时不要弄混对应线段的位置。
【解析】
解：
∵ $ l_1 // l_2 // l_3 $，根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
∴ $ \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF} $，
将$AB=2$，$BC=4$，$DE=3$代入比例式得：
$ \frac{2}{4}=\frac{3}{EF} $，
交叉相乘得$2EF=12$，
解得$EF=6$。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例；比例式计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握平行线分线段成比例定理，解题的关键是准确识别对应线段，列出正确的比例式，避免因对应线段混淆出错。
【难度系数】
0.8
4. 教材例题变式 [2025 上海浦东新区月考] 如图, 直线$l_1,l_2,l_3$分别交直线$l_4$于点$A,B,C$,交直线$l_5$于点$D,E,F$,且$l_1// l_2// l_3$.
(1)若$\frac{EF}{DE}=\frac{5}{3}$,$AB=4$,求$AC$的长.
(2)若$AB=6$,$BC=8$,$DF=12$,求$EF$的长.
(1)若$\frac{EF}{DE}=\frac{5}{3}$,$AB=4$,求$AC$的长.
(2)若$AB=6$,$BC=8$,$DF=12$,求$EF$的长.
答案
(1) $\because l_1// l_2// l_3,\frac{EF}{DE}=\frac{5}{3},AB=4$,
$\therefore \frac{EF}{DE}=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{3},\therefore \frac{BC}{4}=\frac{5}{3},\therefore BC=\frac{20}{3}$,
$\therefore AC=AB+BC=4+\frac{20}{3}=\frac{32}{3}.$
(2) $\because l_1// l_2// l_3,\therefore \frac{BC}{AB}=\frac{EF}{DE}$.
$\because AB=6,BC=8,DF=12,DE=DF-EF$,
$\therefore \frac{EF}{12-EF}=\frac{8}{6},\therefore EF=\frac{48}{7}.$
$\therefore \frac{EF}{DE}=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{3},\therefore \frac{BC}{4}=\frac{5}{3},\therefore BC=\frac{20}{3}$,
$\therefore AC=AB+BC=4+\frac{20}{3}=\frac{32}{3}.$
(2) $\because l_1// l_2// l_3,\therefore \frac{BC}{AB}=\frac{EF}{DE}$.
$\because AB=6,BC=8,DF=12,DE=DF-EF$,
$\therefore \frac{EF}{12-EF}=\frac{8}{6},\therefore EF=\frac{48}{7}.$
解析
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：(1)首先根据$l_1// l_2// l_3$，利用平行线分线段成比例定理，可得两条被截直线$l_4$、$l_5$上的对应线段成比例，即$\frac{BC}{AB}=\frac{EF}{DE}$，代入已知的$\frac{EF}{DE}$和$AB$的长度，先求出$BC$的长，再根据$AC=AB+BC$计算$AC$即可；(2)同样先根据平行线分线段成比例得到$\frac{EF}{DE}=\frac{BC}{AB}$，再结合$DE=DF-EF$，把已知的$AB$、$BC$、$DF$的长度代入，得到关于$EF$的比例方程，解方程即可求出$EF$的长度，解题时注意对应线段不要混淆，避免比例写反。
【解析】
(1) $\because l_{1}// l_{2}// l_{3}$，由平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
$\therefore \frac{BC}{AB}=\frac{EF}{DE}$，
又$\because \frac{EF}{DE}=\frac{5}{3}$，$AB=4$，
$\therefore \frac{BC}{4}=\frac{5}{3}$，解得$BC=\frac{20}{3}$，
$\therefore AC=AB+BC=4+\frac{20}{3}=\frac{32}{3}$。
(2) $\because l_{1}// l_{2}// l_{3}$，同理可得$\frac{BC}{AB}=\frac{EF}{DE}$，
$\because AB=6$，$BC=8$，$DF=12$，且$DE=DF-EF=12-EF$，
$\therefore \frac{8}{6}=\frac{EF}{12-EF}$，
交叉相乘得$8×(12-EF)=6EF$，
整理得$14EF=96$，
解得$EF=\frac{48}{7}$。
【答案】
(1) $\frac{32}{3}$；(2) $\frac{48}{7}$
【知识点】
平行线分线段成比例；线段和差计算；解比例方程
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的典型基础应用题，解题关键是准确识别两条被截直线上的对应线段，避免比例对应关系错误，第二问运用方程思想求解更便捷，是该考点的常考题型。
【难度系数】
0.7
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：(1)首先根据$l_1// l_2// l_3$，利用平行线分线段成比例定理，可得两条被截直线$l_4$、$l_5$上的对应线段成比例，即$\frac{BC}{AB}=\frac{EF}{DE}$，代入已知的$\frac{EF}{DE}$和$AB$的长度，先求出$BC$的长，再根据$AC=AB+BC$计算$AC$即可；(2)同样先根据平行线分线段成比例得到$\frac{EF}{DE}=\frac{BC}{AB}$，再结合$DE=DF-EF$，把已知的$AB$、$BC$、$DF$的长度代入，得到关于$EF$的比例方程，解方程即可求出$EF$的长度，解题时注意对应线段不要混淆，避免比例写反。
【解析】
(1) $\because l_{1}// l_{2}// l_{3}$，由平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
$\therefore \frac{BC}{AB}=\frac{EF}{DE}$，
又$\because \frac{EF}{DE}=\frac{5}{3}$，$AB=4$，
$\therefore \frac{BC}{4}=\frac{5}{3}$，解得$BC=\frac{20}{3}$，
$\therefore AC=AB+BC=4+\frac{20}{3}=\frac{32}{3}$。
(2) $\because l_{1}// l_{2}// l_{3}$，同理可得$\frac{BC}{AB}=\frac{EF}{DE}$，
$\because AB=6$，$BC=8$，$DF=12$，且$DE=DF-EF=12-EF$，
$\therefore \frac{8}{6}=\frac{EF}{12-EF}$，
交叉相乘得$8×(12-EF)=6EF$，
整理得$14EF=96$，
解得$EF=\frac{48}{7}$。
【答案】
(1) $\frac{32}{3}$；(2) $\frac{48}{7}$
【知识点】
平行线分线段成比例；线段和差计算；解比例方程
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的典型基础应用题，解题关键是准确识别两条被截直线上的对应线段，避免比例对应关系错误，第二问运用方程思想求解更便捷，是该考点的常考题型。
【难度系数】
0.7
5. [2026 温州苍南青华学校期末]如图, 在 $△ ABC$ 中, 点 $D, E, F$ 分别在 $AB, AC, BC$ 上, $DE // BC, EF // AB$. 若 $\frac{AD}{DB} = \frac{3}{5}$, 则 $\frac{CF}{BF}$ 的值为 (
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{5}{3}$
D.$\frac{8}{3}$
C
)A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{5}{3}$
D.$\frac{8}{3}$
答案
$\because EF// AB,\therefore \frac{CF}{BF}=\frac{CE}{AE}.\because DE// BC,\therefore \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{3}{5},\therefore \frac{CF}{BF}=\frac{5}{3}.$
解析
【分析】
本题可结合平行线分线段成比例的推论求解。首先根据已知的$DE// BC$，利用“平行于三角形一边的直线截另外两边，所得对应线段成比例”，可先求出$AE$与$EC$的比值；再结合$EF// AB$，再次使用上述推论，建立待求的$\frac{CF}{BF}$和$\frac{CE}{AE}$的等量关系，代入已得的比例关系即可求出结果。
【解析】
$\because DE// BC$，根据平行线分线段成比例的推论，可得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{3}{5}$，
$\therefore \frac{CE}{AE}=\frac{5}{3}$。
又$\because EF// AB$，同理可得$\frac{CF}{BF}=\frac{CE}{AE}$，
$\therefore \frac{CF}{BF}=\frac{5}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的性质
【点评】
本题属于平行线分线段成比例的基础应用题型，解题核心是准确找到两组平行线对应的成比例线段，搭建已知条件和所求问题的桥梁，解题时需注意不要混淆对应线段的前后项。
【难度系数】
0.8
本题可结合平行线分线段成比例的推论求解。首先根据已知的$DE// BC$，利用“平行于三角形一边的直线截另外两边，所得对应线段成比例”，可先求出$AE$与$EC$的比值；再结合$EF// AB$，再次使用上述推论，建立待求的$\frac{CF}{BF}$和$\frac{CE}{AE}$的等量关系，代入已得的比例关系即可求出结果。
【解析】
$\because DE// BC$，根据平行线分线段成比例的推论，可得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{3}{5}$，
$\therefore \frac{CE}{AE}=\frac{5}{3}$。
又$\because EF// AB$，同理可得$\frac{CF}{BF}=\frac{CE}{AE}$，
$\therefore \frac{CF}{BF}=\frac{5}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的性质
【点评】
本题属于平行线分线段成比例的基础应用题型，解题核心是准确找到两组平行线对应的成比例线段，搭建已知条件和所求问题的桥梁，解题时需注意不要混淆对应线段的前后项。
【难度系数】
0.8
6. 教材读一读变式 [2025 福州鼓楼区延安中学月考] 如图，用数轴和带有刻度的直尺作图，图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）平行. 若点A在数轴上表示的数是-2，且点A与刻度尺上的零刻度线重合，则AB的长是
6
.答案
根据题图中的平行线段,可得$\frac{3}{5}=\frac{AB}{8-(-2)},\therefore \frac{3}{5}=\frac{AB}{10},\therefore AB=6.$
解析
【分析】
解题时首先观察到题目给出两条平行线段，可联想到平行线分线段成比例定理。第一步先确定数轴上A点到刻度8的点的总长度：已知A表示的数是-2，数轴上8表示的数是8，两点间距离为$8 - (-2)=10$；第二步找到平行线段对应的刻度尺刻度分别为3和5，可知两条线段分所得的线段比为3:5，这个比例等于数轴上AB与总长度的比，最后列比例式求解即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵过点B和数轴上8的两条线段平行，根据平行线分线段成比例定理，可得刻度尺对应刻度的比值等于数轴上对应线段的长度比值。
先计算点A到数轴上表示8的点的距离：$8 - (-2) = 10$
结合图形可得比例关系：$\frac{3}{5} = \frac{AB}{10}$
解得：$AB = 10 × \frac{3}{5} = 6$
【答案】
6
【知识点】
平行线分线段成比例；数轴两点间距离
【点评】
本题考查平行线分线段成比例的实际应用，结合数轴的线段长度计算，解题的关键是准确找到成比例的对应线段，避免对应关系混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到题目给出两条平行线段，可联想到平行线分线段成比例定理。第一步先确定数轴上A点到刻度8的点的总长度：已知A表示的数是-2，数轴上8表示的数是8，两点间距离为$8 - (-2)=10$；第二步找到平行线段对应的刻度尺刻度分别为3和5，可知两条线段分所得的线段比为3:5，这个比例等于数轴上AB与总长度的比，最后列比例式求解即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵过点B和数轴上8的两条线段平行，根据平行线分线段成比例定理，可得刻度尺对应刻度的比值等于数轴上对应线段的长度比值。
先计算点A到数轴上表示8的点的距离：$8 - (-2) = 10$
结合图形可得比例关系：$\frac{3}{5} = \frac{AB}{10}$
解得：$AB = 10 × \frac{3}{5} = 6$
【答案】
6
【知识点】
平行线分线段成比例；数轴两点间距离
【点评】
本题考查平行线分线段成比例的实际应用，结合数轴的线段长度计算，解题的关键是准确找到成比例的对应线段，避免对应关系混淆。
【难度系数】
0.7
7. 白银比是相对黄金分割的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛应用，其比例值为$\sqrt{2}$. 如图，$AB// CD$，$AD$与$BC$交于点$O$，其中$\frac{OC}{OB}$为白银比. 若$OD=3$，则$AD$的长为
$\frac{3\sqrt{2}}{2}+3$
.答案
根据题意可得$AD=OD+OA.\because AB// CD,\therefore \frac{OD}{OA}=\frac{OC}{OB}=\sqrt{2}.\because OD=3,\therefore OA=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2},\therefore AD=OA+OD=\frac{3\sqrt{2}}{2}+3.$
解析
【分析】
解题时先明确所求线段$AD$由$OA$和$OD$两部分组成，已知$OD$的长度，因此只需先求出$OA$的长度即可。首先由$AB// CD$，结合平行线分线段成比例的性质，可以得到线段$OD$与$OA$的比等于$OC$与$OB$的比，而题目已知$\frac{OC}{OB}$为白银比$\sqrt{2}$，代入$OD$的数值就能求出$OA$，最后将$OA$和$OD$相加即可得到$AD$的长。
【解析】
由题意可知白银比值为$\sqrt{2}$，即$\frac{OC}{OB}=\sqrt{2}$。
$\because AB// CD$，根据平行线分线段成比例的性质，可得$\frac{OD}{OA}=\frac{OC}{OB}=\sqrt{2}$。
已知$OD=3$，代入比例式得：$OA=\frac{OD}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
$\because AD=OA+OD$，
$\therefore AD=\frac{3\sqrt{2}}{2}+3$。
【答案】
$3+\frac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例，二次根式化简
【点评】
本题结合“白银比”的新定义，考查平行线分线段成比例的实际应用，解题的核心是根据平行线得到对应线段的比例关系，再代入已知条件计算，计算时要注意二次根式的结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
解题时先明确所求线段$AD$由$OA$和$OD$两部分组成，已知$OD$的长度，因此只需先求出$OA$的长度即可。首先由$AB// CD$，结合平行线分线段成比例的性质，可以得到线段$OD$与$OA$的比等于$OC$与$OB$的比，而题目已知$\frac{OC}{OB}$为白银比$\sqrt{2}$，代入$OD$的数值就能求出$OA$，最后将$OA$和$OD$相加即可得到$AD$的长。
【解析】
由题意可知白银比值为$\sqrt{2}$，即$\frac{OC}{OB}=\sqrt{2}$。
$\because AB// CD$，根据平行线分线段成比例的性质，可得$\frac{OD}{OA}=\frac{OC}{OB}=\sqrt{2}$。
已知$OD=3$，代入比例式得：$OA=\frac{OD}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
$\because AD=OA+OD$，
$\therefore AD=\frac{3\sqrt{2}}{2}+3$。
【答案】
$3+\frac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例，二次根式化简
【点评】
本题结合“白银比”的新定义，考查平行线分线段成比例的实际应用，解题的核心是根据平行线得到对应线段的比例关系，再代入已知条件计算，计算时要注意二次根式的结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
8. [2026 杭州拱墅区启正中学期中] 如图，$DE // BC$，$FE // CD$.
(1)若$AF=3$，$AD=5$，$AE=4$，求$CE$的长；
(2)求证：$\frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DB}$.
(1)若$AF=3$，$AD=5$，$AE=4$，求$CE$的长；
(2)求证：$\frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DB}$.
答案
(1)解:$\because FE// CD,\therefore \frac{AF}{DF}=\frac{AE}{CE}.$
$\because AF=3,AD=5,AE=4,\therefore DF=AD-AF=5-3=2$,
$\therefore \frac{3}{2}=\frac{4}{CE},\therefore CE=\frac{8}{3}.$
(2)证明:$\because DE// BC,\therefore \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{CE}.$
由(1)可知,$\frac{AF}{DF}=\frac{AE}{CE},\therefore \frac{AF}{DF}=\frac{AD}{DB}.$
$\because AF=3,AD=5,AE=4,\therefore DF=AD-AF=5-3=2$,
$\therefore \frac{3}{2}=\frac{4}{CE},\therefore CE=\frac{8}{3}.$
(2)证明:$\because DE// BC,\therefore \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{CE}.$
由(1)可知,$\frac{AF}{DF}=\frac{AE}{CE},\therefore \frac{AF}{DF}=\frac{AD}{DB}.$
解析
【分析】
(1) 已知$FE// CD$，根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例，可得到$△ ADC$中的比例关系$\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{CE}$。先计算出$FD$的长度，再将已知线段长度代入比例式，即可求出$CE$的长。
(2) 要证明$\frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DB}$，先由$DE// BC$，利用平行线分线段成比例的推论得到$△ ABC$中的比例关系$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{CE}$，结合(1)中得到的$\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{CE}$，通过等量代换即可完成证明。
【解析】
(1) 解：$\because FE// CD$，
$\therefore$ 由平行线分线段成比例可得$\frac{AF}{DF}=\frac{AE}{CE}$。
$\because AF=3$，$AD=5$，
$\therefore DF=AD-AF=5-3=2$，
又$\because AE=4$，代入比例式得$\frac{3}{2}=\frac{4}{CE}$，
解得$CE=\frac{8}{3}$。
(2) 证明：$\because DE// BC$，
$\therefore$ 由平行线分线段成比例可得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{CE}$，
由(1)可知$\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{CE}$，
$\therefore \frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DB}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{8}{3}}$
(2) 证明如上，结论成立
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的基本性质，等量代换
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题型，解题的核心是结合平行关系找准对应比例线段，通过代入计算或等量代换即可解决，重点考查对定理的理解和基础应用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 已知$FE// CD$，根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例，可得到$△ ADC$中的比例关系$\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{CE}$。先计算出$FD$的长度，再将已知线段长度代入比例式，即可求出$CE$的长。
(2) 要证明$\frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DB}$，先由$DE// BC$，利用平行线分线段成比例的推论得到$△ ABC$中的比例关系$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{CE}$，结合(1)中得到的$\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{CE}$，通过等量代换即可完成证明。
【解析】
(1) 解：$\because FE// CD$，
$\therefore$ 由平行线分线段成比例可得$\frac{AF}{DF}=\frac{AE}{CE}$。
$\because AF=3$，$AD=5$，
$\therefore DF=AD-AF=5-3=2$，
又$\because AE=4$，代入比例式得$\frac{3}{2}=\frac{4}{CE}$，
解得$CE=\frac{8}{3}$。
(2) 证明：$\because DE// BC$，
$\therefore$ 由平行线分线段成比例可得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{CE}$，
由(1)可知$\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{CE}$，
$\therefore \frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DB}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{8}{3}}$
(2) 证明如上，结论成立
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的基本性质，等量代换
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题型，解题的核心是结合平行关系找准对应比例线段，通过代入计算或等量代换即可解决，重点考查对定理的理解和基础应用能力。
【难度系数】
0.8
