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1. 若$\frac{a-b}{a}=\frac{3}{5}$，则$\frac{a+b}{a}=$（
A.1
B.$\frac{5}{7}$
C.$\frac{7}{5}$
D.$\frac{7}{4}$
C
）A.1
B.$\frac{5}{7}$
C.$\frac{7}{5}$
D.$\frac{7}{4}$
答案
解析:由 $\frac{a-b}{a}=\frac{3}{5}$,得 $a-b=\frac{3}{5}a$,则 $b=\frac{2}{5}a$.
$\frac{a+b}{a}=\frac{a+\frac{2}{5}a}{a}=\frac{7}{5}$.
故选 C.
$\frac{a+b}{a}=\frac{a+\frac{2}{5}a}{a}=\frac{7}{5}$.
故选 C.
解析
【分析】
本题属于分式化简求值类基础题，解题思路可分为两步：首先根据已知的分式等式，利用等式的性质推导得到b与a的数量关系；再将b用含a的代数式表示，代入所求的分式中约分计算即可得到结果。也可以通过拆分分式，先求出$\frac{b}{a}$的值，再利用$\frac{a+b}{a}=1+\frac{b}{a}$直接计算，进一步简化运算步骤。
【解析】
已知$\frac{a-b}{a}=\frac{3}{5}$，由分式分母不为0可知$a≠0$，等式两边同时乘$a$得：
$a - b = \frac{3}{5}a$
移项整理得：$b = a - \frac{3}{5}a = \frac{2}{5}a$
将$b=\frac{2}{5}a$代入$\frac{a+b}{a}$得：
$\frac{a+b}{a}=\frac{a+\frac{2}{5}a}{a}=\frac{\frac{7}{5}a}{a}=\frac{7}{5}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的运算、等式的性质、代数式求值
【点评】
本题考查分式的基本运算和代数式变形能力，难度较低，解题核心是通过已知条件建立两个字母的数量关系，代入后约分化简即可得到结果，也可通过拆分分式的方法快速计算，是对基础运算能力的常规考查。
【难度系数】
0.85
本题属于分式化简求值类基础题，解题思路可分为两步：首先根据已知的分式等式，利用等式的性质推导得到b与a的数量关系；再将b用含a的代数式表示，代入所求的分式中约分计算即可得到结果。也可以通过拆分分式，先求出$\frac{b}{a}$的值，再利用$\frac{a+b}{a}=1+\frac{b}{a}$直接计算，进一步简化运算步骤。
【解析】
已知$\frac{a-b}{a}=\frac{3}{5}$，由分式分母不为0可知$a≠0$，等式两边同时乘$a$得：
$a - b = \frac{3}{5}a$
移项整理得：$b = a - \frac{3}{5}a = \frac{2}{5}a$
将$b=\frac{2}{5}a$代入$\frac{a+b}{a}$得：
$\frac{a+b}{a}=\frac{a+\frac{2}{5}a}{a}=\frac{\frac{7}{5}a}{a}=\frac{7}{5}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的运算、等式的性质、代数式求值
【点评】
本题考查分式的基本运算和代数式变形能力，难度较低，解题核心是通过已知条件建立两个字母的数量关系，代入后约分化简即可得到结果，也可通过拆分分式的方法快速计算，是对基础运算能力的常规考查。
【难度系数】
0.85
2. 下列四组线段中,不是成比例线段的是 (
A.$a=3,b=6,c=2,d=4$
B.$a=1,b=\sqrt{2},c=\sqrt{6},d=2\sqrt{3}$
C.$a=4,b=6,c=5,d=10$
D.$a=2,b=\sqrt{5},c=\sqrt{15},d=2\sqrt{3}$
C
)A.$a=3,b=6,c=2,d=4$
B.$a=1,b=\sqrt{2},c=\sqrt{6},d=2\sqrt{3}$
C.$a=4,b=6,c=5,d=10$
D.$a=2,b=\sqrt{5},c=\sqrt{15},d=2\sqrt{3}$
答案
解析:四条线段成比例可看作$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.
A 选项$\frac{3}{6}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,成比例;B 选项$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,成比例;
C 选项 $\frac{4}{6}=\frac{2}{3},\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$,不成比例;D 选项$\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,成比例.故选 C.
A 选项$\frac{3}{6}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,成比例;B 选项$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,成比例;
C 选项 $\frac{4}{6}=\frac{2}{3},\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$,不成比例;D 选项$\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,成比例.故选 C.
解析
【分析】
要判断哪组线段不是成比例线段，首先明确成比例线段的判定规则：若四条线段中，某两条线段的比值等于另外两条线段的比值（或最短线段与最长线段的乘积等于另外两条线段的乘积），则这四条线段为成比例线段。解题时只需逐个验证每个选项是否满足成比例条件，找到不满足条件的选项即可。
【解析】
判断四条线段是否为成比例线段，可验证是否满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（等价于$ad=bc$）：
A选项：$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，即$\frac{3}{6}=\frac{2}{4}$，是成比例线段；
B选项：$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}×\sqrt{3}}{2×3}=\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$，是成比例线段；
C选项：$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}≠\frac{1}{2}$，且$4×10=40$，$6×5=30$，$40≠30$，不是成比例线段；
D选项：$\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}×\sqrt{3}}{2×3}=\frac{3\sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，即$\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{3}}$，是成比例线段。
【答案】
C
【知识点】
成比例线段判定；二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时既可以通过化简比值得出结果，也可以用交叉相乘验证乘积相等的方法判断，计算带二次根式的比值时先有理化再比较，能减少计算失误。
【难度系数】
0.75
要判断哪组线段不是成比例线段，首先明确成比例线段的判定规则：若四条线段中，某两条线段的比值等于另外两条线段的比值（或最短线段与最长线段的乘积等于另外两条线段的乘积），则这四条线段为成比例线段。解题时只需逐个验证每个选项是否满足成比例条件，找到不满足条件的选项即可。
【解析】
判断四条线段是否为成比例线段，可验证是否满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（等价于$ad=bc$）：
A选项：$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，即$\frac{3}{6}=\frac{2}{4}$，是成比例线段；
B选项：$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}×\sqrt{3}}{2×3}=\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$，是成比例线段；
C选项：$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}≠\frac{1}{2}$，且$4×10=40$，$6×5=30$，$40≠30$，不是成比例线段；
D选项：$\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}×\sqrt{3}}{2×3}=\frac{3\sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，即$\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{3}}$，是成比例线段。
【答案】
C
【知识点】
成比例线段判定；二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时既可以通过化简比值得出结果，也可以用交叉相乘验证乘积相等的方法判断，计算带二次根式的比值时先有理化再比较，能减少计算失误。
【难度系数】
0.75
3. ★★ 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,DE//BC,BE与CD相交于点F,则下列结论一定正确的是 (
A.$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
B.$\frac{DF}{FC}=\frac{AE}{EC}$
C.$\frac{AD}{DB}=\frac{DE}{BC}$
D.$\frac{DF}{BF}=\frac{EF}{FC}$
A
)A.$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
B.$\frac{DF}{FC}=\frac{AE}{EC}$
C.$\frac{AD}{DB}=\frac{DE}{BC}$
D.$\frac{DF}{BF}=\frac{EF}{FC}$
答案
解析: $\because DE// BC,\therefore △ ADE∽ △ ABC,\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.故选 A.
解析
【分析】
解题时先提取题干关键条件$DE// BC$，结合平行线与三角形的相关性质逐步分析：首先，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，同时满足平行线分线段成比例的规律；其次根据相似三角形对应边成比例的性质，结合各选项给出的比例式逐一验证，判断正误即可。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE∽ △ ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，故A选项结论正确。
其余选项错误原因分析：
B选项：由$DE// BC$可得$△ DEF∽ △ CBF$，$\therefore \frac{DF}{FC}=\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，而由平行线分线段成比例得$\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB}$，显然$\frac{AD}{AB}\ne \frac{AD}{DB}$，故B错误；
C选项：由$△ ADE∽ △ ABC$得$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}\ne \frac{AD}{DB}$，故C错误；
D选项：由$△ DEF∽ △ CBF$得$\frac{DF}{FC}=\frac{EF}{BF}$，与选项中比例式不符，故D错误。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题目，解题的关键是结合平行线的性质找准相似三角形，明确对应边的比例关系，避免比例的对应项混淆。
【难度系数】
0.75
解题时先提取题干关键条件$DE// BC$，结合平行线与三角形的相关性质逐步分析：首先，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，同时满足平行线分线段成比例的规律；其次根据相似三角形对应边成比例的性质，结合各选项给出的比例式逐一验证，判断正误即可。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE∽ △ ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，故A选项结论正确。
其余选项错误原因分析：
B选项：由$DE// BC$可得$△ DEF∽ △ CBF$，$\therefore \frac{DF}{FC}=\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，而由平行线分线段成比例得$\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB}$，显然$\frac{AD}{AB}\ne \frac{AD}{DB}$，故B错误；
C选项：由$△ ADE∽ △ ABC$得$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}\ne \frac{AD}{DB}$，故C错误；
D选项：由$△ DEF∽ △ CBF$得$\frac{DF}{FC}=\frac{EF}{BF}$，与选项中比例式不符，故D错误。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题目，解题的关键是结合平行线的性质找准相似三角形，明确对应边的比例关系，避免比例的对应项混淆。
【难度系数】
0.75
4. 如图,点 M 在 BC 上,点 N 在 AM 上,CM=CN,$\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CM}$,下列结论正确的是 (
A.$△ ABM ∽ △ ACB$
B.$△ ANC ∽ △ AMB$
C.$△ ANC ∽ △ ACM$
D.$△ CMN ∽ △ BCA$
B
)A.$△ ABM ∽ △ ACB$
B.$△ ANC ∽ △ AMB$
C.$△ ANC ∽ △ ACM$
D.$△ CMN ∽ △ BCA$
答案
解析: 由 $CM=CN$,得$∠ CMN=∠ MNC$.
$\because$ 点 N 在 AM 上,点 M 在 BC 上,$\therefore ∠ ANC=∠ AMB$.又$\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CM}$,且 $CM=CN$,则$\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CN}$. 两边成比例且夹角相等, $\therefore △ ANC∽ △ AMB$.故选 B.
$\because$ 点 N 在 AM 上,点 M 在 BC 上,$\therefore ∠ ANC=∠ AMB$.又$\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CM}$,且 $CM=CN$,则$\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CN}$. 两边成比例且夹角相等, $\therefore △ ANC∽ △ AMB$.故选 B.
解析
【分析】
首先从已知条件CM=CN入手，利用等腰三角形等边对等角的性质可得∠CMN=∠CNM，再根据邻补角的性质可推出两个角的补角相等，即∠ANC=∠AMB；接下来对给出的比例式$\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CM}$，结合CM=CN进行等量代换，得到夹角∠ANC和∠AMB的两组夹边对应成比例，最后根据相似三角形的判定定理即可判断出对应的相似三角形。
【解析】
$\because CM=CN$，根据等边对等角，得$∠ CMN=∠ CNM$，
$\because ∠ CNM+∠ ANC=180°$，$∠ CMN+∠ AMB=180°$，
$\therefore ∠ ANC=∠ AMB$（等角的补角相等）。
又$\because \frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CM}$，且$CM=CN$，
$\therefore$ 等量代换得$\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CN}$，即两组对应边成比例，且夹角$∠ ANC=∠ AMB$，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ANC ∽ △ AMB$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，相似三角形判定，补角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题的核心是先通过等腰三角形性质和补角性质得到相等的夹角，再结合已知比例式做等量代换，即可快速判断相似关系，是相似三角形章节的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
首先从已知条件CM=CN入手，利用等腰三角形等边对等角的性质可得∠CMN=∠CNM，再根据邻补角的性质可推出两个角的补角相等，即∠ANC=∠AMB；接下来对给出的比例式$\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CM}$，结合CM=CN进行等量代换，得到夹角∠ANC和∠AMB的两组夹边对应成比例，最后根据相似三角形的判定定理即可判断出对应的相似三角形。
【解析】
$\because CM=CN$，根据等边对等角，得$∠ CMN=∠ CNM$，
$\because ∠ CNM+∠ ANC=180°$，$∠ CMN+∠ AMB=180°$，
$\therefore ∠ ANC=∠ AMB$（等角的补角相等）。
又$\because \frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CM}$，且$CM=CN$，
$\therefore$ 等量代换得$\frac{AM}{AN}=\frac{BM}{CN}$，即两组对应边成比例，且夹角$∠ ANC=∠ AMB$，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ANC ∽ △ AMB$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，相似三角形判定，补角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题的核心是先通过等腰三角形性质和补角性质得到相等的夹角，再结合已知比例式做等量代换，即可快速判断相似关系，是相似三角形章节的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
5. ★★ 如图,在$△ ABC$中,$DE// FG// BC$,$AD:AF:AB=1:2:5$,则$S_{△ ADE}:S_{\mathrm{四边形}DEGF}:S_{\mathrm{四边形}FGCB}=$
(
A.$1:2:5$
B.$1:4:25$
C.$1:3:25$
D.$1:3:21$
(
D
)A.$1:2:5$
B.$1:4:25$
C.$1:3:25$
D.$1:3:21$
答案
解析: $\because DE// FG// BC,\therefore △ ADE∽ △ AFG∽ △ ABC$.
$\because AD:AF:AB=1:2:5,\therefore$ 对应面积比为 $1^2:2^2:5^2=1:4:25,\therefore S_{△ ADE}:S_{\mathrm{四边形}DEGF}:S_{\mathrm{四边形}FGCB}=1:(4-1):(25-4)=1:3:21$. 故选 D.
$\because AD:AF:AB=1:2:5,\therefore$ 对应面积比为 $1^2:2^2:5^2=1:4:25,\therefore S_{△ ADE}:S_{\mathrm{四边形}DEGF}:S_{\mathrm{四边形}FGCB}=1:(4-1):(25-4)=1:3:21$. 故选 D.
解析
【分析】
首先观察图形，已知$DE//FG//BC$，根据平行于三角形一边的直线与三角形另外两边相交，所得三角形与原三角形相似，可得$△ ADE ∽ △ AFG ∽ △ ABC$。已知三个三角形的对应边比$AD:AF:AB=1:2:5$，即相似比为$1:2:5$，结合相似三角形面积比等于相似比的平方，可先求出三个三角形的面积比。再用相邻两个三角形的面积作差，得到两个四边形的面积份数，最终即可求出三者的比值。
【解析】
$\because DE//FG//BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ AFG ∽ △ ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
$\because AD:AF:AB=1:2:5$，即三个相似三角形的相似比为$1:2:5$，
$\therefore$ 三个三角形的面积比为$1^2:2^2:5^2=1:4:25$。
设$S_{△ ADE}=1$份，则$S_{△ AFG}=4$份，$S_{△ ABC}=25$份，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}DEGF}=S_{△ AFG}-S_{△ ADE}=4-1=3$份，
$S_{\mathrm{四边形}FGCB}=S_{△ ABC}-S_{△ AFG}=25-4=21$份，
$\therefore S_{△ ADE}:S_{\mathrm{四边形}DEGF}:S_{\mathrm{四边形}FGCB}=1:3:21$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例运算
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题型，解题的易错点是容易直接将三个三角形的面积比当作最终结果，需要注意所求对象是四边形的面积，需通过相邻三角形面积作差得到对应份数后再计算比值。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，已知$DE//FG//BC$，根据平行于三角形一边的直线与三角形另外两边相交，所得三角形与原三角形相似，可得$△ ADE ∽ △ AFG ∽ △ ABC$。已知三个三角形的对应边比$AD:AF:AB=1:2:5$，即相似比为$1:2:5$，结合相似三角形面积比等于相似比的平方，可先求出三个三角形的面积比。再用相邻两个三角形的面积作差，得到两个四边形的面积份数，最终即可求出三者的比值。
【解析】
$\because DE//FG//BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ AFG ∽ △ ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
$\because AD:AF:AB=1:2:5$，即三个相似三角形的相似比为$1:2:5$，
$\therefore$ 三个三角形的面积比为$1^2:2^2:5^2=1:4:25$。
设$S_{△ ADE}=1$份，则$S_{△ AFG}=4$份，$S_{△ ABC}=25$份，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}DEGF}=S_{△ AFG}-S_{△ ADE}=4-1=3$份，
$S_{\mathrm{四边形}FGCB}=S_{△ ABC}-S_{△ AFG}=25-4=21$份，
$\therefore S_{△ ADE}:S_{\mathrm{四边形}DEGF}:S_{\mathrm{四边形}FGCB}=1:3:21$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例运算
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题型，解题的易错点是容易直接将三个三角形的面积比当作最终结果，需要注意所求对象是四边形的面积，需通过相邻三角形面积作差得到对应份数后再计算比值。
【难度系数】
0.7
6. ★★★（攀枝花中考）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E，F分别为BC，CD的中点，BF，DE相交于点G，过点E作EH//CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（
A.$\frac{5}{6}$
B.$1$
C.$\frac{5}{4}$
D.$\frac{5}{3}$
A
）A.$\frac{5}{6}$
B.$1$
C.$\frac{5}{4}$
D.$\frac{5}{3}$
答案
解析: 建立平面直角坐标系,令 $A(0,0),B(6,0),C(6,4),D(0,4)$,则 $E(6,2),F(3,4)$. 直线 $BF$ 的表达式为 $y=-\frac{4}{3}x+8$,直线 $DE$ 的表达式为 $y=4-\frac{1}{3}x$, 联立得 $G(4,\frac{8}{3}).\because EH// CD,\therefore$ 点 H 在直线 $y=2$ 上. 把 $y=2$ 代入 $y=-\frac{4}{3}x+8$, 得 $x=\frac{9}{2}$, 即 $H(\frac{9}{2},2),\therefore GH=\sqrt{(\frac{9}{2}-4)^2+(2-\frac{8}{3})^2}=\frac{5}{6}$.故选 A.
解析
【分析】
本题是矩形背景下的线段长度求解问题，可利用矩形四个角为直角的特征，通过建立平面直角坐标系将几何问题转化为代数问题求解。解题思路如下：第一步，以矩形顶点A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立坐标系，根据已知边长和中点性质确定各顶点及E、F的坐标；第二步，用待定系数法分别求出直线BF、DE的解析式，联立两个解析式求出交点G的坐标；第三步，根据$EH// CD$可得EH为水平线，即H的纵坐标与E点相同，代入BF的解析式求出H的坐标；第四步，利用两点间距离公式计算GH的长度即可。
【解析】
解：建立平面直角坐标系，令A为坐标原点，AB在x轴上，AD在y轴上，
∵AB=6，AD=4，四边形ABCD为矩形，
∴各点坐标为：$A(0,0),B(6,0),C(6,4),D(0,4)$，
∵E是BC中点，F是CD中点，
∴$E(6,2),F(3,4)$。
设直线BF的解析式为$y=kx+b$，代入$B(6,0)$、$F(3,4)$得：
$\begin{cases}6k+b=0\\3k+b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{4}{3}\\b=8\end{cases}$，
即直线BF的表达式为 $y=-\frac{4}{3}x+8$。
设直线DE的解析式为$y=mx+n$，代入$D(0,4)$、$E(6,2)$得：
$\begin{cases}n=4\\6m+n=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-\frac{1}{3}\\n=4\end{cases}$，
即直线DE的表达式为 $y=-\frac{1}{3}x+4$。
联立两条直线解析式求交点G：
$\begin{cases}y=-\frac{4}{3}x+8\\y=-\frac{1}{3}x+4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=4\\y=\frac{8}{3}\end{cases}$，即$G(4,\frac{8}{3})$。
∵$EH// CD$，CD与x轴平行，
∴EH为水平线，点H的纵坐标与E相同，为2，
把$y=2$代入$y=-\frac{4}{3}x+8$，得：$2=-\frac{4}{3}x+8$，解得$x=\frac{9}{2}$，即$H(\frac{9}{2},2)$。
根据两点间距离公式，得：
$GH=\sqrt{(\frac{9}{2}-4)^2+(2-\frac{8}{3})^2}=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(-\frac{2}{3})^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{5}{6}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；待定系数法求一次函数解析式；两点间距离公式
【点评】
本题可通过建立平面直角坐标系将几何问题代数化，降低解题难度，也可通过相似三角形的性质求解，主要考查学生对数形结合思想的应用能力和基本计算能力，是几何与代数结合的典型习题。
【难度系数】
0.6
本题是矩形背景下的线段长度求解问题，可利用矩形四个角为直角的特征，通过建立平面直角坐标系将几何问题转化为代数问题求解。解题思路如下：第一步，以矩形顶点A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立坐标系，根据已知边长和中点性质确定各顶点及E、F的坐标；第二步，用待定系数法分别求出直线BF、DE的解析式，联立两个解析式求出交点G的坐标；第三步，根据$EH// CD$可得EH为水平线，即H的纵坐标与E点相同，代入BF的解析式求出H的坐标；第四步，利用两点间距离公式计算GH的长度即可。
【解析】
解：建立平面直角坐标系，令A为坐标原点，AB在x轴上，AD在y轴上，
∵AB=6，AD=4，四边形ABCD为矩形，
∴各点坐标为：$A(0,0),B(6,0),C(6,4),D(0,4)$，
∵E是BC中点，F是CD中点，
∴$E(6,2),F(3,4)$。
设直线BF的解析式为$y=kx+b$，代入$B(6,0)$、$F(3,4)$得：
$\begin{cases}6k+b=0\\3k+b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{4}{3}\\b=8\end{cases}$，
即直线BF的表达式为 $y=-\frac{4}{3}x+8$。
设直线DE的解析式为$y=mx+n$，代入$D(0,4)$、$E(6,2)$得：
$\begin{cases}n=4\\6m+n=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-\frac{1}{3}\\n=4\end{cases}$，
即直线DE的表达式为 $y=-\frac{1}{3}x+4$。
联立两条直线解析式求交点G：
$\begin{cases}y=-\frac{4}{3}x+8\\y=-\frac{1}{3}x+4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=4\\y=\frac{8}{3}\end{cases}$，即$G(4,\frac{8}{3})$。
∵$EH// CD$，CD与x轴平行，
∴EH为水平线，点H的纵坐标与E相同，为2，
把$y=2$代入$y=-\frac{4}{3}x+8$，得：$2=-\frac{4}{3}x+8$，解得$x=\frac{9}{2}$，即$H(\frac{9}{2},2)$。
根据两点间距离公式，得：
$GH=\sqrt{(\frac{9}{2}-4)^2+(2-\frac{8}{3})^2}=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(-\frac{2}{3})^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{5}{6}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；待定系数法求一次函数解析式；两点间距离公式
【点评】
本题可通过建立平面直角坐标系将几何问题代数化，降低解题难度，也可通过相似三角形的性质求解，主要考查学生对数形结合思想的应用能力和基本计算能力，是几何与代数结合的典型习题。
【难度系数】
0.6
7. ★★★ 如图，若$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$是位似图形，则位似中心的坐标为（
A.$(-2,-2)$
B.$(-1,-1)$
C.$(-1,0)$
D.$(0,-1)$
B
）A.$(-2,-2)$
B.$(-1,-1)$
C.$(-1,0)$
D.$(0,-1)$
答案
解析: 如图,连接 $AA_1$ 并延长,与 $BB_1$ 延长线相交于点 $P$,点 $P$ 即为位似中心,由图可知,位似中心的坐标为 $(-1,-1)$,故选 B.
解析
【分析】
位似图形的位似中心是所有对应顶点连线的公共交点，因此求解本题的思路是：首先找到两组对应顶点，分别连接对应顶点并延长，两条连线的交点就是位似中心，最后结合网格读出该点的坐标即可。
【解析】
根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点：
1. 找到两组对应顶点：A与A₁、B与B₁（即图中点C）；
2. 分别连接AA₁、BB₁并延长，两条延长线的交点即为位似中心；
3. 观察平面直角坐标系的网格，可得该交点的坐标为$(-1,-1)$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质、平面直角坐标系内点的坐标确定
【点评】
本题考查位似中心的确定，属于基础概念应用题，解题的关键是牢记位似中心的特征，准确找到对应顶点连线的交点，结合网格读取坐标即可。
【难度系数】
0.7
位似图形的位似中心是所有对应顶点连线的公共交点，因此求解本题的思路是：首先找到两组对应顶点，分别连接对应顶点并延长，两条连线的交点就是位似中心，最后结合网格读出该点的坐标即可。
【解析】
根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点：
1. 找到两组对应顶点：A与A₁、B与B₁（即图中点C）；
2. 分别连接AA₁、BB₁并延长，两条延长线的交点即为位似中心；
3. 观察平面直角坐标系的网格，可得该交点的坐标为$(-1,-1)$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质、平面直角坐标系内点的坐标确定
【点评】
本题考查位似中心的确定，属于基础概念应用题，解题的关键是牢记位似中心的特征，准确找到对应顶点连线的交点，结合网格读取坐标即可。
【难度系数】
0.7
8. ★★★ 底与腰的比为黄金比的等腰三角形称为黄金三角形.如图,△ABC,△BDC,△DEC都是黄金三角形,且AB=4,则DE长为 (
A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
C.$2\sqrt{5}-2$
D.$6-2\sqrt{5}$
(第8题) (第9题)
D
)A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
C.$2\sqrt{5}-2$
D.$6-2\sqrt{5}$
(第8题) (第9题)
答案
解析: $\because △ ABC$ 为黄金三角形, $\therefore \frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\therefore BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}× 4=2(\sqrt{5}-1).\because △ BDC$ 为黄金三角形, $\therefore \frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\therefore CD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}× 2(\sqrt{5}-1)=(\sqrt{5}-1)^2=6-2\sqrt{5}.\because △ DEC$ 为黄金三角形, $\therefore DE=CD=6-2\sqrt{5}$.故选 D.
解析
【分析】
首先明确黄金三角形的定义：底与腰的比为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的等腰三角形称为黄金三角形。解题时从已知边长的△ABC入手，先利用黄金比求出BC的长度；再结合△BDC是黄金三角形的条件，再次用黄金比求出CD的长度；最后根据△DEC是黄金三角形的等腰性质，得到DE与CD相等，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC为黄金三角形，底为BC，腰为AB，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
已知$AB=4$，代入得：
$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×4=2(\sqrt{5}-1)$。
又
∵△BDC为黄金三角形，底为CD，腰为BC，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
代入BC的长度得：
$CD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2(\sqrt{5}-1)=(\sqrt{5}-1)^2=6-2\sqrt{5}$。
∵△DEC为黄金三角形，属于等腰三角形，
∴$DE=CD=6-2\sqrt{5}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.黄金三角形的定义 2.黄金比 3.等腰三角形的性质
【点评】
本题围绕黄金三角形的性质设置，解题关键是准确识别每个黄金三角形对应的底和腰，逐层利用黄金比计算线段长度，能考查学生对新定义的理解和逐层推导的逻辑能力。
【难度系数】
0.6
首先明确黄金三角形的定义：底与腰的比为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的等腰三角形称为黄金三角形。解题时从已知边长的△ABC入手，先利用黄金比求出BC的长度；再结合△BDC是黄金三角形的条件，再次用黄金比求出CD的长度；最后根据△DEC是黄金三角形的等腰性质，得到DE与CD相等，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC为黄金三角形，底为BC，腰为AB，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
已知$AB=4$，代入得：
$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×4=2(\sqrt{5}-1)$。
又
∵△BDC为黄金三角形，底为CD，腰为BC，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
代入BC的长度得：
$CD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2(\sqrt{5}-1)=(\sqrt{5}-1)^2=6-2\sqrt{5}$。
∵△DEC为黄金三角形，属于等腰三角形，
∴$DE=CD=6-2\sqrt{5}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.黄金三角形的定义 2.黄金比 3.等腰三角形的性质
【点评】
本题围绕黄金三角形的性质设置，解题关键是准确识别每个黄金三角形对应的底和腰，逐层利用黄金比计算线段长度，能考查学生对新定义的理解和逐层推导的逻辑能力。
【难度系数】
0.6
9. ★★★ 如图,在$△ ABC$中,点$D,E$为边$AB$的三等分点,点$F,G$在边$BC$上,$AC// DG// EF$,点$H$为$AF$与$DG$的交点.若$AC=12$,则$DH$的长为 (
A.4
B.3
C.2
D.1
C
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案
解析: $\because D,E$ 为边 $AB$ 的三等分点,$EF// DG// AC,\therefore BE=DE=AD,BF=GF=CG,△ ADH∽ △ AEF,\therefore AH=HF,\therefore AB=3BE$,$DH$ 是 $△ AEF$ 的中位线, $\therefore DH=\frac{1}{2}EF.\because EF// AC$,
$\therefore ∠ BEF=∠ BAC,∠ BFE=∠ BCA,\therefore △ BEF∽ △ BAC$,
$\therefore \frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}$,即$\frac{EF}{12}=\frac{BE}{3BE}$, 解得 $EF=4,\therefore DH=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}× 4=2$,故选 C.
$\therefore ∠ BEF=∠ BAC,∠ BFE=∠ BCA,\therefore △ BEF∽ △ BAC$,
$\therefore \frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}$,即$\frac{EF}{12}=\frac{BE}{3BE}$, 解得 $EF=4,\therefore DH=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}× 4=2$,故选 C.
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：D、E是AB的三等分点，AC//DG//EF，要求DH的长度，可分两步推导：第一步，根据EF//AC，结合三等分点的线段比例，证明△BEF∽△BAC，先求出EF的长度；第二步，根据DG//EF，D是AE的中点，可判断DH是△AEF的中位线，利用中位线性质即可求出DH的长。
【解析】
∵D、E为边AB的三等分点，
∴BE=DE=AD，AB=3BE。
∵AC// DG// EF，
∴BF=GF=CG，且△BEF∽△BAC，△ADH∽△AEF。
先求EF的长度：
由△BEF∽△BAC，可得对应边成比例$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}$，
将AC=12，BA=3BE代入得$\frac{EF}{12}=\frac{BE}{3BE}=\frac{1}{3}$，
解得EF=4。
再判断DH的性质：
由AD=DE，DG//EF，可得$\frac{AH}{HF}=\frac{AD}{DE}=1$，即AH=HF，
∴DH是△AEF的中位线，
∴$DH=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，需要结合线段等分条件和平行线的性质，逐步推导线段间的比例关系，解题时要注意找准相似三角形的对应边，避免比例关系混淆。
【难度系数】
0.6
解题时首先梳理已知条件：D、E是AB的三等分点，AC//DG//EF，要求DH的长度，可分两步推导：第一步，根据EF//AC，结合三等分点的线段比例，证明△BEF∽△BAC，先求出EF的长度；第二步，根据DG//EF，D是AE的中点，可判断DH是△AEF的中位线，利用中位线性质即可求出DH的长。
【解析】
∵D、E为边AB的三等分点，
∴BE=DE=AD，AB=3BE。
∵AC// DG// EF，
∴BF=GF=CG，且△BEF∽△BAC，△ADH∽△AEF。
先求EF的长度：
由△BEF∽△BAC，可得对应边成比例$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}$，
将AC=12，BA=3BE代入得$\frac{EF}{12}=\frac{BE}{3BE}=\frac{1}{3}$，
解得EF=4。
再判断DH的性质：
由AD=DE，DG//EF，可得$\frac{AH}{HF}=\frac{AD}{DE}=1$，即AH=HF，
∴DH是△AEF的中位线，
∴$DH=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，需要结合线段等分条件和平行线的性质，逐步推导线段间的比例关系，解题时要注意找准相似三角形的对应边，避免比例关系混淆。
【难度系数】
0.6
