登录
10. ★★★ 如图,点P是△ABC的重心,点D是边AC的中点,PE//AC交BC于点E,DF//BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6,则△ABC的面积为（
A.12
B.14
C.18
D.24
C
）A.12
B.14
C.18
D.24
答案
解析: 如图,连接 $BD.\because$ 点 $P$ 是 $△ ABC$ 的重心,点 $D$ 是边 $AC$ 的中点, $\therefore$ 点 $P$ 在 $BD$ 上, $S_{△ ABC}=2S_{△ BDC},\therefore BP:PD=2:1.\because DF// BC,\therefore △ DFP∽ △ BEP,\therefore \frac{S_{△ DFP}}{S_{△ BEP}}=\frac{1}{4}$.
$\because EF// AC,\therefore △ BEP∽ △ BCD,\therefore \frac{S_{△ BEP}}{S_{△ BCD}}=(\frac{BP}{BD})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$,设 $△ DFP$ 的面积为 $m$,则 $△ BEP$ 的面积为 $4m$,$△ BCD$ 的面积为 $9m.\because$ 四边形 $CDFE$ 的面积为 $6,\therefore m+9m-4m=6,\therefore m=1,\therefore △ BCD$ 的面积为 $9,\therefore △ ABC$ 的面积是 18.故选 C.
解析
【分析】
解题时先从已知条件“P是△ABC的重心、D是AC中点”入手，回忆重心的性质：重心在三角形的中线上，且分中线的比为2:1，因此可得点P在中线BD上，BP:PD=2:1，同时中线BD将△ABC分成面积相等的两个三角形，即$S_{△ABC}=2S_{△BDC}$。再结合题中的两组平行线，可得到两组相似三角形，利用“相似三角形面积比等于相似比的平方”得到各三角形面积的比例关系。最后设参数表示各部分面积，结合已知四边形CDFE的面积列方程求解，即可推出△ABC的面积。
【解析】
如图，连接BD。
∵ 点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，
∴ 点P在中线BD上，且$BP:PD=2:1$，$S_{△ABC}=2S_{△BDC}$。
∵ $DF// BC$，
∴ $∠ FDP=∠ EBP$，$∠ DFP=∠ BEP$，
∴ $△ DFP ∽ △ BEP$，相似比为$PD:BP=1:2$，
∴ $\frac{S_{△DFP}}{S_{△BEP}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
∵ $PE// AC$，
∴ $∠ BEP=∠ C$，$∠ BPE=∠ BDC$，
∴ $△ BEP ∽ △ BCD$，相似比为$BP:BD=2:(2+1)=2:3$，
∴ $\frac{S_{△BEP}}{S_{△BCD}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
设$S_{△DFP}=m$，则$S_{△BEP}=4m$，$S_{△BCD}=9m$。
∵ 四边形CDFE的面积为6，且$S_{四边形CDFE}=S_{△BCD}-S_{△BEP}+S_{△DFP}$，
∴ $9m - 4m + m =6$，解得$m=1$。
∴ $S_{△BCD}=9×1=9$，
∴ $S_{△ABC}=2×9=18$。
【答案】
C
【知识点】
三角形重心的性质；相似三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合题，将重心性质、相似三角形的性质结合考查，解题的核心是利用相似三角形面积比与相似比的关系建立各部分面积的联系，通过设参数的方式简化运算，能有效锻炼学生的图形分析能力和比例运算能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件“P是△ABC的重心、D是AC中点”入手，回忆重心的性质：重心在三角形的中线上，且分中线的比为2:1，因此可得点P在中线BD上，BP:PD=2:1，同时中线BD将△ABC分成面积相等的两个三角形，即$S_{△ABC}=2S_{△BDC}$。再结合题中的两组平行线，可得到两组相似三角形，利用“相似三角形面积比等于相似比的平方”得到各三角形面积的比例关系。最后设参数表示各部分面积，结合已知四边形CDFE的面积列方程求解，即可推出△ABC的面积。
【解析】
如图，连接BD。
∵ 点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，
∴ 点P在中线BD上，且$BP:PD=2:1$，$S_{△ABC}=2S_{△BDC}$。
∵ $DF// BC$，
∴ $∠ FDP=∠ EBP$，$∠ DFP=∠ BEP$，
∴ $△ DFP ∽ △ BEP$，相似比为$PD:BP=1:2$，
∴ $\frac{S_{△DFP}}{S_{△BEP}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
∵ $PE// AC$，
∴ $∠ BEP=∠ C$，$∠ BPE=∠ BDC$，
∴ $△ BEP ∽ △ BCD$，相似比为$BP:BD=2:(2+1)=2:3$，
∴ $\frac{S_{△BEP}}{S_{△BCD}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
设$S_{△DFP}=m$，则$S_{△BEP}=4m$，$S_{△BCD}=9m$。
∵ 四边形CDFE的面积为6，且$S_{四边形CDFE}=S_{△BCD}-S_{△BEP}+S_{△DFP}$，
∴ $9m - 4m + m =6$，解得$m=1$。
∴ $S_{△BCD}=9×1=9$，
∴ $S_{△ABC}=2×9=18$。
【答案】
C
【知识点】
三角形重心的性质；相似三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合题，将重心性质、相似三角形的性质结合考查，解题的核心是利用相似三角形面积比与相似比的关系建立各部分面积的联系，通过设参数的方式简化运算，能有效锻炼学生的图形分析能力和比例运算能力。
【难度系数】
0.6
11. 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2$，且$b+d+f=5$，则$a+c+e=$
10
.答案
解析: 由 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2$, 得 $a=2b,c=2d,e=2f$, 所以 $a+c+e=2(b+d+f)=2× 5=10$.
解析
【分析】
首先观察题目已知多个分数的比值均为2，可结合比例的基本性质，将各个分子用对应分母与比值的乘积表示，再观察所求代数式$a+c+e$的结构，将表示后的分子代入后可提取公因式，发现其与已知条件$b+d+f=5$直接相关，无需单独求解$b、d、f$的数值，整体代入即可快速计算出结果。
【解析】
解：$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2$，
根据比例的基本性质，可得$a=2b$，$c=2d$，$e=2f$，
将上述三式相加，得：
$a+c+e=2b+2d+2f=2(b+d+f)$，
又$\because b+d+f=5$，
$\therefore$代入得$a+c+e=2×5=10$。
【答案】
10
【知识点】
比例的基本性质，整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对比例性质的理解和应用，解题时既可以通过代换分子的方式推导，也可以直接利用等比性质求解，熟练运用整体代入思想能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9
首先观察题目已知多个分数的比值均为2，可结合比例的基本性质，将各个分子用对应分母与比值的乘积表示，再观察所求代数式$a+c+e$的结构，将表示后的分子代入后可提取公因式，发现其与已知条件$b+d+f=5$直接相关，无需单独求解$b、d、f$的数值，整体代入即可快速计算出结果。
【解析】
解：$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2$，
根据比例的基本性质，可得$a=2b$，$c=2d$，$e=2f$，
将上述三式相加，得：
$a+c+e=2b+2d+2f=2(b+d+f)$，
又$\because b+d+f=5$，
$\therefore$代入得$a+c+e=2×5=10$。
【答案】
10
【知识点】
比例的基本性质，整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对比例性质的理解和应用，解题时既可以通过代换分子的方式推导，也可以直接利用等比性质求解，熟练运用整体代入思想能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9
12. ★★ 如图,在△ABC中,AB≠AC,点D,E分别为边AB,AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件:
(第12题) (第13题)
DF//AC（答案合理即可）
,可以使得△DFB与△ADE相似.(只需写出一个)(第12题) (第13题)
答案
解析: 添加 $DF// AC$. 由 $AC=3AD,AB=3AE$, 得 $\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$. 又 $∠ DAE=∠ CAB$, 则 $△ ADE∽ △ ACB.\because DF// AC,\therefore △ DFB∽ △ ACB,\therefore △ DFB∽ △ ADE$.
解析
【分析】
首先从已知条件入手，由$AC=3AD$、$AB=3AE$，结合公共角$∠ A$，可先证得$△ ADE$与$△ ACB$相似。若要使$△ DFB$与$△ ADE$相似，根据相似的传递性，只需让$△ DFB$与$△ ACB$相似即可，我们可以通过添加平行线、对应角相等、对应边成比例等条件实现，其中添加平行线的方法最为直观简便。
【解析】
添加条件：$DF// AC$。
已知$AC=3AD$，$AB=3AE$，可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，即$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$。
又$\because ∠ DAE=∠ CAB$（公共角），
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
$\because DF// AC$，
$\therefore ∠ DFB=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠ B=∠ B$（公共角），
$\therefore △ DFB ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
$\therefore △ DFB ∽ △ ADE$（相似三角形的传递性）。
（注：本题答案不唯一，如添加$∠ BDF=∠ A$、$∠ BDF=∠ C$等条件也符合要求）
【答案】
$DF// AC$（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定，平行线的性质
【点评】
本题属于开放性试题，解题时需要先从已知条件推导出已有的相似关系，再结合目标相似要求添加合理的条件，能够考查对相似三角形判定定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
首先从已知条件入手，由$AC=3AD$、$AB=3AE$，结合公共角$∠ A$，可先证得$△ ADE$与$△ ACB$相似。若要使$△ DFB$与$△ ADE$相似，根据相似的传递性，只需让$△ DFB$与$△ ACB$相似即可，我们可以通过添加平行线、对应角相等、对应边成比例等条件实现，其中添加平行线的方法最为直观简便。
【解析】
添加条件：$DF// AC$。
已知$AC=3AD$，$AB=3AE$，可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，即$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$。
又$\because ∠ DAE=∠ CAB$（公共角），
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
$\because DF// AC$，
$\therefore ∠ DFB=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠ B=∠ B$（公共角），
$\therefore △ DFB ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
$\therefore △ DFB ∽ △ ADE$（相似三角形的传递性）。
（注：本题答案不唯一，如添加$∠ BDF=∠ A$、$∠ BDF=∠ C$等条件也符合要求）
【答案】
$DF// AC$（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定，平行线的性质
【点评】
本题属于开放性试题，解题时需要先从已知条件推导出已有的相似关系，再结合目标相似要求添加合理的条件，能够考查对相似三角形判定定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
13. ★★★ (绥化中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB'C'的相似比为1:2,点A是位似中心,已知点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°,则点C'的坐标为
(6-2a,-2b)
.(结果用含a,b的式子表示)答案
解析: $\because △ ABC$ 与 $△ AB'C'$ 的相似比为 $1:2,\therefore AC'=2AC.\because A(2,0),C(a,b),\therefore C'$ 纵坐标为 $-2b$,横坐标为 $-2(a-2)+2=6-2a$,即 $C'(6-2a,-2b)$.
解析
【分析】
本题考查位似图形的坐标求解，解题思路如下：1. 先明确位似中心为点A(2,0)，并非坐标原点，因此不能直接套用原点为位似中心的坐标变换规则，需先计算点C相对于位似中心A的坐标差；2. 已知△ABC与△AB'C'的相似比为1:2，说明△AB'C'的边长是△ABC的2倍，且两个图形位于位似中心A的两侧，因此点C'相对于A的坐标差是点C相对于A的坐标差的-2倍；3. 最后将相对坐标差加上点A的坐标，即可得到点C'的实际坐标。
【解析】
∵△ABC与△AB'C'位似，位似中心为A，相似比为1:2，
∴AC':AC=2:1，且点C'与点C在点A的异侧。
点C(a,b)相对于点A(2,0)的横坐标差为：$a-2$，纵坐标差为：$b-0=b$。
则点C'相对于点A的横坐标差为：$-2×(a-2)$，纵坐标差为：$-2× b=-2b$。
因此点C'的横坐标为：$2 + [-2(a-2)] = 2 - 2a + 4 = 6-2a$，
点C'的纵坐标为：$0 + (-2b) = -2b$。
【答案】
$(6-2a,-2b)$
【知识点】
位似的性质，坐标与图形变换，相似比的应用
【点评】
本题是位似图形坐标计算的典型题型，易错点是误将坐标原点当作位似中心直接计算坐标，解题的核心是先计算待求点相对于位似中心的相对坐标，结合位似比和位置关系调整相对坐标后，再换算为原坐标系下的坐标。
【难度系数】
0.6
本题考查位似图形的坐标求解，解题思路如下：1. 先明确位似中心为点A(2,0)，并非坐标原点，因此不能直接套用原点为位似中心的坐标变换规则，需先计算点C相对于位似中心A的坐标差；2. 已知△ABC与△AB'C'的相似比为1:2，说明△AB'C'的边长是△ABC的2倍，且两个图形位于位似中心A的两侧，因此点C'相对于A的坐标差是点C相对于A的坐标差的-2倍；3. 最后将相对坐标差加上点A的坐标，即可得到点C'的实际坐标。
【解析】
∵△ABC与△AB'C'位似，位似中心为A，相似比为1:2，
∴AC':AC=2:1，且点C'与点C在点A的异侧。
点C(a,b)相对于点A(2,0)的横坐标差为：$a-2$，纵坐标差为：$b-0=b$。
则点C'相对于点A的横坐标差为：$-2×(a-2)$，纵坐标差为：$-2× b=-2b$。
因此点C'的横坐标为：$2 + [-2(a-2)] = 2 - 2a + 4 = 6-2a$，
点C'的纵坐标为：$0 + (-2b) = -2b$。
【答案】
$(6-2a,-2b)$
【知识点】
位似的性质，坐标与图形变换，相似比的应用
【点评】
本题是位似图形坐标计算的典型题型，易错点是误将坐标原点当作位似中心直接计算坐标，解题的核心是先计算待求点相对于位似中心的相对坐标，结合位似比和位置关系调整相对坐标后，再换算为原坐标系下的坐标。
【难度系数】
0.6
14. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，翻折$∠ C$，使得点$C$落在斜边上某一点$D$处，折痕为$EF$（点$E$，$F$分别在边$AC$，$BC$上）。
(1) 若四边形$CEDF$为正方形，则$EF$的长为________。
(2) 若$△ CEF$与$△ ABC$相似，则$AD$的长为________。
(1) 若四边形$CEDF$为正方形，则$EF$的长为________。
(2) 若$△ CEF$与$△ ABC$相似，则$AD$的长为________。
答案
(1) 解析: 如图.$\because$ 四边形 $CEDF$ 为正方形, $\therefore CE=ED=DF=FC,ED// BC,DF// AC$,
$\therefore △ ADE∽ △ DBF$, 设 $CE=ED=DF=FC=x$, 则 $AE=6-x,BF=8-x.\because △ ADE∽ △ DBF$,
$\therefore \frac{AE}{DF}=\frac{ED}{BF}$, 即 $\frac{6-x}{x}=\frac{x}{8-x}$, 解得 $x=\frac{24}{7}$, 经检验, $x=\frac{24}{7}$ 是原方程的解, $\therefore ED=\frac{24}{7},\therefore EF=\sqrt{2}ED=\frac{24\sqrt{2}}{7}$.
(2) 解析: 若$△ CEF$ 与 $△ ABC$ 相似,分两种情况:
①若 $CE:CF=3:4,\because CE:CF=AC:BC,\therefore EF// AB$,由折叠性质可知,$CD⊥ EF,\therefore CD⊥ AB$.在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$AC=6$,$BC=8$,$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$,$\therefore CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{6× 8}{10}=\frac{24}{5}$,$\therefore AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}$.②若 $CF:CE=3:4$, 则 $△ CEF∽ △ CBA,\therefore ∠ CEF=∠ B$,由折叠性质可知, $∠ CEF+∠ ECD=90°.\because ∠ A+∠ B=90°,\therefore ∠ A=∠ ECD,\therefore AD=CD$. 同理可得 $∠ B=∠ FCD$,$CD=BD,\therefore$ 点 $D$ 为 $AB$ 的中点, $\therefore AD=\frac{1}{2}AB=5$.
解析
【分析】
(1) 若四边形CEDF为正方形，根据正方形性质可得四边相等，且ED//BC、DF//AC，可推出△ADE∽△DBF，设正方形边长为x，利用相似三角形对应边成比例列方程求解边长，再根据正方形对角线与边长的关系即可求出EF的长度。
(2) 若△CEF与△ABC相似，因对应顶点不明确，需分两种情况讨论：①△CEF∽△CAB，此时EF//AB，结合折叠性质可得CD⊥AB，先利用勾股定理求出AB长，再用面积法求斜边上的高CD，最后用勾股定理求AD；②△CEF∽△CBA，此时可推导得出CD是Rt△ABC斜边的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求出AD。
【解析】
(1) 已知四边形CEDF为正方形，因此CE=ED=DF=FC，且ED//BC，DF//AC，可得∠AED=∠C=∠DFB=90°，∠A=∠FDB，∠ADE=∠B，故△ADE∽△DBF。
设正方形边长CE=ED=DF=FC=x，则AE=AC-CE=6-x，BF=BC-CF=8-x。
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{AE}{DF}=\frac{ED}{BF}$，即$\frac{6-x}{x}=\frac{x}{8-x}$，
交叉相乘得：$(6-x)(8-x)=x^2$，展开得$48-14x+x^2=x^2$，解得$x=\frac{24}{7}$，经检验$x=\frac{24}{7}$是原方程的解。
EF为正方形CEDF的对角线，因此$EF=\sqrt{2}ED=\sqrt{2}×\frac{24}{7}=\frac{24\sqrt{2}}{7}$。
(2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
△CEF与△ABC相似分两种情况：
① 若$\frac{CE}{CF}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$，则△CEF∽△CAB，对应角∠CEF=∠A，因此EF//AB。
由折叠性质可知CD⊥EF，故CD⊥AB，CD为Rt△ABC斜边上的高。
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，代入数据得$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$。
在Rt△ACD中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\sqrt{36-\frac{576}{25}}=\sqrt{\frac{900-576}{25}}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}$。
② 若$\frac{CF}{CE}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$，则△CEF∽△CBA，对应角∠CEF=∠B。
由折叠性质得∠CEF+∠ECD=90°，又Rt△ABC中∠A+∠B=90°，因此∠A=∠ECD，故AD=CD。
同理可得∠B=∠FCD，故CD=BD，因此AD=CD=BD，即D为AB的中点，故$AD=\frac{1}{2}AB=5$。
综上，AD的长为$\frac{18}{5}$或5。
【答案】
(1) $\frac{24\sqrt{2}}{7}$；(2) $\frac{18}{5}$或$5$
【知识点】
折叠的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题是几何折叠综合题，考查了正方形性质、相似三角形的应用及分类讨论思想，解题时要注意相似三角形对应关系不唯一时需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 若四边形CEDF为正方形，根据正方形性质可得四边相等，且ED//BC、DF//AC，可推出△ADE∽△DBF，设正方形边长为x，利用相似三角形对应边成比例列方程求解边长，再根据正方形对角线与边长的关系即可求出EF的长度。
(2) 若△CEF与△ABC相似，因对应顶点不明确，需分两种情况讨论：①△CEF∽△CAB，此时EF//AB，结合折叠性质可得CD⊥AB，先利用勾股定理求出AB长，再用面积法求斜边上的高CD，最后用勾股定理求AD；②△CEF∽△CBA，此时可推导得出CD是Rt△ABC斜边的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求出AD。
【解析】
(1) 已知四边形CEDF为正方形，因此CE=ED=DF=FC，且ED//BC，DF//AC，可得∠AED=∠C=∠DFB=90°，∠A=∠FDB，∠ADE=∠B，故△ADE∽△DBF。
设正方形边长CE=ED=DF=FC=x，则AE=AC-CE=6-x，BF=BC-CF=8-x。
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{AE}{DF}=\frac{ED}{BF}$，即$\frac{6-x}{x}=\frac{x}{8-x}$，
交叉相乘得：$(6-x)(8-x)=x^2$，展开得$48-14x+x^2=x^2$，解得$x=\frac{24}{7}$，经检验$x=\frac{24}{7}$是原方程的解。
EF为正方形CEDF的对角线，因此$EF=\sqrt{2}ED=\sqrt{2}×\frac{24}{7}=\frac{24\sqrt{2}}{7}$。
(2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
△CEF与△ABC相似分两种情况：
① 若$\frac{CE}{CF}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$，则△CEF∽△CAB，对应角∠CEF=∠A，因此EF//AB。
由折叠性质可知CD⊥EF，故CD⊥AB，CD为Rt△ABC斜边上的高。
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，代入数据得$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$。
在Rt△ACD中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\sqrt{36-\frac{576}{25}}=\sqrt{\frac{900-576}{25}}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}$。
② 若$\frac{CF}{CE}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$，则△CEF∽△CBA，对应角∠CEF=∠B。
由折叠性质得∠CEF+∠ECD=90°，又Rt△ABC中∠A+∠B=90°，因此∠A=∠ECD，故AD=CD。
同理可得∠B=∠FCD，故CD=BD，因此AD=CD=BD，即D为AB的中点，故$AD=\frac{1}{2}AB=5$。
综上，AD的长为$\frac{18}{5}$或5。
【答案】
(1) $\frac{24\sqrt{2}}{7}$；(2) $\frac{18}{5}$或$5$
【知识点】
折叠的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题是几何折叠综合题，考查了正方形性质、相似三角形的应用及分类讨论思想，解题时要注意相似三角形对应关系不唯一时需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15. 已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$，并且$3x-2y+z=8$，求$2x-3y+4z$的值。
15. 已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$，并且$3x-2y+z=8$，求$2x-3y+4z$的值。
答案
设 $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$, 则 $x=2k,y=3k,z=4k.\because 3x-2y+z=8$,
$\therefore 6k-6k+4k=8,\therefore k=2,\therefore 2x-3y+4z=4k-9k+16k=11k=22$.
$\therefore 6k-6k+4k=8,\therefore k=2,\therefore 2x-3y+4z=4k-9k+16k=11k=22$.
解析
【分析】
遇到连比等式的问题时，我们通常采用设参数的方法简化计算：首先设这组连比的公共比值为参数k，就可以把x、y、z都用含k的代数式表示，再将其代入已知的方程3x-2y+z=8中，就能求出k的取值，最后把x、y、z的参数表达式代入待求式计算，即可得到最终结果。
【解析】
设 $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$，则 $x=2k,y=3k,z=4k$。
$\because 3x-2y+z=8$，
$\therefore 3×2k - 2×3k + 4k=8$，
化简得$6k-6k+4k=8$，解得$k=2$。
将$x=2k,y=3k,z=4k$代入$2x-3y+4z$得：
$2×2k - 3×3k + 4×4k=4k-9k+16k=11k$，
把$k=2$代入得$11×2=22$。
【答案】
$22$
【知识点】
比例的性质；换元法；代数式求值
【点评】
本题是比例类求值的典型基础题，通过设参数的方法将多个未知量转化为同一个参数的表达式，简化了运算过程，该方法是处理连比问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
遇到连比等式的问题时，我们通常采用设参数的方法简化计算：首先设这组连比的公共比值为参数k，就可以把x、y、z都用含k的代数式表示，再将其代入已知的方程3x-2y+z=8中，就能求出k的取值，最后把x、y、z的参数表达式代入待求式计算，即可得到最终结果。
【解析】
设 $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$，则 $x=2k,y=3k,z=4k$。
$\because 3x-2y+z=8$，
$\therefore 3×2k - 2×3k + 4k=8$，
化简得$6k-6k+4k=8$，解得$k=2$。
将$x=2k,y=3k,z=4k$代入$2x-3y+4z$得：
$2×2k - 3×3k + 4×4k=4k-9k+16k=11k$，
把$k=2$代入得$11×2=22$。
【答案】
$22$
【知识点】
比例的性质；换元法；代数式求值
【点评】
本题是比例类求值的典型基础题，通过设参数的方法将多个未知量转化为同一个参数的表达式，简化了运算过程，该方法是处理连比问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
16. ★★★ 如图,在$△ ABC$中,D,E,F分别是AB,BC上的点,且$DE // AC$,$DF // AE$,$\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{3}{2}$,$BF=9\ \mathrm{cm}$,求EF和EC的长. 
答案
$\because DF// AE,\therefore \frac{BF}{EF}=\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}.\because BF=9\ \mathrm{cm},\therefore EF=6\ \mathrm{cm},BE=BF+EF=15\ \mathrm{cm}.\because DE// AC,\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{BD}{DA}=\frac{3}{2},\therefore EC=\frac{2}{3}BE=\frac{2}{3}× 15=10(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
题目中给出两组平行线，可结合平行线分线段成比例定理逐步求解：首先观察到$DF// AE$，可在$△ ABE$中得到线段$BF$、$EF$的比例关系与$BD$、$AD$的比例相等，结合已知$BF$的长度先求出$EF$的长；再求出$BE$的总长后，利用$DE// AC$，在$△ ABC$中得到$BE$、$EC$的比例关系与$BD$、$AD$的比例相等，即可求出$EC$的长度，解题时需注意比例线段的对应关系，避免比例项写反。
【解析】
解：$\because DF// AE$，根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例，可得
$\frac{BF}{EF}=\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}$
已知$BF=9\ \mathrm{cm}$，代入比例式得$\frac{9}{EF}=\frac{3}{2}$，解得$EF=6\ \mathrm{cm}$
$\therefore BE=BF+EF=9+6=15\ \mathrm{cm}$
$\because DE// AC$，同理可得
$\frac{BE}{EC}=\frac{BD}{DA}=\frac{3}{2}$
将$BE=15\ \mathrm{cm}$代入得$\frac{15}{EC}=\frac{3}{2}$，解得$EC=\frac{2}{3}×15=10\ \mathrm{cm}$
【答案】
$EF=6\ \mathrm{cm}$，$EC=10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例定理
2. 比例的基本性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的关键是结合平行线找到对应的成比例线段，两次运用定理逐步推导未知线段，做题时只要理清比例的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
题目中给出两组平行线，可结合平行线分线段成比例定理逐步求解：首先观察到$DF// AE$，可在$△ ABE$中得到线段$BF$、$EF$的比例关系与$BD$、$AD$的比例相等，结合已知$BF$的长度先求出$EF$的长；再求出$BE$的总长后，利用$DE// AC$，在$△ ABC$中得到$BE$、$EC$的比例关系与$BD$、$AD$的比例相等，即可求出$EC$的长度，解题时需注意比例线段的对应关系，避免比例项写反。
【解析】
解：$\because DF// AE$，根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例，可得
$\frac{BF}{EF}=\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}$
已知$BF=9\ \mathrm{cm}$，代入比例式得$\frac{9}{EF}=\frac{3}{2}$，解得$EF=6\ \mathrm{cm}$
$\therefore BE=BF+EF=9+6=15\ \mathrm{cm}$
$\because DE// AC$，同理可得
$\frac{BE}{EC}=\frac{BD}{DA}=\frac{3}{2}$
将$BE=15\ \mathrm{cm}$代入得$\frac{15}{EC}=\frac{3}{2}$，解得$EC=\frac{2}{3}×15=10\ \mathrm{cm}$
【答案】
$EF=6\ \mathrm{cm}$，$EC=10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例定理
2. 比例的基本性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的关键是结合平行线找到对应的成比例线段，两次运用定理逐步推导未知线段，做题时只要理清比例的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17. 如图,已知在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,以BC为边向外作正方形BEDC,连接AE交BC于点F,作$FG // BE$交AB于点G.求证:$FG=FC$.
17. 如图,已知在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,以BC为边向外作正方形BEDC,连接AE交BC于点F,作$FG // BE$交AB于点G.求证:$FG=FC$.
答案
$\because FG// BE,\therefore \frac{FG}{EB}=\frac{AF}{AE}.\because FC// ED,\therefore \frac{FC}{ED}=\frac{AF}{AE},\therefore \frac{FG}{EB}=\frac{FC}{ED}$.
又$\because EB=ED,\therefore FG=FC$.
又$\because EB=ED,\therefore FG=FC$.
解析
【分析】
本题是线段相等的证明题，可通过比例线段的思路求证。首先已知FG//BE，可由平行线分线段成比例得到FG与EB的比值等于AF与AE的比值；再利用正方形对边平行的性质得到FC//ED，同理可得FC与ED的比值也等于AF与AE的比值，由此建立FG、FC的比例关系，最后结合正方形邻边相等的性质即可证明两条线段相等。
【解析】
证明：
$\because FG// BE$，
$\therefore \frac{FG}{EB}=\frac{AF}{AE}$。
$\because $四边形BEDC是正方形，
$\therefore FC// ED$，且$EB=ED$，
$\therefore \frac{FC}{ED}=\frac{AF}{AE}$，
$\therefore \frac{FG}{EB}=\frac{FC}{ED}$。
又$\because EB=ED$，
$\therefore FG=FC$。
【答案】
$FG=FC$
【知识点】
平行线分线段成比例，正方形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是找到两组平行线对应的公共比例式，结合正方形边的性质即可快速推导结论，主要考查对平行线分线段成比例定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是线段相等的证明题，可通过比例线段的思路求证。首先已知FG//BE，可由平行线分线段成比例得到FG与EB的比值等于AF与AE的比值；再利用正方形对边平行的性质得到FC//ED，同理可得FC与ED的比值也等于AF与AE的比值，由此建立FG、FC的比例关系，最后结合正方形邻边相等的性质即可证明两条线段相等。
【解析】
证明：
$\because FG// BE$，
$\therefore \frac{FG}{EB}=\frac{AF}{AE}$。
$\because $四边形BEDC是正方形，
$\therefore FC// ED$，且$EB=ED$，
$\therefore \frac{FC}{ED}=\frac{AF}{AE}$，
$\therefore \frac{FG}{EB}=\frac{FC}{ED}$。
又$\because EB=ED$，
$\therefore FG=FC$。
【答案】
$FG=FC$
【知识点】
平行线分线段成比例，正方形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是找到两组平行线对应的公共比例式，结合正方形边的性质即可快速推导结论，主要考查对平行线分线段成比例定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
18. 如图,在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系,已知△ABC三个顶点坐标分别为$A(-1,2),B(2,1),C(4,5)$.
(1)画出△ABC关于x轴对称的△$A_1B_1C_1$;
(2)以原点O为位似中心,在x轴的上方画出△$A_2B_2C_2$,使△$A_2B_2C_2$与△ABC位似,且相似比为2,并求出△$A_2B_2C_2$的面积.
(1)画出△ABC关于x轴对称的△$A_1B_1C_1$;
(2)以原点O为位似中心,在x轴的上方画出△$A_2B_2C_2$,使△$A_2B_2C_2$与△ABC位似,且相似比为2,并求出△$A_2B_2C_2$的面积.
答案
(1)如图所示,$△ A_1B_1C_1$ 即为所求三角形.
(2)如图所示,$△ A_2B_2C_2$ 即为所求三角形.
如图,分别过点 $A_2,C_2$ 作 $y$ 轴的平行线,过点 $B_2$ 作 $x$ 轴的平行线,过点 $C_2$ 作 $x$ 轴的平行线.$\because A(-1,2),B(2,1),C(4,5)$,$△ A_2B_2C_2$ 与 $△ ABC$ 位似,且相似比为 2,原点 $O$ 为位似中心, $\therefore A_2(-2,4),B_2(4,2),C_2(8,10),\therefore S_{△ A_2B_2C_2}=8× 10-\frac{1}{2}× 6× 2-\frac{1}{2}× 4× 8-\frac{1}{2}× 6× 10=28$.
解析
【分析】
(1) 要画△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，首先利用关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，据此求出A、B、C的对称点坐标，描点后顺次连接即可。
(2) 要画以原点为位似中心、相似比为2且在x轴上方的△A₂B₂C₂，根据位似性质，原点为位似中心时，相似比为k的对应点坐标为原坐标乘k，因图形在x轴上方，故k取2，得到三个顶点的坐标后描点连线。求面积时采用割补法，用△A₂B₂C₂外接矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到结果。
【解析】
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征，可得A₁(-1,-2)、B₁(2,-1)、C₁(4,-5)，在网格中描出这三个点，顺次连接，得到△A₁B₁C₁。
(2) 原点O为位似中心，△A₂B₂C₂与△ABC位似且相似比为2，图形在x轴上方，因此将△ABC各顶点的横、纵坐标均乘以2，可得：
$A_2(-1×2,2×2)=(-2,4)$，$B_2(2×2,1×2)=(4,2)$，$C_2(4×2,5×2)=(8,10)$。
在网格中描出这三个点，顺次连接得到△A₂B₂C₂。
计算面积：作△A₂B₂C₂的外接矩形，矩形面积为$8×10=80$，周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×6×2=6$，$\frac{1}{2}×4×8=16$，$\frac{1}{2}×6×10=30$。
因此$S_{△A_2B_2C_2}=80-6-16-30=28$。
【答案】
(1)如图所示,$△ A_1B_1C_1$ 即为所求三角形.
(2)如图所示,$△ A_2B_2C_2$ 即为所求三角形，面积为28.
【知识点】
1. 轴对称坐标变换
2. 位似图形的性质
3. 割补法求面积
【点评】
本题综合考查了轴对称作图、位似作图及网格中图形面积的计算，掌握坐标变换的规则是作图的核心，割补法是计算网格内多边形面积的常用方法，能够有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
(1) 要画△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，首先利用关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，据此求出A、B、C的对称点坐标，描点后顺次连接即可。
(2) 要画以原点为位似中心、相似比为2且在x轴上方的△A₂B₂C₂，根据位似性质，原点为位似中心时，相似比为k的对应点坐标为原坐标乘k，因图形在x轴上方，故k取2，得到三个顶点的坐标后描点连线。求面积时采用割补法，用△A₂B₂C₂外接矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到结果。
【解析】
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征，可得A₁(-1,-2)、B₁(2,-1)、C₁(4,-5)，在网格中描出这三个点，顺次连接，得到△A₁B₁C₁。
(2) 原点O为位似中心，△A₂B₂C₂与△ABC位似且相似比为2，图形在x轴上方，因此将△ABC各顶点的横、纵坐标均乘以2，可得：
$A_2(-1×2,2×2)=(-2,4)$，$B_2(2×2,1×2)=(4,2)$，$C_2(4×2,5×2)=(8,10)$。
在网格中描出这三个点，顺次连接得到△A₂B₂C₂。
计算面积：作△A₂B₂C₂的外接矩形，矩形面积为$8×10=80$，周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×6×2=6$，$\frac{1}{2}×4×8=16$，$\frac{1}{2}×6×10=30$。
因此$S_{△A_2B_2C_2}=80-6-16-30=28$。
【答案】
(1)如图所示,$△ A_1B_1C_1$ 即为所求三角形.
(2)如图所示,$△ A_2B_2C_2$ 即为所求三角形，面积为28.
【知识点】
1. 轴对称坐标变换
2. 位似图形的性质
3. 割补法求面积
【点评】
本题综合考查了轴对称作图、位似作图及网格中图形面积的计算，掌握坐标变换的规则是作图的核心，割补法是计算网格内多边形面积的常用方法，能够有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
