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10. （百色中考）已知$△ ABC$与$△ A'B'C'$是位似图形，相似比是$1:3$，则$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积比是（
A.$1:3$
B.$1:6$
C.$1:9$
D.$3:1$
C
）A.$1:3$
B.$1:6$
C.$1:9$
D.$3:1$
答案
10. C 解析:$\because △ ABC$与$△ A'B'C'$是位似图形,相似比是$1:3$,$\therefore △ ABC$与$△ A'B'C'$的面积比是$1:9$.故选C.
解析
【分析】
解题时首先明确位似图形是特殊的相似图形，具备相似图形的全部性质。接下来回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。已知两个三角形的相似比为1:3，将相似比平方即可得到对应的面积比，进而选出正确选项。
【解析】
∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，相似比是1:3，
∴△ABC与△A'B'C'是相似三角形，相似比为1:3，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得面积比为$1^2:3^2=1:9$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形面积与相似比的关系
【点评】
本题考查位似与相似的关联以及相似三角形的性质，熟记相似图形面积比等于相似比的平方是解题核心，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确位似图形是特殊的相似图形，具备相似图形的全部性质。接下来回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。已知两个三角形的相似比为1:3，将相似比平方即可得到对应的面积比，进而选出正确选项。
【解析】
∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，相似比是1:3，
∴△ABC与△A'B'C'是相似三角形，相似比为1:3，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得面积比为$1^2:3^2=1:9$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形面积与相似比的关系
【点评】
本题考查位似与相似的关联以及相似三角形的性质，熟记相似图形面积比等于相似比的平方是解题核心，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
11. （遂宁中考）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫作格点三角形。在如图所示的平面直角坐标系中，格点$△ ABC$、$△ DEF$成位似关系，则位似中心的坐标为（
A.$(-1,0)$
B.$(0,0)$
C.$(0,1)$
D.$(1,0)$
A
）A.$(-1,0)$
B.$(0,0)$
C.$(0,1)$
D.$(1,0)$
答案
11. A 解析:由题图得,$A(1,2)$,$D(3,4)$,设直线$AD$的表达式为$y=kx+b$,将$A,D$的坐标代入得$\begin{cases} 2=k+b, \\ 4=k+b, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=1, \\ b=1, \end{cases}$ $\therefore$ 直线$AD$的表达式为$y=x+1$.$\because AD$所在直线与$BE$所在直线即$x$轴的交点坐标即为位似中心,$\therefore$ 当$y=0$时,$x=-1$,$\therefore$ 位似中心的坐标为$(-1,0)$.故选A.
解析
【分析】
根据位似图形的性质，位似图形所有对应顶点的连线都交于位似中心，因此求解本题的核心是找到两组对应顶点连线的交点。首先观察图形确定△ABC和△DEF的对应点：A对应D，B对应E，C对应F，其中B、E均在x轴上，因此直线BE就是x轴（y=0），只需再求出直线AD的解析式，计算两条直线的交点即可得到位似中心坐标。
【解析】
解：位似中心是位似图形两组对应顶点连线的交点。
由图可得对应点坐标：$A(1,2)$，$D(3,4)$，$B(2,0)$，$E(5,0)$。
点B、E都在x轴上，因此直线BE的表达式为$y=0$。
设直线AD的表达式为$y=kx+b$，将A、D坐标代入得：
$\begin{cases} k+b=2 \\ 3k+b=4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ b=1 \end{cases}$，因此直线AD的表达式为$y=x+1$。
联立$\begin{cases} y=x+1 \\ y=0 \end{cases}$，解得$x=-1,y=0$，即位似中心坐标为$(-1,0)$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质，一次函数的应用，坐标与图形性质
【点评】
本题属于基础题，解题关键是掌握位似中心的定义，结合一次函数求交点坐标即可快速求解。
【难度系数】
0.7
根据位似图形的性质，位似图形所有对应顶点的连线都交于位似中心，因此求解本题的核心是找到两组对应顶点连线的交点。首先观察图形确定△ABC和△DEF的对应点：A对应D，B对应E，C对应F，其中B、E均在x轴上，因此直线BE就是x轴（y=0），只需再求出直线AD的解析式，计算两条直线的交点即可得到位似中心坐标。
【解析】
解：位似中心是位似图形两组对应顶点连线的交点。
由图可得对应点坐标：$A(1,2)$，$D(3,4)$，$B(2,0)$，$E(5,0)$。
点B、E都在x轴上，因此直线BE的表达式为$y=0$。
设直线AD的表达式为$y=kx+b$，将A、D坐标代入得：
$\begin{cases} k+b=2 \\ 3k+b=4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ b=1 \end{cases}$，因此直线AD的表达式为$y=x+1$。
联立$\begin{cases} y=x+1 \\ y=0 \end{cases}$，解得$x=-1,y=0$，即位似中心坐标为$(-1,0)$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质，一次函数的应用，坐标与图形性质
【点评】
本题属于基础题，解题关键是掌握位似中心的定义，结合一次函数求交点坐标即可快速求解。
【难度系数】
0.7
12. ★★★(2024·绥化中考)如图,矩形OABC各顶点的坐标分别为$O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2)$,以原点O为位似中心,将这个矩形按相似比$\frac{1}{3}$缩小,则顶点B在第一象限对应点的坐标是 (
A.$(9,4)$
B.$(4,9)$
C.$(1,\frac{3}{2})$
D.$(1,\frac{2}{3})$
D
)A.$(9,4)$
B.$(4,9)$
C.$(1,\frac{3}{2})$
D.$(1,\frac{2}{3})$
答案
12. D 解析:依题意,$B(3,2)$,以原点$O$为位似中心,将这个矩形按相似比$\frac{1}{3}$缩小,则顶点$B$在第一象限对应点的坐标是$(1,\frac{2}{3})$.故选D.
解析
【分析】
解题时首先回忆以原点为位似中心的位似图形坐标变化规律：若位似中心是原点，相似比为k，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘k或-k。接下来先确定原顶点B的坐标，再结合题目要求“第一象限的对应点”，可知相似比取正的$\frac{1}{3}$，将B点的横、纵坐标分别乘$\frac{1}{3}$即可得到对应点坐标。
【解析】
已知矩形顶点$B$的坐标为$(3,2)$，以原点$O$为位似中心按相似比$\frac{1}{3}$缩小：
因为要求对应点在第一象限，所以对应点的横、纵坐标均为正，将$B$点的横、纵坐标分别乘以相似比$\frac{1}{3}$：
横坐标：$3×\frac{1}{3}=1$，
纵坐标：$2×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，
因此顶点$B$在第一象限的对应点坐标为$(1,\frac{2}{3})$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
位似变换的坐标规律；象限内点的特征
【点评】
本题考查位似变换下的坐标变化，解题的关键是掌握以原点为位似中心时坐标的变换规则，同时注意题目限定的象限条件，避免忽略符号要求出错，属于基础常规题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆以原点为位似中心的位似图形坐标变化规律：若位似中心是原点，相似比为k，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘k或-k。接下来先确定原顶点B的坐标，再结合题目要求“第一象限的对应点”，可知相似比取正的$\frac{1}{3}$，将B点的横、纵坐标分别乘$\frac{1}{3}$即可得到对应点坐标。
【解析】
已知矩形顶点$B$的坐标为$(3,2)$，以原点$O$为位似中心按相似比$\frac{1}{3}$缩小：
因为要求对应点在第一象限，所以对应点的横、纵坐标均为正，将$B$点的横、纵坐标分别乘以相似比$\frac{1}{3}$：
横坐标：$3×\frac{1}{3}=1$，
纵坐标：$2×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，
因此顶点$B$在第一象限的对应点坐标为$(1,\frac{2}{3})$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
位似变换的坐标规律；象限内点的特征
【点评】
本题考查位似变换下的坐标变化，解题的关键是掌握以原点为位似中心时坐标的变换规则，同时注意题目限定的象限条件，避免忽略符号要求出错，属于基础常规题。
【难度系数】
0.8
13. ★★★ (2024·镇江中考)如图,小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处,他在灯光下的影长CD=3米,然后他转身按原路返回到点B处,返回过程中小杰在灯光下的影长可以是 (
A.4.5米
B.4米
C.3.5米
D.2.5米
D
)A.4.5米
B.4米
C.3.5米
D.2.5米
答案
13. D 解析:设返回过程中小杰身高为$FH$,连接$AF$并延长交$BC$于点$G$,根据题意得到$CE// FH// AB$,$\therefore △ DCE∽△ DBA$,$△ GHF∽△ GBA$,$\therefore \frac{CE}{AB}=\frac{CD}{BD}$,$\frac{FH}{AB}=\frac{GH}{GB}$.$\because CE=FH$,$\therefore \frac{CD}{BD}=\frac{GH}{GB}$.$\because BD＞GB$,$\therefore CD＞GH$.$\because CD=3$米,$\therefore GH＜3$米,$\therefore$ 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米.故选D.
解析
【分析】
这是中心投影背景下的相似三角形应用题，解题思路如下：1. 明确中心投影中，人和灯杆均垂直于水平地面，可得人和灯杆互相平行；2. 人、影子端点、灯顶端三点共线，可构造出两组相似三角形；3. 利用相似三角形对应边成比例的性质，结合人身高、灯杆高度不变的条件，比较返回途中影长和3米的大小关系，即可判断符合条件的选项。
【解析】
设返回过程中小杰身高为$FH$，连接$AF$并延长交$BC$于点$G$。
根据题意得$CE// FH// AB$，
$\therefore △ DCE ∽ △ DBA$，$△ GHF ∽ △ GBA$，
$\therefore \frac{CE}{AB}=\frac{CD}{BD}$，$\frac{FH}{AB}=\frac{GH}{GB}$。
$\because CE=FH$（小杰身高不变），
$\therefore \frac{CD}{BD}=\frac{GH}{GB}$。
$\because BD=BC+CD$，$GB＜BC＜BD$，即$BD＞GB$，
$\therefore CD＞GH$。
已知$CD=3$米，$\therefore GH＜3$米，四个选项中只有2.5米符合条件，故选D。
【答案】
D
【知识点】
中心投影，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的灯光投影场景，考查相似三角形在实际问题中的应用，需要学生具备从实际场景中抽象出几何模型的能力，也可直接结合中心投影“离点光源越近，影子越短”的特点快速判断，解题灵活性较强。
【难度系数】
0.7
这是中心投影背景下的相似三角形应用题，解题思路如下：1. 明确中心投影中，人和灯杆均垂直于水平地面，可得人和灯杆互相平行；2. 人、影子端点、灯顶端三点共线，可构造出两组相似三角形；3. 利用相似三角形对应边成比例的性质，结合人身高、灯杆高度不变的条件，比较返回途中影长和3米的大小关系，即可判断符合条件的选项。
【解析】
设返回过程中小杰身高为$FH$，连接$AF$并延长交$BC$于点$G$。
根据题意得$CE// FH// AB$，
$\therefore △ DCE ∽ △ DBA$，$△ GHF ∽ △ GBA$，
$\therefore \frac{CE}{AB}=\frac{CD}{BD}$，$\frac{FH}{AB}=\frac{GH}{GB}$。
$\because CE=FH$（小杰身高不变），
$\therefore \frac{CD}{BD}=\frac{GH}{GB}$。
$\because BD=BC+CD$，$GB＜BC＜BD$，即$BD＞GB$，
$\therefore CD＞GH$。
已知$CD=3$米，$\therefore GH＜3$米，四个选项中只有2.5米符合条件，故选D。
【答案】
D
【知识点】
中心投影，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的灯光投影场景，考查相似三角形在实际问题中的应用，需要学生具备从实际场景中抽象出几何模型的能力，也可直接结合中心投影“离点光源越近，影子越短”的特点快速判断，解题灵活性较强。
【难度系数】
0.7
14. |新趋势·跨学科融合（2024·扬州中考）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像$A'B'$.设$AB=36\ \mathrm{cm}$，$A'B'=24\ \mathrm{cm}$.小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到$A'B'$的距离为
20
cm.答案
14. 20 解析:由题意得,$AB// A'B'$,$\therefore △ AOB∽△ A'OB'$.如图,过$O$作$OC⊥ AB$于点$C$,$CO$的延长线交$A'B'$于点$C'$,$\therefore OC'⊥ A'B'$,$OC=30\ \mathrm{cm}$,$\therefore \frac{A'B'}{AB}=\frac{OC'}{OC}$,即$\frac{24}{36}=\frac{OC'}{30}$,$\therefore OC'=20\ \mathrm{cm}$,即小孔$O$到$A'B'$的距离为20 cm.故答案为20.
解析
【分析】
本题结合物理小孔成像情境考查相似三角形的应用，解题思路如下：首先由蜡烛和像均竖直放置可得$AB// A'B'$，可推出$△ AOB$和$△ A'OB'$相似；再根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于对应边的相似比，其中小孔到AB的距离、小孔到$A'B'$的距离是这组相似三角形的对应高，代入已知数据列比例式即可求出所求距离。
【解析】
解：由题意得$AB$、$A'B'$均竖直放置，因此$AB// A'B'$，
$\therefore △ AOB ∽ △ A'OB'$。
过$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，延长$CO$交$A'B'$于点$C'$，则$OC'⊥ A'B'$，其中$OC=30\ \mathrm{cm}$，$OC'$即为小孔$O$到$A'B'$的距离。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{A'B'}{AB}=\frac{OC'}{OC}$
将$AB=36\ \mathrm{cm}$，$A'B'=24\ \mathrm{cm}$，$OC=30\ \mathrm{cm}$代入上式，得：
$\frac{24}{36}=\frac{OC'}{30}$
解得：$OC'=\frac{24×30}{36}=20\ \mathrm{cm}$
【答案】
20
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形的性质；实际问题应用
【点评】
本题是跨学科融合类题型，结合物理小孔成像的原理，考查相似三角形相关知识的实际应用，解题的关键是从实际情境中抽象出相似三角形的几何模型，利用相似三角形的性质列比例式计算，侧重考查学生的知识迁移能力和建模意识。
【难度系数】
0.7
本题结合物理小孔成像情境考查相似三角形的应用，解题思路如下：首先由蜡烛和像均竖直放置可得$AB// A'B'$，可推出$△ AOB$和$△ A'OB'$相似；再根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于对应边的相似比，其中小孔到AB的距离、小孔到$A'B'$的距离是这组相似三角形的对应高，代入已知数据列比例式即可求出所求距离。
【解析】
解：由题意得$AB$、$A'B'$均竖直放置，因此$AB// A'B'$，
$\therefore △ AOB ∽ △ A'OB'$。
过$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，延长$CO$交$A'B'$于点$C'$，则$OC'⊥ A'B'$，其中$OC=30\ \mathrm{cm}$，$OC'$即为小孔$O$到$A'B'$的距离。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{A'B'}{AB}=\frac{OC'}{OC}$
将$AB=36\ \mathrm{cm}$，$A'B'=24\ \mathrm{cm}$，$OC=30\ \mathrm{cm}$代入上式，得：
$\frac{24}{36}=\frac{OC'}{30}$
解得：$OC'=\frac{24×30}{36}=20\ \mathrm{cm}$
【答案】
20
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形的性质；实际问题应用
【点评】
本题是跨学科融合类题型，结合物理小孔成像的原理，考查相似三角形相关知识的实际应用，解题的关键是从实际情境中抽象出相似三角形的几何模型，利用相似三角形的性质列比例式计算，侧重考查学生的知识迁移能力和建模意识。
【难度系数】
0.7
