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1. (吉林中考)如图,在$△ ABC$中,点D在边AB上,过点D作$DE // BC$,交AC于点E.若$AD=2,BD=3$,则$\frac{AE}{AC}$的值是 (
A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{2}{3}$
(第1题) (第3题)
A
)A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{2}{3}$
(第1题) (第3题)
答案
1. A 解析:$\because DE// BC,\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}.\because AD=2,BD=3,\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AD+BD}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$,故选A.
解析
【分析】
看到题干中$DE// BC$，可联想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，由此可得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。接下来先根据已知的$AD$、$BD$长度求出$AB$的总长度，再代入比例式计算就能得到$\frac{AE}{AC}$的值。
【解析】
$\because DE// BC$，根据平行线分线段成比例的推论，可得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
已知$AD=2$，$BD=3$，则$AB=AD+BD=2+3=5$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行线分线段成比例推论的应用，解题时只需准确找到对应成比例的线段，结合简单的线段和差计算即可得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.9
看到题干中$DE// BC$，可联想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，由此可得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。接下来先根据已知的$AD$、$BD$长度求出$AB$的总长度，再代入比例式计算就能得到$\frac{AE}{AC}$的值。
【解析】
$\because DE// BC$，根据平行线分线段成比例的推论，可得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
已知$AD=2$，$BD=3$，则$AB=AD+BD=2+3=5$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行线分线段成比例推论的应用，解题时只需准确找到对应成比例的线段，结合简单的线段和差计算即可得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.9
2. 小慧同学在学习了九年级上册“22.2 比例线段”后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程。图中横线处应填：
2
。答案
2. 2 解析:$\because \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2},\therefore a=\sqrt{2}b,c=\frac{\sqrt{2}}{2}b,\therefore \frac{a}{c}=\frac{\sqrt{2}b}{\frac{\sqrt{2}}{2}b}=2$,故答案为2.
解析
【分析】
解题时可结合最后给出的特殊线段比的已知条件，先利用比例的基本性质，把a和c都用含b的代数式表示，再代入待求的$\frac{a}{c}$中，约掉公共参数b后即可计算出结果。
【解析】
已知$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2}$，
根据比例的基本性质可得：
$a=\sqrt{2}b$，
对$\frac{b}{c}=\sqrt{2}$变形得$c=\frac{b}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}b$，
将$a=\sqrt{2}b$、$c=\frac{\sqrt{2}}{2}b$代入$\frac{a}{c}$得：
$\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{2}b}{\frac{\sqrt{2}}{2}b}=2$。
【答案】
2
【知识点】
比例的基本性质，比例线段，比例中项
【点评】
本题是比例线段相关的基础题型，核心思路是利用比例的性质将不同变量用同一参数表示，通过代入消元计算比值，熟练掌握比例的变形规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时可结合最后给出的特殊线段比的已知条件，先利用比例的基本性质，把a和c都用含b的代数式表示，再代入待求的$\frac{a}{c}$中，约掉公共参数b后即可计算出结果。
【解析】
已知$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2}$，
根据比例的基本性质可得：
$a=\sqrt{2}b$，
对$\frac{b}{c}=\sqrt{2}$变形得$c=\frac{b}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}b$，
将$a=\sqrt{2}b$、$c=\frac{\sqrt{2}}{2}b$代入$\frac{a}{c}$得：
$\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{2}b}{\frac{\sqrt{2}}{2}b}=2$。
【答案】
2
【知识点】
比例的基本性质，比例线段，比例中项
【点评】
本题是比例线段相关的基础题型，核心思路是利用比例的性质将不同变量用同一参数表示，通过代入消元计算比值，熟练掌握比例的变形规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. (2026·吕梁模拟)音乐课上，老师带领同学们动手制作音乐瓶，发现玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符。通过多次实验得到：当水面高度与瓶高之比为黄金比(约等于0.618)时，可以敲击出音符“sol”。如图，若瓶高AB=15 cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则水面高度AC约为
9.27
cm.答案
3. 9.27 解析:根据题意,得$\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{15}\approx0.618$,解得$AC\approx9.27$.
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的比例关系：水面高度AC与瓶高AB的比值为黄金比0.618，已知瓶高AB的长度，只需将AB的数值代入比例式，通过乘法运算即可求出AC的长度。
【解析】
解：由题意可知，水面高度与瓶高之比为黄金比，即$\frac{AC}{AB}\approx0.618$。
已知$AB=15\mathrm{cm}$，将其代入上式可得：
$AC\approx15×0.618=9.27(\mathrm{cm})$
【答案】
9.27
【知识点】
黄金分割、比例计算
【点评】
本题是黄金分割在实际生活中的应用类题目，解题的核心是准确提取题干中的比例关系，代入已知量计算即可，整体比较容易理解。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确题目给出的比例关系：水面高度AC与瓶高AB的比值为黄金比0.618，已知瓶高AB的长度，只需将AB的数值代入比例式，通过乘法运算即可求出AC的长度。
【解析】
解：由题意可知，水面高度与瓶高之比为黄金比，即$\frac{AC}{AB}\approx0.618$。
已知$AB=15\mathrm{cm}$，将其代入上式可得：
$AC\approx15×0.618=9.27(\mathrm{cm})$
【答案】
9.27
【知识点】
黄金分割、比例计算
【点评】
本题是黄金分割在实际生活中的应用类题目，解题的核心是准确提取题干中的比例关系，代入已知量计算即可，整体比较容易理解。
【难度系数】
0.85
4. （2024·重庆中考）若两个相似三角形的相似比是1：3，则这两个相似三角形的面积比是（
A.1：3
B.1：4
C.1：6
D.1：9
D
）A.1：3
B.1：4
C.1：6
D.1：9
答案
4. D 解析:两个相似三角形的相似比是1：3,则这两个相似三角形的面积比是1：9,故选D.
解析
【分析】
拿到本题，首先明确已知条件为两个相似三角形的相似比是1:3，要求的是它们的面积比。我们需要回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。因此解题思路就是直接利用面积比和相似比的关系，将已知相似比平方后即可得到面积比，对应选出正确选项即可。
【解析】
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。
已知两个相似三角形的相似比为$1:3$，因此面积比为$(1:3)^2 = 1^2:3^2 = 1:9$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题是相似图形章节的基础题型，核心考查相似三角形面积比与相似比的关系，牢记对应性质即可快速解题，属于高频基础考点。
【难度系数】
0.9
拿到本题，首先明确已知条件为两个相似三角形的相似比是1:3，要求的是它们的面积比。我们需要回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。因此解题思路就是直接利用面积比和相似比的关系，将已知相似比平方后即可得到面积比，对应选出正确选项即可。
【解析】
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。
已知两个相似三角形的相似比为$1:3$，因此面积比为$(1:3)^2 = 1^2:3^2 = 1:9$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题是相似图形章节的基础题型，核心考查相似三角形面积比与相似比的关系，牢记对应性质即可快速解题，属于高频基础考点。
【难度系数】
0.9
5. ★★★（南京中考）如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60 cm，当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90 cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是 （
A.36 cm
B.40 cm
C.42 cm
D.45 cm
（第5题）（第6题）
A
）A.36 cm
B.40 cm
C.42 cm
D.45 cm
（第5题）（第6题）
答案
5. A 解析:设长边$OA=a$,短边$OB=b$,$O$到地面的高度为$h$,根据相似得$\begin{cases} \frac{h}{90}=\frac{b}{a+b}, &① \\ \frac{h}{60}=\frac{a}{a+b}, &② \end{cases}$ 由①+②得$\frac{h}{90}+\frac{h}{60}=1$,解得$h=36$,故选A.
解析
【分析】
本题是相似三角形在实际生活中的应用，解题思路如下：首先，跷跷板两端到地面的高度、支撑点OH都垂直于地面，互相平行，因此可以构造两组相似三角形；其次，分别对A端触地、B端触地两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出关于OH的比例式；最后观察两个比例式的特征，将两式相加即可消去OA、OB的长度，进而求出OH的值，不需要单独求解OA、OB的长度。
【解析】
设跷跷板长边OA的长度为$a$，短边OB的长度为$b$，支撑点O到地面的高度OH为$h\ \mathrm{cm}$。
1. 当B端碰到地面时，A端到地面的高度为90cm，此时OH与A端到地面的垂线互相平行，可得$△ BOH ∽ △ BA$（A端到地面的垂足构成的大三角形），根据相似三角形对应边成比例得：
$\frac{h}{90}=\frac{OB}{AB}=\frac{b}{a+b}$ ①
2. 当A端碰到地面时，B端到地面的高度为60cm，此时OH与B端到地面的垂线互相平行，可得$△ AOH ∽ △ AB$（B端到地面的垂足构成的大三角形），根据相似三角形对应边成比例得：
$\frac{h}{60}=\frac{OA}{AB}=\frac{a}{a+b}$ ②
将①②两个等式左右两边分别相加，得：
$\frac{h}{90}+\frac{h}{60}=\frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+b}=1$
通分计算：$\frac{2h+3h}{180}=1$，即$5h=180$，解得$h=36$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；分式方程求解
【点评】
本题结合生活中跷跷板的场景考查相似三角形的实际应用，解题的关键是从两种场景中分别得到相似三角形，利用比例式相加的技巧消去未知边长，简化计算，避免了单独求解OA、OB长度的复杂运算，对灵活运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题是相似三角形在实际生活中的应用，解题思路如下：首先，跷跷板两端到地面的高度、支撑点OH都垂直于地面，互相平行，因此可以构造两组相似三角形；其次，分别对A端触地、B端触地两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出关于OH的比例式；最后观察两个比例式的特征，将两式相加即可消去OA、OB的长度，进而求出OH的值，不需要单独求解OA、OB的长度。
【解析】
设跷跷板长边OA的长度为$a$，短边OB的长度为$b$，支撑点O到地面的高度OH为$h\ \mathrm{cm}$。
1. 当B端碰到地面时，A端到地面的高度为90cm，此时OH与A端到地面的垂线互相平行，可得$△ BOH ∽ △ BA$（A端到地面的垂足构成的大三角形），根据相似三角形对应边成比例得：
$\frac{h}{90}=\frac{OB}{AB}=\frac{b}{a+b}$ ①
2. 当A端碰到地面时，B端到地面的高度为60cm，此时OH与B端到地面的垂线互相平行，可得$△ AOH ∽ △ AB$（B端到地面的垂足构成的大三角形），根据相似三角形对应边成比例得：
$\frac{h}{60}=\frac{OA}{AB}=\frac{a}{a+b}$ ②
将①②两个等式左右两边分别相加，得：
$\frac{h}{90}+\frac{h}{60}=\frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+b}=1$
通分计算：$\frac{2h+3h}{180}=1$，即$5h=180$，解得$h=36$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；分式方程求解
【点评】
本题结合生活中跷跷板的场景考查相似三角形的实际应用，解题的关键是从两种场景中分别得到相似三角形，利用比例式相加的技巧消去未知边长，简化计算，避免了单独求解OA、OB长度的复杂运算，对灵活运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6. ★★★ (哈尔滨中考)如图，AC，BD相交于点O，AB//DC，M是AB的中点，MN//AC，交BD于点N.若DO：OB=1：2，AC=12，则MN的长为
(
A.2
B.4
C.6
D.8
(
B
)A.2
B.4
C.6
D.8
答案
6. B 解析:$\because AB// DC,\therefore △ DCO∽△ BAO,\therefore \frac{DO}{BO}=\frac{CO}{AO}=\frac{1}{2}$,$\therefore CO=\frac{1}{2}OA,\therefore CO=\frac{1}{3}AC.\because MN// AC,\therefore △ BNM∽△ BOA$,$\therefore \frac{BM}{BA}=\frac{MN}{OA}.\because M$是$AB$的中点,$\therefore \frac{BM}{BA}=\frac{MN}{OA}=\frac{1}{2}$,$\therefore MN=\frac{1}{2}OA$,$\therefore MN=CO,\therefore MN=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}×12=4$,故选B.
解析
【分析】
解题时首先观察到AB//DC，可先判定△DCO与△BAO相似，结合已知DO:OB=1:2的比例，求出AO与AC的数量关系，算出AO的长度；再根据MN//AC判定△BNM与△BOA相似，结合M是AB中点的条件，得到MN与AO的比例关系，最终代入数值求出MN的长度即可。
【解析】
∵$AB// DC$，
∴$∠ D=∠ B$，$∠ C=∠ A$，$\therefore △ DCO∽△ BAO$，
∴$\frac{DO}{BO}=\frac{CO}{AO}=\frac{1}{2}$，即$CO=\frac{1}{2}OA$，
∴$AC=CO+OA=\frac{1}{2}OA+OA=\frac{3}{2}OA$，即$OA=\frac{2}{3}AC$，
∵$AC=12$，
∴$OA=\frac{2}{3}×12=8$。
∵$MN// AC$，
∴$∠ BNM=∠ BOA$，$∠ BMN=∠ A$，$\therefore △ BNM∽△ BOA$，
∴$\frac{BM}{BA}=\frac{MN}{OA}$，
∵M是AB的中点，
∴$\frac{BM}{BA}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{MN}{8}=\frac{1}{2}$，解得$MN=4$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线的性质，线段中点的定义
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题的核心是通过平行线找到两组相似三角形，结合已知的线段比例和中点条件逐步推导所求线段长度，能较好地考查学生对相似三角形相关知识的运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察到AB//DC，可先判定△DCO与△BAO相似，结合已知DO:OB=1:2的比例，求出AO与AC的数量关系，算出AO的长度；再根据MN//AC判定△BNM与△BOA相似，结合M是AB中点的条件，得到MN与AO的比例关系，最终代入数值求出MN的长度即可。
【解析】
∵$AB// DC$，
∴$∠ D=∠ B$，$∠ C=∠ A$，$\therefore △ DCO∽△ BAO$，
∴$\frac{DO}{BO}=\frac{CO}{AO}=\frac{1}{2}$，即$CO=\frac{1}{2}OA$，
∴$AC=CO+OA=\frac{1}{2}OA+OA=\frac{3}{2}OA$，即$OA=\frac{2}{3}AC$，
∵$AC=12$，
∴$OA=\frac{2}{3}×12=8$。
∵$MN// AC$，
∴$∠ BNM=∠ BOA$，$∠ BMN=∠ A$，$\therefore △ BNM∽△ BOA$，
∴$\frac{BM}{BA}=\frac{MN}{OA}$，
∵M是AB的中点，
∴$\frac{BM}{BA}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{MN}{8}=\frac{1}{2}$，解得$MN=4$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线的性质，线段中点的定义
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题的核心是通过平行线找到两组相似三角形，结合已知的线段比例和中点条件逐步推导所求线段长度，能较好地考查学生对相似三角形相关知识的运用能力。
【难度系数】
0.6
7. ★★★ (2026·阜阳模拟)如图,在$□ ABCD$中,AC和BD交于点O,点E,F分别是OB,AD的中点,连接EF交OA于点G,则$\frac{AG}{CG}=$
$\frac{3}{5}$
.答案
7. $\frac{3}{5}$ 解析:如图所示,过点$O$作$OH// AD$交$EF$于点$H$,$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore OD=OB,AO=CO.\because$ 点$E,F$分别是$OB,AD$的中点,$\therefore OE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}OD,DF=AF.\because OH// AD,\therefore △ EOH∽△ EDF$,$\therefore \frac{OH}{DF}=\frac{OE}{DE}=\frac{OE}{OE+2OE}=\frac{1}{3}.\because DF=AF,\therefore \frac{OH}{AF}=\frac{1}{3}.\because OH// AD,\therefore △ GAF∽△ GOH$,$\therefore \frac{AG}{OG}=\frac{AF}{OH}=3$,设$AG=3a$,则$OG=a$,$CO=AO=AG+GO=3a+a=4a$,$\therefore GC=OG+CO=a+4a=5a$,$\therefore \frac{AG}{GC}=\frac{3}{5}$.
解析
【分析】
本题是平行四边形中求线段比值的问题，解题思路如下：首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知的中点条件，通过作平行线构造相似三角形转化线段比例关系。第一步，过O作OH平行于AD，构造第一组相似$△ EOH$和$△ EDF$，利用中点得到的线段倍数关系求出OH与DF的比值；第二步，结合F是AD中点，将DF替换为AF，得到OH与AF的比值，再得到第二组相似$△ GAF$和$△ GOH$，求出AG与OG的比值；第三步，设参数表示各线段长度，结合平行四边形$AO=CO$的性质求出CG的长度，最终计算得到AG与CG的比值。
【解析】
过点$O$作$OH// AD$交$EF$于点$H$，
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore OD=OB$，$AO=CO$。
$\because$ 点$E,F$分别是$OB,AD$的中点，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}OD$，$DF=AF$，
$\therefore DE=OE+OD=OE+2OE=3OE$。
$\because OH// AD$，
$\therefore △ EOH ∽ △ EDF$，
$\therefore \frac{OH}{DF}=\frac{OE}{DE}=\frac{1}{3}$。
又$\because DF=AF$，
$\therefore \frac{OH}{AF}=\frac{1}{3}$。
$\because OH// AD$，
$\therefore △ GAF ∽ △ GOH$，
$\therefore \frac{AG}{OG}=\frac{AF}{OH}=3$。
设$AG=3a$，则$OG=a$，
$\therefore CO=AO=AG+OG=3a+a=4a$，
$\therefore GC=OG+CO=a+4a=5a$，
$\therefore \frac{AG}{CG}=\frac{3a}{5a}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；比例线段计算
【点评】
本题是典型的几何比例求解问题，解题的核心是通过作平行线构造相似三角形，将未知的线段比例转化为已知的线段关系，同时利用设参数的方法可以简化比例计算，避免出错，对学生的几何辅助线构造能力和相似性质的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
本题是平行四边形中求线段比值的问题，解题思路如下：首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知的中点条件，通过作平行线构造相似三角形转化线段比例关系。第一步，过O作OH平行于AD，构造第一组相似$△ EOH$和$△ EDF$，利用中点得到的线段倍数关系求出OH与DF的比值；第二步，结合F是AD中点，将DF替换为AF，得到OH与AF的比值，再得到第二组相似$△ GAF$和$△ GOH$，求出AG与OG的比值；第三步，设参数表示各线段长度，结合平行四边形$AO=CO$的性质求出CG的长度，最终计算得到AG与CG的比值。
【解析】
过点$O$作$OH// AD$交$EF$于点$H$，
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore OD=OB$，$AO=CO$。
$\because$ 点$E,F$分别是$OB,AD$的中点，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}OD$，$DF=AF$，
$\therefore DE=OE+OD=OE+2OE=3OE$。
$\because OH// AD$，
$\therefore △ EOH ∽ △ EDF$，
$\therefore \frac{OH}{DF}=\frac{OE}{DE}=\frac{1}{3}$。
又$\because DF=AF$，
$\therefore \frac{OH}{AF}=\frac{1}{3}$。
$\because OH// AD$，
$\therefore △ GAF ∽ △ GOH$，
$\therefore \frac{AG}{OG}=\frac{AF}{OH}=3$。
设$AG=3a$，则$OG=a$，
$\therefore CO=AO=AG+OG=3a+a=4a$，
$\therefore GC=OG+CO=a+4a=5a$，
$\therefore \frac{AG}{CG}=\frac{3a}{5a}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；比例线段计算
【点评】
本题是典型的几何比例求解问题，解题的核心是通过作平行线构造相似三角形，将未知的线段比例转化为已知的线段关系，同时利用设参数的方法可以简化比例计算，避免出错，对学生的几何辅助线构造能力和相似性质的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
8. ★★★ (2026·北京模拟)如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠C=45°,以AB为腰作等腰Rt△ABE,∠BAE=90°,点E在CD边上,EF⊥CD交BC于点F.若AD=2,则CE长的值为
$2\sqrt{2}$
.答案
8. $2\sqrt{2}$ 解析:$\because AD// BC,∠ C=45°,\therefore ∠ D=180°-∠ C=135°.\because EF⊥ CD,\therefore ∠ CEF=90°,∠ EFC=90°-∠ C=45°$,$\therefore ∠ BFE=180°-∠ EFC=135°,∠ EFC=∠ C=45°$,$\therefore ∠ BFE=∠ D,CE=EF.\because$ 在等腰$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$∠ BAE=90°$,$\therefore AB=AE,∠ AEB=45°$,$\therefore BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{2}AE$,$∠ AED+∠ BEF=180°-∠ CEF-∠ AEB=45°$.又$\because ∠ D=135°$,$\therefore ∠ AED+∠ EAD=180°-∠ D=45°$,$\therefore ∠ BEF=∠ EAD$,在$△ BEF$和$△ EAD$中,$\begin{cases} ∠ BFE=∠ D, \\ ∠ BEF=∠ EAD, \end{cases}$ $\therefore △ BEF∽△ EAD$,$\therefore \frac{EF}{AD}=\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{2}AE}{AE}=\sqrt{2}.\because AD=2$,$\therefore \frac{EF}{2}=\sqrt{2}$,$\therefore EF=2\sqrt{2}$,$\therefore CE=2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先利用平行线的性质求出∠D的度数，再结合EF⊥CD、∠C=45°推出△CEF是等腰直角三角形，得到CE=EF，同时得到∠BFE=135°，和∠D相等；接下来利用等腰直角△ABE的性质得到AB=AE，以及BE和AE的数量关系，再通过角的和差关系推导得到∠BEF=∠EAD，从而证明△BEF和△EAD相似，最后利用相似三角形的对应边成比例求出EF的长度，也就是CE的长度。
【解析】
解：$\because AD// BC$，$∠ C=45°$，
$\therefore ∠ D=180°-∠ C=135°$，
$\because EF⊥ CD$，
$\therefore ∠ CEF=90°$，$∠ EFC=90°-∠ C=45°$，
$\therefore ∠ BFE=180°-∠ EFC=135°$，$∠ EFC=∠ C=45°$，
$\therefore ∠ BFE=∠ D$，$CE=EF$，
$\because$ 等腰$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ BAE=90°$，
$\therefore AB=AE$，$∠ AEB=45°$，
$\therefore BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{2}AE$，
$∠ AED+∠ BEF=180°-∠ CEF-∠ AEB=180°-90°-45°=45°$，
又$\because ∠ D=135°$，
$\therefore ∠ AED+∠ EAD=180°-∠ D=45°$，
$\therefore ∠ BEF=∠ EAD$，
在$△ BEF$和$△ EAD$中，
$\begin{cases}∠ BFE=∠ D \\∠ BEF=∠ EAD\end{cases}$
$\therefore △ BEF∽△ EAD$，
$\therefore \frac{EF}{AD}=\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{2}AE}{AE}=\sqrt{2}$，
$\because AD=2$，
$\therefore \frac{EF}{2}=\sqrt{2}$，解得$EF=2\sqrt{2}$，
又$\because CE=EF$，
$\therefore CE=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
平行线的性质；等腰直角三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，解题的核心是通过角的转化推导得到相等角，进而判定两个三角形相似，再利用相似的性质求解线段长度，对学生的逻辑推理能力有一定要求，是几何类的常见考法。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手，首先利用平行线的性质求出∠D的度数，再结合EF⊥CD、∠C=45°推出△CEF是等腰直角三角形，得到CE=EF，同时得到∠BFE=135°，和∠D相等；接下来利用等腰直角△ABE的性质得到AB=AE，以及BE和AE的数量关系，再通过角的和差关系推导得到∠BEF=∠EAD，从而证明△BEF和△EAD相似，最后利用相似三角形的对应边成比例求出EF的长度，也就是CE的长度。
【解析】
解：$\because AD// BC$，$∠ C=45°$，
$\therefore ∠ D=180°-∠ C=135°$，
$\because EF⊥ CD$，
$\therefore ∠ CEF=90°$，$∠ EFC=90°-∠ C=45°$，
$\therefore ∠ BFE=180°-∠ EFC=135°$，$∠ EFC=∠ C=45°$，
$\therefore ∠ BFE=∠ D$，$CE=EF$，
$\because$ 等腰$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ BAE=90°$，
$\therefore AB=AE$，$∠ AEB=45°$，
$\therefore BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{2}AE$，
$∠ AED+∠ BEF=180°-∠ CEF-∠ AEB=180°-90°-45°=45°$，
又$\because ∠ D=135°$，
$\therefore ∠ AED+∠ EAD=180°-∠ D=45°$，
$\therefore ∠ BEF=∠ EAD$，
在$△ BEF$和$△ EAD$中，
$\begin{cases}∠ BFE=∠ D \\∠ BEF=∠ EAD\end{cases}$
$\therefore △ BEF∽△ EAD$，
$\therefore \frac{EF}{AD}=\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{2}AE}{AE}=\sqrt{2}$，
$\because AD=2$，
$\therefore \frac{EF}{2}=\sqrt{2}$，解得$EF=2\sqrt{2}$，
又$\because CE=EF$，
$\therefore CE=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
平行线的性质；等腰直角三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，解题的核心是通过角的转化推导得到相等角，进而判定两个三角形相似，再利用相似的性质求解线段长度，对学生的逻辑推理能力有一定要求，是几何类的常见考法。
【难度系数】
0.6
9. 小强在学习《相似形》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形(如图①)产生了如下问题,请同学们帮他解决.
在△ABC中,点D为边AB上一点,连接CD.
(1)初步探究
如图②,若∠ACD=∠B,求证:$AC^2=AD· AB$;
(2)尝试应用
如图③,在(1)的条件下,若点D为AB中点,BC=4,求CD的长;
(3)创新提升
如图④,点E为CD中点,连接BE,若∠CDB=∠CBD=30°,∠ACD=∠EBD,AC=2\sqrt{7},求BE的长.
在△ABC中,点D为边AB上一点,连接CD.
(1)初步探究
如图②,若∠ACD=∠B,求证:$AC^2=AD· AB$;
(2)尝试应用
如图③,在(1)的条件下,若点D为AB中点,BC=4,求CD的长;
(3)创新提升
如图④,点E为CD中点,连接BE,若∠CDB=∠CBD=30°,∠ACD=∠EBD,AC=2\sqrt{7},求BE的长.
答案
9. (1)$\because ∠ ACD=∠ B,∠ A=∠ A,\therefore △ ACD∽△ ABC,\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$,$\therefore AC^2=AD· AB$.
(2)$\because$ 点$D$为$AB$中点,$\therefore$ 设$AD=BD=m$,由(1)知$△ ACD∽△ ABC$,$\therefore AC^2=AD· AB=m· 2m=2m^2$,$\therefore AC=\sqrt{2}m$,$\therefore △ ACD$与$△ ABC$的相似比为$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$,$\therefore \frac{CD}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\because BC=4$,$\therefore CD=2\sqrt{2}$.
(3)过点$C$作$EB$的平行线交$AB$的延长线于点$H$,过点$C$作$CY⊥ AB$,如图所示.$\because$ 点$E$为$CD$中点,$\therefore$ 设$CE=DE=a$.$\because ∠ CDB=∠ CBD=30°$,$\therefore CB=CD=2a$,$∠ DCB=120°$.在$\mathrm{Rt}△ DCY$中,$CY=\frac{1}{2}CD=a$,则由勾股定理可得$DY=\sqrt{3}a$,$\therefore BD=2\sqrt{3}a$.
过点$B$作$BF⊥ EC$,交$EC$的延长线于点$F$,$\therefore ∠ FCB=∠ CDB+∠ CBD=60°$,$\therefore ∠ CBF=30°$,$\therefore CF=\frac{1}{2}BC$,$\therefore CF=a$,$BF=\sqrt{3}a$,$\therefore EF=2a$,$\therefore BE=\sqrt{7}a$.$\because CH// BE$,点$E$为$CD$中点,$\therefore CH=2BE=2\sqrt{7}a$,$DH=2DB=4\sqrt{3}a$,$∠ EBD=∠ H$.又$\because ∠ ACD=∠ EBD$,$\therefore ∠ ACD=∠ H$,$\therefore △ ACD∽△ AHC$,$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AH}{AC}=\frac{CD}{CH}=\frac{2a}{2\sqrt{7}a}=\frac{1}{\sqrt{7}}$.又$\because AC=2\sqrt{7}$,$\therefore AD=2$,$AH=14$,$\therefore DH=12$,即$4\sqrt{3}a=12$,$\therefore a=\sqrt{3}$,$\therefore BE=\sqrt{7}a=\sqrt{21}$.
解析
【分析】
(1)要证明等积式$AC^2=AD·AB$，可先转化为比例式$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，只需证明$△ ACD$和$△ ABC$相似即可。已知$∠ ACD=∠ B$，且两个三角形有公共角$∠ A$，满足两角对应相等的相似判定条件，证明相似后交叉相乘即可得到结论。
(2)已知D是AB中点，设$AD=BD=m$，代入(1)的结论得到AC与m的关系，求出两个三角形的相似比，结合相似三角形对应边成比例，代入BC的长度即可求出CD。
(3)先根据$∠ CDB=∠ CBD=30°$得到等腰$△ BCD$，结合E是CD中点，作辅助线构造中位线和直角三角形，设参数a表示各边长度，利用含30°角的直角三角形性质得到各边含a的表达式，再根据平行线的性质和已知角相等证明$△ ACD∼△ AHC$，代入AC的长度求出a的值，即可计算BE的长度。
【解析】
(1)证明：在$△ ACD$和$△ ABC$中，
$\because ∠ ACD=∠ B$，$∠ A=∠ A$，
$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
$\therefore AC^2=AD·AB$。
(2)解：$\because$点D为AB中点，$\therefore AD=BD$，设$AD=BD=m$，则$AB=2m$。
由(1)知$△ ACD ∽ △ ABC$，$\therefore AC^2=AD·AB=m·2m=2m^2$，即$AC=\sqrt{2}m$。
$\therefore △ ACD$与$△ ABC$的相似比为$\frac{AD}{AC}=\frac{m}{\sqrt{2}m}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。
$\therefore \frac{CD}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，又$\because BC=4$，
$\therefore CD=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。
(3)解：过点C作$EB// CH$，交AB的延长线于点H，过点C作$CY⊥ AB$于点Y，过点B作$BF⊥ EC$，交EC的延长线于点F，如图所示。
$\because$点E为CD中点，设$CE=DE=a$，则$CD=2a$。
$\because ∠ CDB=∠ CBD=30°$，$\therefore CB=CD=2a$，$∠ DCB=180°-30°-30°=120°$。
在$\mathrm{Rt}△ DCY$中，$∠ CDY=30°$，$\therefore CY=\frac{1}{2}CD=a$，由勾股定理得$DY=\sqrt{CD^2-CY^2}=\sqrt{3}a$，同理$BY=\sqrt{3}a$，$\therefore BD=DY+BY=2\sqrt{3}a$。
$\because ∠ FCB=180°-∠ DCB=60°$，在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$∠ CBF=30°$，$\therefore CF=\frac{1}{2}BC=a$，$BF=\sqrt{BC^2-CF^2}=\sqrt{3}a$，
$\therefore EF=CE+CF=a+a=2a$，在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$BE=\sqrt{EF^2+BF^2}=\sqrt{(2a)^2+(\sqrt{3}a)^2}=\sqrt{7}a$。
$\because CH// BE$，E为CD中点，$\therefore BE$是$△ DCH$的中位线，$\therefore CH=2BE=2\sqrt{7}a$，$DH=2DB=4\sqrt{3}a$，$∠ EBD=∠ H$。
又$\because ∠ ACD=∠ EBD$，$\therefore ∠ ACD=∠ H$，又$∠ A=∠ A$，$\therefore △ ACD∽ △ AHC$，
$\therefore \frac{CD}{CH}=\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AH}=\frac{2a}{2\sqrt{7}a}=\frac{1}{\sqrt{7}}$。
$\because AC=2\sqrt{7}$，$\therefore AD=\frac{AC}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=2$，$AH=\sqrt{7}AC=\sqrt{7}×2\sqrt{7}=14$，
$\therefore DH=AH-AD=14-2=12$，即$4\sqrt{3}a=12$，解得$a=\sqrt{3}$，
$\therefore BE=\sqrt{7}a=\sqrt{7}×\sqrt{3}=\sqrt{21}$。
【答案】
(1)证明成立；
(2)$CD=2\sqrt{2}$；
(3)$BE=\sqrt{21}$。
【知识点】
相似三角形判定与性质，含30°角直角三角形性质，等腰三角形性质
【点评】
本题围绕相似三角形的应用层层递进，基础问考查相似三角形的基本判定，中间问结合中点性质利用相似比求解边长，提升问需要通过构造辅助线、设参数、结合特殊三角形的性质综合求解，能很好地锻炼几何逻辑推理能力和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.3
(1)要证明等积式$AC^2=AD·AB$，可先转化为比例式$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，只需证明$△ ACD$和$△ ABC$相似即可。已知$∠ ACD=∠ B$，且两个三角形有公共角$∠ A$，满足两角对应相等的相似判定条件，证明相似后交叉相乘即可得到结论。
(2)已知D是AB中点，设$AD=BD=m$，代入(1)的结论得到AC与m的关系，求出两个三角形的相似比，结合相似三角形对应边成比例，代入BC的长度即可求出CD。
(3)先根据$∠ CDB=∠ CBD=30°$得到等腰$△ BCD$，结合E是CD中点，作辅助线构造中位线和直角三角形，设参数a表示各边长度，利用含30°角的直角三角形性质得到各边含a的表达式，再根据平行线的性质和已知角相等证明$△ ACD∼△ AHC$，代入AC的长度求出a的值，即可计算BE的长度。
【解析】
(1)证明：在$△ ACD$和$△ ABC$中，
$\because ∠ ACD=∠ B$，$∠ A=∠ A$，
$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
$\therefore AC^2=AD·AB$。
(2)解：$\because$点D为AB中点，$\therefore AD=BD$，设$AD=BD=m$，则$AB=2m$。
由(1)知$△ ACD ∽ △ ABC$，$\therefore AC^2=AD·AB=m·2m=2m^2$，即$AC=\sqrt{2}m$。
$\therefore △ ACD$与$△ ABC$的相似比为$\frac{AD}{AC}=\frac{m}{\sqrt{2}m}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。
$\therefore \frac{CD}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，又$\because BC=4$，
$\therefore CD=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。
(3)解：过点C作$EB// CH$，交AB的延长线于点H，过点C作$CY⊥ AB$于点Y，过点B作$BF⊥ EC$，交EC的延长线于点F，如图所示。
$\because$点E为CD中点，设$CE=DE=a$，则$CD=2a$。
$\because ∠ CDB=∠ CBD=30°$，$\therefore CB=CD=2a$，$∠ DCB=180°-30°-30°=120°$。
在$\mathrm{Rt}△ DCY$中，$∠ CDY=30°$，$\therefore CY=\frac{1}{2}CD=a$，由勾股定理得$DY=\sqrt{CD^2-CY^2}=\sqrt{3}a$，同理$BY=\sqrt{3}a$，$\therefore BD=DY+BY=2\sqrt{3}a$。
$\because ∠ FCB=180°-∠ DCB=60°$，在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$∠ CBF=30°$，$\therefore CF=\frac{1}{2}BC=a$，$BF=\sqrt{BC^2-CF^2}=\sqrt{3}a$，
$\therefore EF=CE+CF=a+a=2a$，在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$BE=\sqrt{EF^2+BF^2}=\sqrt{(2a)^2+(\sqrt{3}a)^2}=\sqrt{7}a$。
$\because CH// BE$，E为CD中点，$\therefore BE$是$△ DCH$的中位线，$\therefore CH=2BE=2\sqrt{7}a$，$DH=2DB=4\sqrt{3}a$，$∠ EBD=∠ H$。
又$\because ∠ ACD=∠ EBD$，$\therefore ∠ ACD=∠ H$，又$∠ A=∠ A$，$\therefore △ ACD∽ △ AHC$，
$\therefore \frac{CD}{CH}=\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AH}=\frac{2a}{2\sqrt{7}a}=\frac{1}{\sqrt{7}}$。
$\because AC=2\sqrt{7}$，$\therefore AD=\frac{AC}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=2$，$AH=\sqrt{7}AC=\sqrt{7}×2\sqrt{7}=14$，
$\therefore DH=AH-AD=14-2=12$，即$4\sqrt{3}a=12$，解得$a=\sqrt{3}$，
$\therefore BE=\sqrt{7}a=\sqrt{7}×\sqrt{3}=\sqrt{21}$。
【答案】
(1)证明成立；
(2)$CD=2\sqrt{2}$；
(3)$BE=\sqrt{21}$。
【知识点】
相似三角形判定与性质，含30°角直角三角形性质，等腰三角形性质
【点评】
本题围绕相似三角形的应用层层递进，基础问考查相似三角形的基本判定，中间问结合中点性质利用相似比求解边长，提升问需要通过构造辅助线、设参数、结合特殊三角形的性质综合求解，能很好地锻炼几何逻辑推理能力和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.3
