1. 某反比例函数的图象经过点(-1，6)，则下列各点中，在这个函数图象上的点是()。

A.(-3，2)
B.(3，2)
C.(2，3)
D.(6，1)

A

【分析】
解题思路：首先回忆反比例函数的基本性质，反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），变形可得$k=xy$，即该函数图象上任意一点的横、纵坐标的乘积都等于定值$k$。因此我们可以先通过已知点求出$k$值，再逐一验证各选项中点的横、纵坐标乘积是否等于$k$，相等的点就在该函数图象上。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）。
∵函数图象经过点$(-1,6)$，将点代入解析式得：
$6=\frac{k}{-1}$，解得$k=-6$。
即该反比例函数图象上所有点的横、纵坐标乘积均为$-6$。
逐一验证选项：
A选项：$(-3)×2=-6$，符合要求；
B选项：$3×2=6≠-6$，不符合；
C选项：$2×3=6≠-6$，不符合；
D选项：$6×1=6≠-6$，不符合。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，核心是利用反比例函数中$xy=k$的定值特性快速判断点是否在函数图象上，掌握这个规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 如图，反比例函数的图象经过点$A(-1,-2)$，则当$x＞1$时，函数值$y$的取值范围是().

A.$y＞1$
B.$0＜y＜1$
C.$y＞2$
D.$0＜y＜2$

D

【分析】
要确定x＞1时y的取值范围，首先需要求出反比例函数的解析式：已知函数图象过点A，可通过待定系数法设反比例函数为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，代入A点坐标求出k值。再根据反比例函数的性质，当k＞0时，在第一象限内y随x的增大而减小，先计算x=1时对应的y值，结合x＞1时函数位于第一象限（y恒大于0），即可推导得到y的取值范围。
【解析】
解：设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将点$A(-1,-2)$代入解析式，可得：
$\displaystyle -2=\frac{k}{-1}$，解得$k=2$，
因此反比例函数解析式为$\displaystyle y=\frac{2}{x}$。
当$x=1$时，代入解析式得$\displaystyle y=\frac{2}{1}=2$。
由于$k=2＞0$，该反比例函数在第一象限内y随x的增大而减小，且x＞1时函数图象位于第一象限，y＞0，
因此当$x＞1$时，$0＜y＜2$。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于反比例函数基础题，解题关键是先求出函数解析式，再结合函数增减性分析对应自变量区间的函数值范围，熟练掌握反比例函数的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 如图，直线$l$和双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$交于$A$，$B$两点，$P$是线段$AB$上的点（不与$A$，$B$重合），过点$A$，$B$，$P$分别向$x$轴作垂线，垂足分别是点$C$，$D$，$E$，连接$OA$，$OB$，$OP$.设$△ AOC$面积是$S_1$，$△ BOD$面积是$S_2$，$△ POE$面积是$S_3$，则（）.

A.$S_1 ＜ S_2 ＜ S_3$
B.$S_1 ＞ S_2 ＞ S_3$
C.$S_1 = S_2 ＞ S_3$
D.$S_1 = S_2 ＜ S_3$

D

【分析】
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过双曲线上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，该点、垂足、原点三点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。第一步先利用该性质判断$S_1$和$S_2$的大小关系；第二步观察图象可知线段AB位于双曲线上方，因此同横坐标下，线段AB上点的纵坐标大于双曲线上点的纵坐标，据此即可比较$S_3$与$S_1$、$S_2$的大小。
【解析】
∵点A、B均在双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$上，且$AC⊥ x$轴，$BD⊥ x$轴，
根据反比例函数k的几何意义可得：
$S_1=\frac{1}{2}k$，$S_2=\frac{1}{2}k$，
∴$S_1=S_2$。
又
∵点P在线段AB上，线段AB在第一象限的双曲线上方，$PE⊥ x$轴，
∴对于相同的横坐标$OE$，点P的纵坐标$PE$大于双曲线上同横坐标点的纵坐标，
∴$S_3=\frac{1}{2}· OE· PE＞\frac{1}{2}k$，
即$S_3＞S_1=S_2$。
综上可得$S_1=S_2＜S_3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数图象性质
【点评】
本题是反比例函数的常考基础题，核心考查反比例函数k的几何意义的应用，解题时结合图象分析点的位置关系是关键，需要注意只有双曲线上的点对应的直角三角形面积才等于$\frac{1}{2}|k|$，直线上的点要通过纵坐标大小比较面积。
【难度系数】
0.7

二、填空题
4. 在反比例函数$y=\dfrac{k-1}{x}$的图象的每一支上，$y$都随$x$的增大而减小，且整式$x^2 -kx +4$是一个完全平方式，则该反比例函数的表达式为。

解：
∵ 整式$x^2 - kx + 4$是完全平方式，
∴ $-kx = \pm 2 · x · 2$，
解得 $k = 4$ 或 $k = -4$。
∵ 反比例函数$y=\dfrac{k-1}{x}$的图象的每一支上，$y$都随$x$的增大而减小，
∴ $k-1 ＞ 0$，即 $k ＞ 1$，
∴ $k=-4$不符合条件，舍去，取$k=4$。
则$k-1=3$，该反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{x}}$。

【分析】
解题时结合两个已知条件分步推导即可：第一步先根据完全平方式的结构特征，求出k的所有可能取值；第二步根据反比例函数的增减性，确定比例系数的符号，得到k的取值范围，从中筛选出符合条件的k值，最后代入反比例函数解析式就能得到最终结果。
【解析】
∵ 整式$x^2 - kx + 4$是完全平方式，符合$a^2\pm2ab+b^2$的结构，其中$a=x$，$b^2=4$即$b=\pm2$，
∴ $-kx = \pm 2 · x · 2$，
解得 $k = 4$ 或 $k = -4$。
∵ 反比例函数$y=\dfrac{k-1}{x}$的图象的每一支上，$y$都随$x$的增大而减小，
∴ 反比例函数的比例系数大于0，即$k-1 ＞ 0$，也就是 $k ＞ 1$，
∴ $k=-4$不符合条件，舍去，取$k=4$。
则$k-1=4-1=3$，代入可得该反比例函数的表达式为$y=\dfrac{3}{x}$。
【答案】
$y=\dfrac{3}{x}$
【知识点】
完全平方式的特征；反比例函数的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题时要注意先求出参数的所有可能值，再结合函数的限制条件筛选出符合要求的参数，避免忽略限制条件直接取值导致错误。
【难度系数】
0.7

5. 若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$(m,3m)$，其中$m≠0$，则该反比例函数的图象在第象限.

一、三

【分析】
要确定反比例函数图象所在的象限，首先需要明确反比例函数系数$k$的正负。已知函数图象经过点$(m,3m)$，根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将点的坐标代入反比例函数表达式即可求出$k$的表达式，再结合$m≠0$的条件判断$k$的正负，最后根据反比例函数的性质对应得到图象所在象限。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$(m,3m)$（$m≠0$）
∴把$x=m$，$y=3m$代入$y=\frac{k}{x}$，可得：
$3m=\frac{k}{m}$
等式两边同时乘$m$（$m≠0$，等式仍然成立），得：
$k=3m· m=3m^2$
∵$m≠0$，
∴$m^2＞0$，因此$k=3m^2＞0$
根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，反比例函数的图象位于第一、三象限。
【答案】
一、三
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题核心是先利用函数图象上点的坐标特征求出$k$的符号，再结合$k$的符号与反比例函数图象象限的对应关系求解，难度较低，需要熟练掌握相关性质。
【难度系数】
0.9

6. 在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，点A的坐标为$(a,a)$.如图，若曲线$y=\frac{3}{x}(x＞0)$与此正方形的边有交点，则a的取值范围是。

解：
由点A的坐标为$(a,a)$，正方形ABCD边长为1且边均平行于坐标轴，可得其余三个顶点坐标为：$B(a,a-1)$，$C(a-1,a-1)$，$D(a-1,a)$。
1. 当曲线$y=\frac{3}{x}$经过点A时，将$A(a,a)$代入解析式得：
$a=\frac{3}{a}$，即$a^2=3$，
$\because a＞0$，$\therefore a=\sqrt{3}$。
2. 当曲线$y=\frac{3}{x}$经过点C时，将$C(a-1,a-1)$代入解析式得：
$a-1=\frac{3}{a-1}$，即$(a-1)^2=3$，
$\because a-1＞0$，$\therefore a-1=\sqrt{3}$，即$a=\sqrt{3}+1$。
综上，$a$的取值范围是$\sqrt{3} ≤ a ≤ \sqrt{3}+1$。

【分析】
解题时首先根据点A的坐标、正方形边长为1且边平行于坐标轴的性质，推出正方形其余三个顶点的坐标；再结合反比例函数$y=\frac{3}{x}$在第一象限内y随x增大而减小的性质，可知曲线与正方形有交点的两个临界状态为曲线恰好经过正方形的对角顶点A和C；最后分别将两个临界顶点代入反比例函数解析式，求出对应的a值，即可确定a的取值范围。
【解析】
已知点A的坐标为$(a,a)$，正方形ABCD边长为1，且边均平行于坐标轴，因此其余三个顶点坐标为：$B(a,a-1)$，$C(a-1,a-1)$，$D(a-1,a)$。
1. 当曲线$y=\frac{3}{x}$经过点A时，将$A(a,a)$代入解析式得：
$a=\frac{3}{a}$，即$a^2=3$，
$\because a＞0$，$\therefore a=\sqrt{3}$。
2. 当曲线$y=\frac{3}{x}$经过点C时，将$C(a-1,a-1)$代入解析式得：
$a-1=\frac{3}{a-1}$，即$(a-1)^2=3$，
$\because a-1＞0$，$\therefore a-1=\sqrt{3}$，解得$a=\sqrt{3}+1$。
综上，a的取值范围是$\sqrt{3} ≤ a ≤ \sqrt{3}+1$。
【答案】
$\sqrt{3} ≤ a ≤ \sqrt{3}+1$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；正方形的性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形的综合题，解题的关键是找准曲线与正方形有交点的临界位置，结合函数解析式求解参数范围，能很好地考查数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.6